3-2解一元一次方程

知识点回顾
1、方 程：含有未知数的等式．．
叫做方程 [1]
. 2、方程的解：使方程．．．的等号左右两边相等．．．．的未知数的值．．．．．，就是方程的解．．．．[2]。

3、解 方 程：求．方程的解的过程叫做解方程．．．。

4、一元一次方程
只．含有一个．．未知数（元），未知数的最高次．．．
数是．．1．
的整式方程叫做一元一次方程。

5、▲等式的基本性质
·等式的性质1：等式的两边同时加（或减） （ ），结果仍相等。

即：如果a =b ，那么a ±c =b 。

·等式的性质2：等式的两边同时乘 ，或除以 数，结果仍相等。

即：如果a =b ，那么ac =bc ； 或 如果a =b （ c ≠0 ），那么
c
b
c a （补充：性质3（对称性）：如果a =b ，那么b =a 。

性质4（传递性）：如果a ＝b,b ＝c,那么a ＝c. 性质5（可加性）：如果a ＝b,c ＝d,那么a ＋c ＝b ＋d.)
解一元一次方程有五个基本步骤：
步骤
名 称
方 法 根 据 注 意 事 项
1
去分母
方程两边同时乘以所有分母
的最小公倍数
等式性质2
1、不含分母的项也要乘以最小
公倍数；2、分子是多项式的一
定要先用括号括起来。

2
去括号 去括号法则
乘法分配律
注意正确的去掉括号前带负数
的括号
3 移项
把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边
（右边）
等式性质1
移项一定要改变符号
教学课题 3-2解一元一次方程
教学目标
1、 进一步掌握一元一次方程的基本概念；
2、 会用移项的方法解方程；
3、 能熟练运用等式的性质进行去分母；
教学重点 熟练用移项的方法解方程；
教学难点
灵活运用所学的知识解一元一次方程；
4 合并 同类项 分别将未知项的系数相加、常数项相加 1、整式的加减； 2、有理数的加法法则 单独的一个未知数的系数为“±1”
5 系数化为“1” 在方程两边同时除以未知数
的系数（方程两边同时乘以未知数系数的倒数）
等式性质2
不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）
*6
检根 x=a 方法：把x=a 分别代入原方程的两边，分别计算出结果。

① 若 左边＝右边，则x=a 是方程的解； ② 若 左边≠右边，则x=a 不是方程的解。

注：当题目要求时，此步骤必须表达出来。

自我评测
知识点
掌握情况
备注
非常好
一般
有待提高
移项 去括号 去分母
例题剖析
例1、已知方程232)1(2
=-+-x x a 是关于x 的一元一次方程，则a= 。

【变式练习】
1、在下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A ）23+=-y x
B ）
02
=x
C ）23+-x
D ）032
=-x
2、下列各式中是一元一次方程的有（ ）
① x －1＝4x ②5（x －1）＝0③2
x －5x ＝2
x ＋1④6＝x ＋6⑤x-1=x
1
⑥5x-7=8(2x+3) A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 3、已知方程74)2(1
=+--m x
m 是关于x 的一元一次方程，则m=__________。

例2、一个一元一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程 . 【变式练习】
写出一个一元一次方程，使它的解是-3，这个方程是 ．
例3：若关于x 的一元一次方程2313
2
x k x k ---=的解是1x =-,则k 的值是 .
【变式练习】
1、★若x=4是方程a x
-2
=4的解，则a 等于（ ） A. 0 B.
2
1
C.-3
D.-2 2、★★已知关于x 的一元一次方程a x －b x=m 有解，则有（ ）
A. a ≠b
B.a>b
C.a<b
D.以上都对
3、检验括号中的数是否为方程的解：
(1) 3x - 4=8 (x =3，x =4) (2) 4y +3=6y -7 (y =4，y =5)
例4：下列等式变形错误的是( )
A.由a =b 得a +5=b +5
B.由a =b 得
99
a b
=
-- C.由x +2=y +2得x =y D.由-3x =-3y 得x =-y 【变式练习】
1、运用等式性质进行的变形,正确的是( ) A.如果a =b ,那么a +c=b -c; B.如果a b
c c
=,那么a =b; C.如果a =b ,那么
a b
c c
=; D.如果a 2=3a ,那么a =3 2、下列变形中，正确的是（ ）
A 、若ac=bc ，那么a=b 。

B 、若c
b
c a =，那么a=b
C 、a ＝b ，那么a=b 。

D 、若a 2=b 2那么a=b
思维误区
【1】 一元一次方程未知数的系数一定不能为零，且未知数的次数一定是1而不是零。

【2】 根据下列条件列方程：
（1） 甲数比乙数少6；（2）甲数比乙数多20%； 错解：（1）设甲数为x ，则乙数为x-6； （2）设甲数为x ，则乙数为x-20%. 正解：（1）设甲数为x ，则乙数为 ； （2）设甲数为x ，则乙数为 .
错因分析：（1）没有弄清甲数和乙数哪个大；（2）没有弄清“多20%”的含义
方法规律
[1]由方程的定义可知，方程必须满足．．．．
两个条件：一要是等式，二要含有未知数。

[2]方程的解的个数随方程的不同而有多有少〖见基础练习2〗，但一个一元一次方程有且只有．．．．一个解。

[3] 一元一次方程的一般形式．．．．：ax+b=0（a 、b 为常数，且a≠0，即末知数的系数一定不能为0）。

一元一次方程，一定是整式方程（也就是说：等号两边的式子都是整式）。

如：3x －5=6x ，其左边是一次二项式（多项式）3x －5，而右边是单项式6x 。

所以只要分母中含有未知数的方程一定不是整式方程（也就不可能是一元一次方程了）。

巩固练习
一、选择题：
1、选项中是方程的是（ ）
A.3x+2=5
B. a-1>2
C. a ²＋b ²-55
D. a ²+2a-3=5 2、方程2m+x=1和3x-1=2x+1有相同的解，则m 的值为（ ）．
A ．0
B ．1
C ．-2
D ．-2
1
二、填空题： 1、 已知等式0352
=++m a
是关于a 的一元一次方程，则m=__________。

2、 已知方程74)2(1
=+--m x m 是关于x 的一元一次方程，则m=__________。

3、 若31
392b a b
a n m n ++-与是同类项，则m-n=_______________。

4、 若21
3
y nx
y mx m p
+与的和为0，则m-n+3p =___________。

5、 x 的方程(k+2)x 2
＋4kx －5k ＝0是一元一次方程,则k ＝_______,方程的解为_______
中考体验
1（ 2011重庆江津， 3，4分）已知3是关于x 的方程2x －a=1的解,则a 的值是( ) A.－5 B.5 C.7 D.2
2. （2011湖南邵阳，13，3分）请写出一个解为x=2的一元一次方程：_____________。

3. （2011广东湛江15,4分）若2x =是关于x 的方程2310x m +-=的解，则的值为 ．
例1 用移项法解方程 解方程5x-7+3x=6x+1 解 移项得 5x+3x-6x=1+7 合并同类项的 2x=8 系数化为1得 x=4
练习：指出下列方程求解过程中的错误，并给予纠正： 解方程： 5x －2＝x ＋4
5x ＋x ＝―4―2 6x ＝－6 x ＝－1
例2 去括号解方程 5(x -4)-7(7-x )-9=12-3(9-x ) 解 去括号，得 5x -20-49+7x -9=12-27+3x
移项 ，得 5x -3x +7x =12-27+20+49 合并同类项得 9x =54 系数化为1，得 x =6
例3 解方程：21101
136
x x ++-=．
解：去分母，得2211016x x +-+=（）（）。

去括号，得421016x x +--=。

移项 、合并，得65x -=。

系数化为1，得56
x =-。

例4 解方程
35
.01
2.02=+--x x (利用分数的基本性质：方程的右边没有变化， 解 方程可以化为： 35
10
1022010=+--x x 这要和“去分母”区别。

） 去分母，得5(10x -20)-2(10x +10)=30 去括号，得 50x -100-20x -20=30 移项得50x -20x=30+100+20 合并同类项得 30x =150 系数化为1得 x =5
典型例题
例1、解一元一次方程
（1）7x-4.5x=2.5×3-5 （2）3x+7=32-2x
4-3(2-x)=5x-2 2x －13 =x+2
2 +1
【变式练习】
12542.13-=
-x x 3
12121-=-x x
3（x-2）=2-5(x-2) 3(1)2(2)23x x x +-+=+
2151136x x +--= 12
5
x 5241342--=-++x x
003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6．8316
1.20.20.55
x x x +-+-=-
例2、（1）当n 为何值时关于x 的方程n 2
x
113n x 2+-=++的解为0？
（2）若对于任意的两个有理数m, n 都有m ※n=4
3n
m +，解方程3x ※4=2.
（3）当.383
2
2倍的的值是为何值时，代数式x x x x ++-
【变式练习】
1、 若关于x 的方程3x-7=2x+a 的解与方程4x+3=7的解相同，求a 的值。

2、已知2x =-是方程ax 2
－（2a －3）x+5=0的解，求a 的值
3、已知1x =-是关于x 的方程 327350x x kx -++= 的解，求221195k k --的值.
思维误区
1、错于移项
例 1 解方程 4x - 2 =3 - x . 错解：移项，得 4x - x = 3 - 2. 合并同类项，得3x = 1. 方程两边同除以3，得x =
3
1. 分析：方程中的某一项从方程的一边移到另一边，应改变符号，而上述并没有改变符号. 2、错于去分母
（1）去分母时漏乘不含分母的项 例 2 解方程
312-x =4
2
+x - 1 . 错解：去分母，得 4（2x - 1）= 3（x + 2）- 1 . 去括号，得8x – 8 = 3x + 6 – 1. 移项、合并同类项，得5x = 13. 方程两边同除以5，得x =
5
13
. 分析：去分母时，方程两边都乘各分母的最小公倍数，而上述解法漏乘了方程右边不含分母的项“1”. （2）去分母时漏添括号 例 3 解方程
312+x -6
1
5-x = 1 .
错解：去分母，得 4x + 2 - 5x - 1 = 6 . 移项、合并同类项，得x = -5.
分析：上述错误是忽视了分数线的双重功能，即分数线不仅具有“除号”作用，而且还具有“括号”作用. 因此去分母时，不要忘记给分子加上括号，特别是最小公倍数与分母相等时更要注意.
3、错于去括号
例 4 解方程 11x + 1=5（2x + 1）. 错解：去括号，得11x + 1= 10x + 1. 移项、合并同类项，得x = 0.
分析：运用乘法分配律去括号时，用括号外面的数去乘括号内的每一项，再把积相加. 上述解法只乘了括号内的第一项.
4、错于把未知数的系数化为1 例 5 解方程 2x + 5 = 10 - 8x . 错解：移项，合并同类项，得 10x = 5 . 系数化为1，得 x = 2 .
分析：把方程10x = 5中x 的系数化为1时，两边都除以10即10为除数，应得x =2
1
. 上述解法10作了被除数，故而错误.正解略.
5、错于化小数为整数
化分母的小数为整数时混用分数基本性质和等式基本性质
例 6 解方程
2.01+x -4
.01
3-x = 1 .
错解：原方程变形为：21010+x -4
10
30-x = 10，
去分母，得2（10x + 10）-（30x -10）= 40. 移项，合并同类项，得-10x =10. 方程两边同除以-10，得 x = -1.
分析：原方程为了把分母0.2和0.4化为整数，利用分数基本性质将
2.01
+x 和-4
.013-x 两项的分子、
分母同乘以10，并非利用等式基本性质，方程两边都乘以10，方程右边应为1而不是10.
方法规律
解一元一次方程的步骤：
①去分母：在方程的两边都乘以各分母的 .注意不要漏乘不含分母的项，分子为多项式的要加上括号；
②去括号：一般先去 ，再去 号，最后去 .注意不要漏乘括号里的项，当括号前是“-”时，去掉括号时注意括号内的项都要变号；
③移项：将含有未知数的项移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边.注意移项要 ，移项和交换位置不同；
④合并同类项：将同类项合并成一项，把方程化为ax=b （a ≠0） 的形式.注意只合并同类项的 ；
⑤系数化为1：在方程ax=b 的两边都除以a ，求出方程的解x= .注意符号，不要把方程ax=b 的解写成x=
b
a。

巩固练习
A 组
一．巩固练习： （一） 选择题
1.方程2x －1=x ＋4的解是 （ ） A ． x=2 B ． x=3 C ． x=4 D ． x=5
2.给出下面四个方程及其变形：
①48020x x +=+=变形为；②24357-=-=+x x x 变形为； ③
2
5
3215
x x ==变形为；④422x x =-=-变形为； 其中变形正确的是
A ．①③④
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③ 3.方程2（x-3）-3（2x+1）=9去括号得（ ）
A ．2x+6-6x+3=9
B ．2x-3-6x-1=9
C ．2x-6-6x+3=9
D ．2x-6-6x-3=9 4. 解方程
16
1
x 1031x 2=+-+时，去分母，去括号后，正确结果是（ ） A ．4x+1-10x+1=1 B ．4x+2-10x-1=1
C ．4x+2-10x-1=6
D ．4x+2-10x+1=6 （二） 填空题
1. 若a ＝b ＋2，则a －b ＝________。

2．如果
13x
2x -=，那么2x -16=________。

3.若2332x ab +-与41
32
x ab +-是同类项，则x ＝________。

4.方程5-
02
2x
1=+去分母得________。

（三） 解答题 1、解下列方程
（1） 434-=x x （2）、0)12(2)5(5=---x x
（3）、....x x +=-0713715023； （4）0)1(4.2)5.1(5.0=-+-x x （5）47815=-a （6）21101
1412
x x x ++-=-
； （7）8
2
31652--
=+x x （8）2(21)2(1)3(3)x x x -=+++
2、 指出下列方程在求解过程中的错误，并给予改正。

(1) 解方程524x x -=+
解： 542x x +=-- _______________________________ 66x =- _______________________________ 1x =- _______________________________ (2) 解方程
124362
x x x
-+--= 解： 222123x x x --+=- __________________________ 231222x x x -+=+- __________________________ 412x = __________________________ 3x = __________________________
3、已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值
4、当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值.
5、当m 等于什么数时，代数式2m-
315-m 的值与代数式32
7--m 的值的和等于5？
B 组
（一）选择题
1. x 取何值时，代数式54-x 与23-x 的值互为相反数？ （ ）
A －1
B 1
C 7
D 1 2
2. 某书中一道方程题x 13
x 2=+⊗+,则⊗处印刷时被黑墨盖住了，查后面答案，这道题的解为x=-2.5，那么⊗处的数字为（ ）
A ．-2.5
B ．2.5
C ．3.5
D ．5
3.方程x -=52的解是（ ）。

A.7
B.±7
C.3
D.7或3
4．若多项式2a ²+1的值是6，则4a ²＋5的值是（ ）。

A.10 B ．15 C ．20 D ．25
5、如图是一个简单的数值运算程序，当输入的x 的值为1-时，则输出的值为 （ ）
x 输入→)3(-⨯→2-→输出
A.1
B. –5
C.-1
D.5
6、若关于χ的a χ=3的解是自然数，则整数a 的值为（ ）
A 、1
B 、3
C 、1或3
D 、±1或±3
7. x ＝9 是方程b x =-23
1的解，那么=b ，当=b 1时，方程的解 ； 8. 已知关于x 的方程1(6)326
x x a x +=--无解，则a 的值是（ ） A.1 B.-1 C.±1 D.不等于1的数
（二）填空题
1. 当x ＝________，代数式213x +的值比516
x -的值大1。

2.若方程3x －5＝1与方程1－22a x
-＝0有相同的解，则a 的值等于 ．
3.若3x+6y-5=0，则2x+4y+6=________。

4.如果定义一种运算为a ＃b=ab 1b -a +，则（2＃3）＃（2＃3）＃7
6________。

5若34+x 与56
互为倒数，则x=___________。

（三）解答题
1、解方程
112[(1)](1)223
x x x --=- 2139x -+=
14.5 - 2(t-3)5 = 15t 10 - 4t-286 2x-13 - x+0.10.6 = 2x+14
– 1
3、 已知21x =
是方程6（2x+m ）=3m+2的解，求关于y 的方程my+2=m （1-2y ）的解。

4、 在做解方程练习时，学习卷中有一个方程“+=-y y 2
1212■ ”中的■没印清晰，小聪问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当x =2时代数式5122)4x x ----（）（的值相同．”
聪明的小聪很快补上了这个常数．同学们，你们能补上这个常数吗？（09天河区 期末）
5、 如果方程
42832
x x -+-=-的解与方程4x-(3a+1)=6x+2a-1的解相同，求式子1a a -的值。

中考体验 1（2011湖北荆州，6，3分）对于非零的两个实数a 、b ，规定a
b b a 11-=⊗，若1)1(1=+⊗x ，则x 的值为
A ．23
B ．31
C ． 21
D ． 2
1- 2. （2011福建泉州，10，4分）已知方程||x 2=，那么方程的解是 .
3. （2011山东滨州，20，7分）依据下列解方程
0.30.5210.23x x +-=的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。

解：原方程可变形为352123
x x +-= (__________________________) 去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (__________________________)
去括号，得9x+15=4x-2. （____________________________）
(____________________),得9x-4x=-15-2. (____________________________)
合并，得5x=-17. (合并同类项)
（____________________）,得x=175
-
. （_________________________）。