北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）
数学（理科）
一、1-8 BBDA CCDD
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.【答案】
3
π 【解析】2221cos 222
a c
b a
c B ac ac +-===
,3B π∴=
10.【答案】1
【解析】即求2220x y x +-=圆心到直线1y =的距离，
()2
211x y ∴-+=的圆心为()1,0.距离为1.
11.【答案】6
【解析】可行域如右图所示：
设2+z x y =即2y z x =-，当2y z x =-过(2,2)B 时，z 取最大值，所以6z =.
12.【答案】23+12
【解析】
该几何体如图所示：
可知2AB AC BC ===,ABC 为等边三角形,
所以1
2332
ABC
S
=⨯⨯=,所以四边形11ACC A 的面积为 11
224ACC A S
=⨯=,所以11
232312ABC
ACC A S S
S
=+=+表.
13.【答案】(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =（答案不唯一） 【解析】
设(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =,则3⋅a b =，3⋅a c =，所以⋅⋅a b =a c 但≠b c ，
所以若⋅⋅a b =a c ，则b =c 为假命题。

14.【答案】
33
4
；①③④ 【解析】内接正n 边形可拆解为n 个等腰三角形，腰长为单位长度1，顶角为
2n
π
.每个三角形的面积为
12sin 2n
π，所以正n 边形面积为 2()sin 2n f n n π=.323333(3)sin 23224
==f π=⋅，①正确； 正n 边形面积无法等于圆的面积，所以②不对；
随着n 的值增大，正n 边形面积也越来越大，所以③正确；
当且仅当3n =时，有2(3)(6)f f =，由几何图形可知其他情况下都有(2)2()f n f n <，所以④正确.
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明. 15. 【解析】
(Ⅰ)由题意得：()sin 2cos 22sin(2)4
f x x x x π
=-=
-,
22
T π
π∴=
= (Ⅱ)当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 当24
2
x π
π
-
=
时,即38
x π
=
时,()f x 取得最大值2. 当24
4
x π
π
-
=-
时,即0x =时,()f x 取得最小值1-.
所以()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值分别是2和1-.
16. 【解析】
（Ⅰ）由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学生中随机选一人,该生数学和语
文成绩均低于60分的概率为
9
100
. （Ⅱ）由题可知,ξ的可能取值为0,1,2
26210151
(0)=453
C P C ξ===
11642
10248
(1)4515
C C P C ξ⋅==== 2421062
(2)=4515
C P C ξ===
1824
()012315155
E ξ=⨯+⨯+⨯=
ξ
0 1 2
()P ξ
13 815 215
（Ⅲ）a b > 17.【解析】
（Ⅰ）由图1知,PD AD PC CB ⊥⊥
由图2知,C D 重合于点O .则,PO AO PO BO ⊥⊥
AO BO O = AO ⊂面AOB BO ⊂面AOB
PO ∴⊥面AOB ,又AB ⊂面AOB PO AB ∴⊥
（Ⅱ）由题知1OP = 2OA OB AB === ABO ∆为等边三角形
过O 取1OF = 延长作OF AO ⊥ 建立如图空间直角坐标系
则()()()()
0,0,02,0,0,0,0,11,3,0O A P B ，，
易知面POA 的法向量为()0,1,0OF = ()
1
3,1BP =--， 设BP 与平面POA 夹角为θ
则315sin cos ,515
OF BP OF BP OF BP
θ⋅-==
=
=⨯⋅
∴ 直线BP 与平面POA 所成角正弦值为155
（Ⅲ）由（Ⅱ）知面POA 的法向量为()0,1,0OF = 设面EOA 法向量为(,,)m x y z =
易知E 为PB 中点 131
()222E ∴，，，131()222
OE =，，，(200)OA =，，
00
OE m OA m ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 即30222
20x z y x ⎧+
+=⎪⎨⎪=⎩
令1y =- 则(0,1,3)m =-
则11
cos ,212
m OF m OF m OF
⋅-=
=
=-⨯⋅ 由图知二面角为锐角，
∴ 二面角P AO E --为3π 18．【解析】（Ⅰ）32e =，3
2
c a ∴=
， 过()2,0，2a ∴=，3c =，
2
2
2
1b a c =-=，2
214
x y ∴+=
（Ⅱ）①当MN 斜率不存在时，设()00,M x y ，则()00,N x y -，
00001224AM AN y y k k x x -⋅=
⋅=---，()22001
24
y x =-， 又
()00,M x y 在椭圆上，
2
20014
x y ∴+=，
解得00x =，01y =±，
:0MN l x ∴=．
②当MN 斜率存在时，设:MN l y kx m =+，与椭圆联立，由2
21
4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得
()2
2
2148440k x
kmx m +++-=，
0∆>，即22410k m +->，
设()11,M x y ，()22,N x y ，
则122212281444
14km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，()()2212122
414m k y y kx m kx m k -=++=+， ()1212
1212122224
AM AN y y y y k k x x x x x x ⋅=
⋅=---++ 22
2222222
222
441144416416416164
141414m k m k k m km k m km k k k k --+===--+++++
+++， 2222444m k m km k ∴-=---， 220m km +=，
0m ∴=或2m k =-，
当2m k =-时，():2MN l y k x =-， 恒过()2,0不符合①， 当0m =时，:MN l y kx =， 结合①，恒过()0,0， 综上，直线MN 恒过()0,0． 19. 【解析】
（Ⅰ）()x f x e a '=-，由题可得(0)0f '=，即10a -=，故1a = （Ⅱ）()x f x e a '=-
①当0a =时，()0x f x e =>恒成立，符合题意。

②当0a <时，()0f x '>恒成立，则()f x 在R 上单调递增，当1
1x a
=
-时，111(1)10
a f e a
--=-<，不符合题意，舍去； ③当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a = 当x 变化时，()f x 和()f x '变化情况如下
x (,ln )a -∞
ln a
(ln ,)a +∞
()f x ' -
+
()f x
极小值
min ()(ln )(ln 1)f x f a a a a ==-+，由题意可min ()0f x ≥，即ln 0a a -≥，
解得01a <≤。

综上所述，a 的取值范围为[0,1]
（Ⅲ）由题可知要证()f x 的图像总在曲线2ln y x =+上方，即证2ln x e x >+恒成立，即要证明
ln 2x e x ->恒成立，构造函数()ln x
g x e x =-
1()x
g x e x '=-
，令1()x h x e x =-，故21()0x
h x e x
'=+>，则()h x 在(0,)+∞单调递增，则'()g x 单调递增.因为(1)10g e '=->，1
21
()202
g e '=-<，由零点存在性定理可知，()g x '在
(0,)+∞存在唯一零点，设该零点为0x ，
令()0g x '=，即0
01x e x =
，且01(,1)2
x ∈ 当x 变化时，()g x 和()g x '变化情况如下
x
0(0,)x 0x 0(,)x +∞
()g x ' -
+
()g x
极小值
则000()()ln x
g x g x e x ≥=-，因为0
1x e
x =
，所以00ln x x =-，所以
0001()()2g x g x x x ≥=
+≥，当且仅当01x =时取等，因为01
(,1)2
x ∈，故0()()2g x g x ≥>，即ln 2x e x ->恒成立，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方.\ 20.【解析】
（Ⅰ）
（Ⅱ）若11,n n r r c c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅共2n 个数, ,n n Z λλ-≤≤∈，共21n +个数，
1212++=+n n r r r c c c +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+，121212++++=2(++)=0-n n n r r r c c c r r r λ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅
所以λ为偶数.
（Ⅲ）设整数[5,5]λ∈-，且5H λ∉，λ可取420±±，
，. 当4λ≠±时，设12345,5,4,4r r r r ==-==-. 此时22j c -≤≤，3±不能同时取到，所以无解.
当4λ=-时, 设1235,5,4r r r ==-=,则1234545123+++++r +r (+r +r )4c c c c c r
+=， 12345123454
++++=+r +r +r +r =22
c c c c c r =
， 45r +r 2=-，由题2j c ≥- 所以设4531r r =-=，，当411100r =---++时，2j c ≠.所以无解.
1
1
-1
411111r =----+时，12345,,,,c c c c c 中至少三组数据分别为0,1,1-，
与51r =矛盾，不成立.
同理当4λ=时,无解，所以不存在“5阶H 表”.。