上海南汇第一中学九年级上册期末精选试卷检测题

上海南汇第一中学九年级上册期末精选试卷检测题
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．
小张：“该商品的进价为 24元/件．”
成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”
成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？
【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件
【解析】
【分析】
设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是
[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．
【详解】
解：设每件商品定价为x 元．
①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ，
解得：1240,48;x x ==
②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=，
解得：1236,40x x ==（舍去），.
答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．
2．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a ﹣1=0．
（1）当a=﹣11时，解这个方程；
（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；
（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．
【答案】（1）123,4x x =-=（2）54
a ≤
（3）-4 【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；
（2）根据判别式即可求出a 的范围；
（3）根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，
（x +3）（x ﹣4）=0，
x +3=0或x ﹣4=0，
∴x 1=﹣3，x 2=4；
（2）∵方程有两个实数根12x x ，，
∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，
解得54
a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数
根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，
，． ∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，
∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣
⎦⎣⎦， 把22112211x x a x x a -=--=-，代入，
得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，
解得：a =﹣4，a =2（舍去），
所以a 的值为﹣4．
点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．
3．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA 、OC 的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA ＞OC ），BE=5，tan ∠ABO=．
（1）求点A ，C 的坐标；
（2）若反比例函数y=的图象经过点E ，求k 的值；
（3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)、A （12，0），C （﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q 1（10，﹣12），Q 2
（﹣3，6﹣3）.
【解析】
试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA＞OC求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度，根据Rt△AOB得出AB的长度，作EM⊥x轴，根据三角形相似得出点E的坐标，然后求出k的值；(3)、分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.
试题解析：（1）由题意，解方程得：x1=6，x2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．
∴A（12，0），C（﹣6，0）；
（2）∵tan∠ABO=，∠AOB=90°
∴∴OB=16．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20
∵BE=5，∴AE=15．
如图1，作EM⊥x轴于点M，
∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，
∴，即：
∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．
∴E（3，12）．∴k=36；
（3）满足条件的点Q的个数是6，
x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；
方法：如下图
①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）
如图①∵E（3，12），C（﹣6，0），
∴CG=9，EG=12，∴EG2=CG•GP，∴GP=16，
∵△CPE与△PCQ是中心对称，
∴CH=GP=16，QH=FG=12，∵OC=6，∴OH=10，
∴Q（10，﹣12），
如图②作MN∥x轴，交EG于点N，
EH⊥y轴于点H ∵E（3，12），C（﹣6，0），
∴CG=9，EG=12，∴CE=15，
∵MN=CG=，可以求得PH=3﹣6，
同时可得PH=QR，HE=CR ∴Q（﹣3，6﹣3），
考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.
4．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣
（2k+1）x+4（k﹣1
2
）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．
【答案】△ABC的周长为10．
【解析】
【分析】
分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当a=4为底
边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．
【详解】
当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛
⎫-++-= ⎪⎝⎭
解得：52k =
当52
k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，
∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；
当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣
12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32
， ∴b +c ＝2k +1＝4．
∵b +c ＝4＝a ，
∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．
∴△ABC 的周长为10．
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．
5．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF .
（1）当32BG = 时，求AE 的长；
（2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；
（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.
【答案】（1）92AE =
；（2）62EF =3）185
BG =. 【解析】
【分析】 （1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得；
（2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，
从而根据勾股定理可得答案； （3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得．
【详解】
（1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-，
由勾股定理，得()()222632x x =-+，解得92x =，即92
AE = （2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，
当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，
当FG BC ⊥时，点E 与点B 重合，
此时四边形AEGF 是正方形，
∴折痕226662EF =+=.
（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：
①当FG=FC 时，如图2，过F 作FH ⊥CG 于H ，
则有：AF=FG=FC ，CH=DF=GH
设AF=FG=FC=x ，则DF=10-x=CH=GH
在Rt △CFH 中
∵CF 2=CH 2+FH 2
∴x 2=62+（10-x ）2
解得：x=345
， ∴DF=CH=GH=10-
165， 即BG=10-165×2=185
， ②当FG=GC 时，则有：AF=FG=GC=x ，CH=DF=10-x ；
∴GH=x-（10-x ）=2x-10，
在Rt △FGH 中，由勾股定理易得：x 2=62+（2x-10）2，
化简得：3x 2-40x+136=0，
∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，
∴此方程没有实数根．
综上可知：BG=
185
． 【点睛】 本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．
二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
6．在平面直角坐标系中，将函数2263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ． （1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值；
（2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；
（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ；
（4）设1112,
,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．
【答案】（1）0a =或3a =-；（2）118；（3）21136x -<<-；（4）18m <-或116
m >- 【解析】
【分析】
（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值；
（2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值；
（3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围；
（4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围．
【详解】
解：（1）当1m =-时，()2
2613y x x x =++≥ 把(),1P a 代入，得
22611a a ++=
解得0a =或3a =-
（2）当0m >时，,(3)F m m -
此时，0o y m =-<
当0m ≤时，2223926=2()22
y x mx m x m m m =-----
∴239,22F m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
此时，229911=()22918
m m m ---++ ∴0y 的最大值118
= 综上所述，0y 的最大值为
118 （3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0
当抛物线顶点在x 轴上时，22=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△
解得：m=0（舍去）或29
m =- 由题意可知抛物线的对称轴为直线x=32
m 且x ≥3m ∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是21136
x -<<- （4）18m <-
或116m >- 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
7．如图1，抛物线21:C y x b =+交y 轴于()0,1A ．
（1）直接写出抛物线1C 的解析式______________．
（2）如图1，x 轴上两动点,M N 满足：m n X X n -==．若,B C （B 在C 左侧）为线段
MN 上的两个动点，且满足：B 点和C 点关于直线:1l x =对称．过B 作BB x '⊥轴交1C 于B '，过C 作CC x '⊥轴交1C 于C '，连接B C ''．求B C ''的最大值（用含n 的代数式表示）．
（3）如图2，将抛物线1C 向下平移78
个单位长度得到抛物线2C ．2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ，其横坐标为m ．以OM 为直径作K ，记⊙K 的最高点为Q ．若Q 在直线2y x =-上，求m 的值．
【答案】（1）21y x =+；（2）1|n -；（3）14m =-或12
m =- 【解析】
【分析】
（1）将()0,1A 带入抛物线1C 解析式，求得b 的值，即可得到抛物线1C 的解析式； （2）设(),0B q ，则()2,0C q -，求()2B C ''
并进行化简，由1n q -≤<且12,q n <-得21n q -<，则当()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦
时，取min 2q q n ==-，带入()2B C ''，即可求得()max B C ''
；
（3）依题意将抛物线1C 向下平移78
个单位长度得到抛物线2C ，求得2C 解析式，根据解析式特点设21,8M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：2111,22
28m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设Q y k =，则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得到22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝
⎭，由Q 点在2y x =-上，得2Q k x m =-=-，继而得到231048m m -+=，解得14m =-或12
m =-． 【详解】
解：（1）将()0,1A 带入抛物线21:C y x b =+，得b=1，
则21:1C y x =+，
（2）设(),0B q ，则()2,0C q -，
∴()22
222(2)(2)B C q q q q ''⎡⎤=--+--⎣⎦ 2204020q q =-+
()2
201q =-，
∵1n q -≤<且12,q n <- 21n q -<∴，
∴()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦
时，min 2q q n ==-， 即()
22220(21)20(1)B C n n ''=--=-，
∴()max 1|B C n ''=-，
（3）根据题意，将抛物线1C 向下平移
78个单位长度得到抛物线2C ， ∴221:8C y x =+
， ∴21,8M m m ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
， ∴222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭， ∴由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：
2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 设Q y k =，则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
， ∴222111428OM k m ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦， 化简上式得：22211084
k m k m ⎛
⎫++-= ⎪⎝⎭， ∵Q 点在2y x =-上，则2Q k x m =-=-，
∴k m =-为上述方程的一个解， ∴分析可知1()04k m k m ⎛
⎫+-= ⎪⎝⎭
， 21148
m m m -=+∴， ∴231048
m m -+=， 解得：114m =-，212m =-（经检验114m =-，212m =-是方程231048m m -+=的解），
故14m =-
或12
m =-． 【点睛】
本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．
8．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．
（1）若b ＝1，a ＝﹣
1
2
c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围；
（3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323
b a <-< 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论； （2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；
（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1•y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案． 【详解】
解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0）， ∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0 ∵b ＝1，a ＝﹣
1
2
c ， ∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣1
2
c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，
∴1+2c 2＞0，即△＞0，
∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）∵a ＜0，c ＝0，
∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下， 又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，
∴顶点纵坐标2
14b a
-≤，
∴﹣b 2≥4a ， ∴4a+b 2≤0；
（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ）， ∵函数图象上两点（0，y
1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0， ∴c （a+b+c ）＞0， ∴6c （6a+6b+6c ）＞0，
∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0， ∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0， ∵a≠0，则9a 2＞0， ∴两边同除以9a 2得，
24
()()033
b b a a ++<， ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403
b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩， ∴42
33
b a -
<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12
323
b a <-<． 【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右侧)，点P 是该抛物线上的一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合)，过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． (1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；
(3)在题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) y=x 2﹣4x +3；(2) P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；(3) F 1（22，1），F 2（22，1）．
【解析】
【分析】
（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：
①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；
②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；
（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，
将C（0，3）代入上式，得：
3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；
∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；
（2）分两种情况：
①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；
令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；
∵点A在点B的右边，
∴B（1，0），A（3，0）；
∴P1（1，0）；
②当点A为△AP2D2的直角顶点时；
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD2=45°；
当∠D 2AP 2=90°时，∠OAP 2=45°， ∴AO 平分∠D 2AP 2； 又∵P 2D 2∥y 轴， ∴P 2D 2⊥AO ，
∴P 2、D 2关于x 轴对称；
设直线AC 的函数关系式为y=kx+b （k≠0）． 将A （3，0），C （0，3）代入上式得：
30
3k b b +=⎧⎨
=⎩
， 解得13k b =-⎧⎨=⎩
；
∴y=﹣x+3；
设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3）， 则有：（﹣x+3）+（x 2﹣4x+3）=0， 即x 2﹣5x+6=0；
解得x 1=2，x 2=3（舍去）；
∴当x=2时，y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1； ∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）． ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；
（3）由（2）知，当P 点的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形； 当点P 的坐标为P 2（2，﹣1）（即顶点Q ）时， 平移直线AP 交x 轴于点E ，交抛物线于F ； ∵P （2，﹣1）， ∴可设F （x ，1）； ∴x 2﹣4x+3=1，
解得x 1=2﹣2，x 2=2+2； ∴符合条件的F 点有两个，
即F 1（2﹣2，1），F 2（2+2，1）．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.
10．如图1所示，抛物线2
2
3
y x bx c
=++与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知C点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为
7
2
，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ是平行四边形，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求使△APC的面积为整数的P点的个数；
（3）当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；
（4）在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q 为“和谐点”的横坐标的值．
【答案】（1）2
214
4
33
y x x
=-+；（2）9个；（3）33
,
22
或44
，；（4）33【解析】
【分析】
（1）抛物线与y轴交于点C，顶点的横坐标为
7
2
，则
4
7
22
2
3
c
b
，即可求解；
（2）APC
∆的面积
PHA PHC
S S S，即可求解；
（3）当四边形OPAQ是正方形时，点P只能在x轴的下方，此时OAP为等腰直角三角形，设点(,)
P x y，则0
x y
+=，即可求解；
（4）求出直线AP的表达式为：
2
(1)(6)
3
y m x，则直线OQ的表达式为：
2
(1)
3
y m x②，联立①②求出Q的坐标，又四边形OPAQ是平行四边形，则AO的中点即为PQ的中点，即可求解．
【详解】
解：（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为
7
2
，则
47
2223
c
b ，解得14
34
b c
， 故抛物线的抛物线为：2214
433
y x x =-+； （2）对于2214
433
y x x =
-+，令0y =，则1x =或6，故点B 、A 的坐标分别为(1,0)、(6,0)；
如图，过点P 作//PH y 轴交AC 于点H ，
设直线AC 的表达式为：y kx b =+ 由点A （6，0）、C （0，4）的坐标得460
b k
b
，解得
423
b k
， ∴直线AC 的表达式为：2
43
y x =-+①， 设点2
2
14(,4)3
3
P x x x ，则点2(,
4)3
H x x ，
APC ∆的面积
2
21
12214
6(4
4)212(16)223
33
PHA
PHC
S
S
S
PH OA x x x x x
，
当1x =时，10S =，当6x =时，0S =， 故使APC ∆的面积为整数的P 点的个数为9个；
（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方， 此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=， 即22144
3
3
y
x x x ，解得：3
2
x =
或4， 故点P 的坐标为3
(2，
3
)2
或(4,4)-； （4）设点2
2
14(,4)3
3
P m m m ，为点(6,0)A ，
设直线AP 的表达式为：y kx t =+，
由点A ，P 的坐标可得
260
2144
3
3
k t km
t
m m ，解之得：
2
(1)3
26(1)
3
k
m t
m
∴直线AP 的表达式为：2
(1)(6)3
y
m x ， //AP OQ ，则AP 和OQ 表达式中的k 值相同，
故直线OQ 的表达式为：2
(1)3
y
m x ②， 联立①②得：
2
(1)3
2
43
y
m x y
x ，解得：
44
6m
m y x ，
则点6
(
Q m ，44)m
， 四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点， 如图2，作QC x ⊥轴于点C ，PD x ⊥轴于点D ，
∴OC AD =, 则有，66m m ，解得：3
3m
，
经检验，3
3m 是原分式方程得跟，
则63
3m
，
故Q 的横坐标的值为33 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等，能熟练应用相关性质是解题的关键．
三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
11．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点．
（1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明；
（2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转(
)
090a α︒
<<︒，其它条件不变，线段ED 与线段EB 的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将CDF 绕点C 逆时针旋转一周，如果6BC =，32CF =，直接写出线段CE 的范围．
【答案】（1）ED EB =，DE BE ⊥，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值22= 最小值32
2
=． 【解析】 【分析】
（1）在Rt △ADF 中，可得DE=AE=EF ，在Rt △ABF 中，可得BE=EF=EA ，得证ED=EB ；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB 的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°； （2）如下图，先证四边形MFBA 是平行四边形，再证△DCB ≌△DFM ，从而推导出△DMB 是等腰直角三角形，最后得出结论；
（3）如下图，当点F 在AC 上时，CE 有最大值；当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值． 【详解】
（1）∵DF ⊥AC ，点E 是AF 的中点 ∴DE=AE=EF ，∠EDF=∠DFE ∵∠ABC=90°，点E 是AF 的中点 ∴BE=AE=EF ，∠EFB=∠EBF ∴DE=EB ∵AB=BC ， ∴∠DAB=45°
∴在四边形ABFD 中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°
∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB) =360°－2×135°=90° ∴DE ⊥EB
（2）如下图，延长BE 至点M 处，使得ME=EB ，连接MA 、ME 、MF 、MD 、FB 、DB ，延长
MF交CB于点H
∵ME=EB，点E是AF的中点
∴四边形MFBA是平行四边形
∴MF∥AB，MF=AB
∴∠MHB=180°－∠ABC=90°
∵∠DCA=∠FCB=a
∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a
∵∠DCF=45°，∠CDF=90°
∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形
∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a
∴∠DCB=∠DFM
∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形
∴DC=DF，BC=AB=MF
∴△DCB≌△DFM(SAS)
∴∠MDF=∠BDC，DB=DM
∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°
∴△DMB是等腰直角三角形
∵点E是MB的中点
∴DE=EB，DE⊥EB
（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：
∵BC=6，∴在等腰直角△ABC 中，AC=62 ∵CF=32，∴AF=32 ∴CE=CF+FE=CF+
12AF 922
= 当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值，图形如下：
同理，CE=EF －CF 32
2
= 【点睛】
本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM 是等腰直角三角形．
12．综合与探究：
如图1，Rt AOB 的直角顶点O 在坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴正半轴上，4OA =，2OB =，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，过点C 作
CD x ⊥轴于点D ，抛物线23y ax x c =++经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，直线AC 与x 轴交于点H ．
（1）求点C 的坐标及抛物线的表达式；
（2）如图2，已知点G 是线段AH 上的一个动点，过点G 作AH 的垂线交抛物线于点F （点F 在第一象限），设点G 的横坐标为m ．
①点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为________；
②如图3，当直线FG 经过点B 时，求点F 的坐标，判断四边形ABCF 的形状并证明结论；
③在②的前提下，连接FH ，点N 是坐标平面内的点，若以F ，H ，N 为顶点的三角形与FHC 全等，请直接写出点N 的坐标．
【答案】（1）点C 的坐标为(6,2)，21322y x x =-++；（2）①143
m -+；②点F 的坐标为(4,6)，四边形ABCF 为正方形，证明见解析；③点N 的坐标为(10,4)或4226,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或384,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【解析】
【分析】
（1）根据已知条件与旋转的性质证明ABO BCD ≌，根据全等三角形的性质得出点C 的坐标，结合点E 的坐标，根据待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，由点A 、C 的坐标求出直线AC 的表达式，进而得解；
②过点G 作GM x ⊥轴于点M ，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，根据等腰三角形三线合一得出AG CG =，结合①由平行线分线段成比例得出点G 的坐标，根据待定系数法求出直线BG 的表达式，结合抛物线的表达式求出点F ；利用勾股定理求出AB BC CF FA ===，结合90ABC ︒∠=可得出结论； ③根据直线AC 的表达式求出点H 的坐标，设点N 坐标为(,)s t ，根据勾股定理分别求出2FC ，2CH ，2FN ，2NH ，然后分两种情况考虑：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ，若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，分别列式求解即可．
【详解】
解：（1）4=OA ，2OB =，
∴点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(2,0)，
线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，
AB BC ∴=，90ABC ︒∠=，
90ABO DBC ︒∴∠+∠=，
在Rt AOB 中，90ABO OAB ︒∴∠+∠=，
=OAB DBC ∴∠∠，
CD x ⊥轴于点D ，
90BDC ︒∴∠=，
90AOB BDC ︒∴∠=∠=．
AB BC =，
ABO BCD ∴△≌△，
2CD OB ∴==，4BD OA ==，
6OB BD ∴+=，
∴点C 的坐标为(6,2)，
∵抛物线2
3y ax x c =++的图象经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ， 236182c a c =⎧∴⎨++=⎩
， 解得，122
a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的表达式为21322
y x x =-++； （2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，
∵直线AC 经过点()6,2C ，(0,4)A ，
∴624k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得，134k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即143y x =-+， ∴点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为：1
43
m -+， 故答案为：1
43
m -+．
②过点G 作GM x ⊥轴于点M ， OM m ∴=，143
GM m =-+， AB BC =，BG AC ⊥，
AG CG ∴=， 90AOB GMH CDH ︒∠=∠=∠=，
OA GM
CD ∴， 1OM AG MD GC
∴==， 132
OM MD OD ∴===， 3m ∴=，1
433
m -+=，
∴点G 为(3,3)， 设直线BG 的表达式为y kx b =+，将(3,3)G 和(2,0)B 代入表达式得，2033k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 36
k b =⎧∴⎨=-⎩，即表达式为36y x =-， 点F 为直线BG 和抛物线的交点，
∴得2132362
x x x -++=-， 14x ∴=，24x =-（舍去），
∴点F 的坐标为(4,6)，
过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，
4PF ∴=，2AP =，2FQ =，4CQ =，
在Rt AFP △中和Rt FCQ △中，根据勾股定理，得25AF FC ==，
同理可得25AB BC ==，
AB BC CF FA ∴===，
∴四边形ABCF 为菱形，
90ABC ︒∠=，
∴菱形ABCF 为正方形；
③∵直线AC ：143y x =-
+与x 轴交于点H ， ∴1403
x -+=， 解得，x ＝12，
∴(12,0)H ，
∴222(64)(26)20FC =-+-=，222
(126)(02)40CH =-+-=，
设点N 坐标为(,)s t ，
∴222(4)(6)FN s t =-+-，222(12)(0)NH s t =-+-，
第一种情况：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ， ∴2222(4)(6)20(12)40
s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩， 解得，11425265s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，2262s t =⎧⎨=⎩（即点C ）， ∴4226,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； 第二种情况：若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，
∴2222(4)(6)40(12)20
s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩， 解得，1138545s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，22104s t =⎧⎨=⎩， ∴384,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
或(10,4)N ， 综上所述，以F ，H ，N 为顶点的三角形与△FHC 全等时，点N 坐标为(10,4)或4226,55⎛⎫
⎪⎝⎭或384,55⎛⎫ ⎪⎝
⎭． 【点睛】
本题是函数与几何的综合题，考查了待定系数法求函数的表达式，全等三角形的判定与性质，菱形与正方形的判定，旋转的性质，勾股定理等知识，其中对全等三角形存在性的分析，因有一条公共边，可对另外两边进行分类讨论，本题有一定的难度，是中考压轴题．
13．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点O （0，0），点A （5，0），点B
（0，3）．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．
（1）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；
（2）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ．
①求证△ADB ≌△AOB ；
②求点H的坐标．
（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（17
5
，3）；（3）
30334
-
≤S≤30334
+
．
【解析】
【分析】
（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；
（2）①根据HL证明即可；
②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；
（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；
【详解】
（1）如图①中，
∵A（5，0），B（0，3），
∴OA=5，OB=3，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，
∴AD=AO=5，
在Rt△ADC中，CD22
AD AC
-，
∴BD=BC-CD=1，
∴D（1，3）．
（2）①如图②中，
由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，
∵点D在线段BE上，
∴∠ADB=90°，
由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，
∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．
②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，
∴∠CBA=∠OAB，
∴∠BAD=∠CBA，
∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，
在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，
∴m2=32+（5-m）2，
∴m=17
5
，
∴BH=17
5
，
∴H（17
5
，3）．
（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值
=1
2
•DE•DK=
1
2
×3×（5-
34
2
）=30334
4
，
当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积
=1
2
×D′E′×KD′=
1
2
×3×（5+
34
2
）=30334
4
+．
综上所述，30334
-
≤S≤
30334
+．
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
14．(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.
填空:线段AD,BE之间的关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.
【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．22．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE
交AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．
（2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得∠OHB=90°，AD⊥BE；
（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE，故22【详解】
（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图1中，
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，
∠ACB=∠ACD=90°，
在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD
延长BE 交AD 于点F ，
∵BC ⊥AD ，
∴∠EBC+∠CEB=90°，
∵∠CEB=AEF ，
∴∠EAD+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．
∴AD=BE ，AD ⊥BE ．
故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ．
（2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．
理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于
O ．
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，
∴ACD=∠BCE ，
在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
AC BC
ACD BCE
CD
CE
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠OHB=90°，
∴AD⊥BE，
∴AD=BE，AD⊥BE．
（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，∴PC=BE，
图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-32，图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，
即5-32≤PC≤5+32．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
15．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．
结论1：DM、MN的数量关系是；
结论2：DM、MN的位置关系是；
拓展与探究：
（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出
MN∥AE，MN=1
2
AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=
1
2
AF，从而得到DM，MN数量
相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.
试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，
AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，
∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，
∴MN∥AE，MN=1
2
AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又
∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的
中点，∴DM=1
2
AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，
同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，
∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.。