小波分析理论及其应用

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上海大学2010～2011学年冬季学期研究生课程
课程名称：信息采集与处理技术课程编号：091102910 论文题目: 小波分析理论及其应用
研究生姓名: 刘金鼎学号: 11721228
论文评语:
成绩: 任课教师: 昝鹏
评阅日期:
小波分析理论及其应用
刘金鼎
（上海大学机电工程与自动化学院，上海 200072）
摘要：小波分析的理论与方法是从Fourier分析的思想方法演变而来的。

就象Fourier分析分为积分Fourier变换和Fourier级数一样，小波分析也分为(积分)小波变换和小波级数两部分，(积分)小波变换的主体是连续小波变换，多尺度小波变换和s－进小波变换；而小波级数的主体部分是关于小波框架的理论。

小波分析理论深刻，应用广泛，并且仍在迅速发展之中。

本文作者作为初学者，单单就（积分）小波变换这一理论中比较基本和初步的东西所作的一点归纳和整理，介绍了小波变换的定义及特点，以及多分辨率分析的问题，最后以一些图像去噪应用来形象说明小波分析的作用。

关键词：傅里叶分析；小波分析；多分辨率
PXI Bus
LIU Jin-ding
(School of Mechatronics Engineering & Automation, Shanghai University, Shanghai 200072, China)
Abstract: The theory and methods of wavelet analysis comes from Fourier analysis .Just as Fourier
analysis is divided into Fourier transform and Fourier series, wavelet analysis is divided into the wavelet transform and wavelet series. The main body of the wavelet transform is the continuous wavelet
transform, multi-scale wavelet transform and s-dyadic wavelet transform, while the main part of the
wavelet series is wavelet frame. Wavelet analysis is a kind of profound theory, which is used widely and develops rapidly. The author of the paper is a beginner of wavelet theory; he just summarized and
organized some fundamental theory of wavelet analysis. The paper introduced the definition and
characteristics of wavelet analysis, and then talked about the theory of multi- resolution ratio. In the end,
a few of image denoising abstract applications were used to explain the function of wavelet analysis
vividly.
Key words: Fourier analysis; wavelet analysis; multi- resolution ratio
1 引言
1.1 问题的提出
Fourier变换只能告诉我们信号尺度的范围，而无法给出信号的结构以及它蕴含的大小不同尺度的串级过程，即Fourier变换在时空域中没有任何分辨率。

此外，傅立叶分析无法解决信号奇异性的位置。

20世纪80年代初由法国油气工程师Morlet提出的小波分析[1]（wavelet Analysis，又称子波分析)能成功地解决这些问题。

因此小波分析是Fourier分析发展史上的一个里程碑。

小波分析一面世，立刻成为国际研究热点。

目前小波分析在信号处理、图像压缩、语音编码、模式识别、地震勘探、大气科学以及许多非线性科学领域内取得了大量的研究成果。

小波分析之所以广泛得到应用在于:它具有时域和频域同时具有良好的局部性质；能将信号(时间序列)分解成交织在一起的多尺度成分，从而能够不断地聚集到所研究对象的任意微小细节；同时具有数学上严格意义的突变点诊断能力。

1.2 小波分析的形成及发展
小波分析是一调和分析方法[2,3]，是Fourier分析发展史上的一个里程碑式的进展，被人们誉为数学“显
微镜”。

小波分析理论及其方法的形成和应用在科学技术界引起一场轩然大波并成蔓延之势。

小波理论形成经历了三个阶段[2]:
(1)Fourier 变换(FT)阶段：
在信号分析中，我们对信号的基本刻化，往往采取时域和频域两种基本形式。

时域分析无法得到关于信号变化的更多信息(如采样、周期等)。

1822年Fourier 提出的频域分析法—Fourier 变换（()
ωF ），能揭示信号f(t)的能量在各个频率成分中的分布情况。

设信号为()
t f ，其Fourier 变换为：
()()dt e t f F t i ⎰
∞
+∞
--=
ωπ
ω21
许多时域上看不清的问题，通过()
ωF 就显得清晰了。

Fourier 变换将信号的时域特征和频率特征联系起来，能分别从时域和频域上观察信号，但不能把二者有机结合起来。

另外，Fourier 变换是整个时间域内的积分，识别出的频率在什么时候产生并不知道，因此不能反映某一局部时间内信号的频谱特性，即在时间域上没有任何分辨率。

这样在信号分析中就面临一对矛盾：时域和频域的局部化矛盾。

Fourier 变换对具有突变的信号，如地震波、暴雨、洪水等的分析带来诸多不便和困难。

这就促使寻求一种信号时频局部分析新方法。

(2)短时Fourier 变换(SFT)阶段
1946年Gabor 提出SFT 。

短时Fourier 变换又称加窗Fourier 变换，由Gabor1946年提出。

其基本思想是:把信号划分成许多小的时间间隔，用Fourier 变换分析每一个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，以达到时频局部化之目的。

短时Fourier 变换的表达式为：
()()()dt e t g t f f F t i g ωτπ
τω-∞
+∞
-⎰
-=
21,
SFT 能实现信号时频局部化分析，但窗函数一选定，其窗口的大小和形状固定不变，其分辨率是有限
的。

由于频率与周期成反比，反映信号高频成分需要较高的时间分辨率(窄的时间窗)，反映低频成分需要较低的时间分辨率(宽的时间窗)。

因此，加窗Fourier 变换对研究高频率信号和低频率信号都不是有效的。

(3)小波分析阶段
小波分析是一种窗口的大小固定、形状可变的时频局部化信号分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低频率分辨率。

小波在继承SFT 的基础上，Morlet 提出了小波变换法(WT)。

WT 可研究信号在各个时刻或各空间位置在不同尺度上的演变情况，实现了时频局部化分析。

小波理论的思想源于信号分析的伸缩与平移。

1980年由Morlet 首创。

1984年他与Grossman 共同提出连续小波变换的几何体系，成为小波分析发展的里程碑。

1985年，法国数学家Meyer 创造性构造了规范正交基，提出了多分辨率概念和框架理论。

小波热由此兴起。

1986年Battle 和Lemarie 记又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数；同年，Mallat 创造性地发展了多分辨分析概念和理论并提出子决速小波变换算法—Mallat 算法。

Daubechies(1988)构造了具有有限紧支集的正交小波基，Chui 和王建忠(1990)构造了基于样条函数的正交小波。

至此，小波分析的系统理论得以建
立。

最近有人又提出了小波包理论，它是小波理论的进一步发展。

2 小波变换的基本理论
小波即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为零的波形。

它有两个特点：一是“小”，即在
时域具有紧支集或近似紧支集；二是正负交替的“波动性”，也即支流分量为零。

2.1连续小波变换[4,5] 2.1.1 连续小波基函数
所谓小波(Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。

小波函数的数学定义是：设()t ψ为一平方可积函数，
即()()R L t 2
∈ψ，若其傅立叶变换()w ψˆ满足：
()∞
=⎰
dw C R
w
w 2
ψψ
时，则称()t ψ为一个基本小波或小波母函数，并称上式是小波函数的可容许条件。

根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点;另一方面，根据可容许性条件可知()0
0==w w ψ，即直流分量为零，因
此小波又具有正负交替的波动性。

将小波母函数()t ψ进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a ，平移因子为b ，并记平移伸缩后的函数为
()
t b a ,ψ，则：
()()0
;,,2
1
,≠∈=--a R b a a t a t b a τ
ψψ
并称 为参数 和 小波基函数。

由于 和 均取连续变换的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数 经伸缩和平移后得到的一组函数系列。

定义小波母函数()t ψ的窗口宽度为t ∆，窗口中心为0
t ，则可以求得连续小波基函数
()
t b a ,ψ的窗口中
心及窗口宽度分别为：
t
a t
b at t a b a ∆=∆+=τ,0,,
设()w ψˆ
是()t ψ的傅立叶变换，频域窗口中心为
w ，窗口宽度为w ∆，()t ψ的傅立叶变换为()
w b a ,ψ，
则有:
()()
aw e a w jwb b a φψ-=
,
所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为：
w
w w w a b a a b a ∆=∆=1,01,,
由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子a 的函数，均随着a 的变化而伸缩，并且还有
w
t w t b a b a ∆⋅∆=∆⋅∆,,
即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是Heisenberg 测不准原理。

将不同a 、b 值下的时频窗口绘在同一个图上，就得到小波基函数的相平面（如图1所示）。

图1小波基函数的相平面
对不同的频率成分，在时域上的取样步长是可调的，高频者(对应小的m 值)采样步长小，低频者(对应大的m 值)采样步长大。

也就是说，小波变换能实现了窗口的大小固定，形状可变的时频局部化，见图1。

正是这个意义上小波变换被誉为数学“显微镜”。

2.1.2 连续小波变换
将()R L 2空间的任意函数()t f 在小波基下进行展开，称其为函数()t f 的连续小波变换CWT ，变换式
为：
()()()dt t f f b a WT a
b t R
a
b a f -⋅>=
=<⎰ψψ1
,,,
当小波的容许性条件成立时，其逆变换为：
()()()⎰
⎰
+∞∞
--+∞
∞-⋅=
db
b a WT t f a b t f a da C ψψ
,2
1
其中()
∞
=⎰
dw C R w w 2
ψψ为()t ψ的容许性条件
我们可以这样理解，傅立叶分析是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析是将信号分解为一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移和尺度伸缩得来的。

小波分析优于傅立叶分析的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。

而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域或频域取样步长，从而可以聚焦到对象的任何细节，所以被称为“数学显微镜”。

小波分析广泛应用与信号处理、图像处理、语音识别等领域。

可以这样理解小波变换的含义：打个比喻，我们用镜头观察目标信号f (t)， ψ(t)代表镜头所起的所用。

b 相当于使镜头相对于目标平行移动，a 的所用相当于镜头向目标推进或远离。

由此可见，小波变换有以下特点：
➢ 多尺度/多分辨的特点，可以由粗及细地处理信号；
➢ 可以看成用基本频率特性为ψ(ω)的带通滤波器在不同尺度a 下对信号做滤波。

➢ 适当地选择小波，使ψ(t)在时域上为有限支撑,(ω)在频域上也比较集中，就可以使WT 在时、
频域都具有表征信号局部特征的能力。

2.2离散小波变换[6]
计算机中的图像信息是以离散信号形式存放的，所以需要将连续小波变换离散化。

而最基本的离散化方法就是二进制离散，一般将这种经过离散化的小波及其变换叫做二进小波和二进变换。

需要注意的是这里的离散化都是针对连续的尺度因a 和连续平移因子b 的，而不是针对时间t 的。

这儿限制尺度因子a 总是正数。

（1）尺度与位移的离散化
对连续小波基函数()
t b a ,ψ尺度因子a 和平移因子b 进行离散化可以得到离散小波变换
()
b a WT f ,，从
而减少小波变换系数的冗余度。

在离散化时通常对尺度因子a 和平移因子b 按幂级数进行离散化，即取
m
m
b b a a 00,==（m 为整数，
,
10≠a 但一般都假定
1
0 a ），得到离散小波函数为：
()(
)()
0011
,0
00
nb t a t m
a a
b na t a n m m
m
-=
=
--ψψ
ψ
其对应系数为：
()()()dt
t t f t f C n m n m n m ,,,,ψψ⎰
+∞
∞
->=
=<
（2）二进制小波变换
二进小波变换是一种特殊的离散小波变换，特别地令参数
2
0=a ，
1
0=b ，则有
()
n t m n m m
-=--222
,ψψ。

该二进尺度分解的原理在二十世纪三十年代由 Littlewood 和 Paley 在数学上进
行了研究证明。

离散小波变换为：
()()()dt t t f n m n m WT n m f ⎰+∞
∞
->=
=<,,,ψ
离散二进小波变换为：
()()()dt
t t f n m n m WT n m f ⎰
+∞
∞
->=
=<,,,ψ
2.3 多分辨率分析[7]
Mallat 在构造正交小波基时提出了多分辨率分析（Multi-Resolution Analysis ）的概念，从空间概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，并将在此之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波的快速算法——Mallat 算法。

Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。

多分辨率分析可形象地表示为一组嵌套的多分辨率子空间（如图2所示）。

图2嵌套的多分辨率子空间
假设原信号的频率空间为0V ，经第一级分解后0V 被分解成两个子空间：低频的1V 和高频的1W ；经第二级分解后1V 被分解成低频的2V 和高频的2W 。

这种子空间的分解过程可以记为： 4321W W W W ⊥⊥⊥ 3210V V V V ⊃⊃⊃
W1
W2 W3
V3
N N N W V V W V V W V V W V V ⊕=⊕=⊕=⊕=-1332221110,,,,
其中符号⊕表示两个子空间的“正交和”；f V 代表与分辨率j -2对应的多分辨率分析子空间；与尺度函数相对应的小波函数的伸缩和平移构成的矢量空间j W 是j V 的正交补空间；各j W 是反映1-j V 空间信号细节的高频子空间，j V 是1-j V 反映空间信号概貌的低频子空间。

由离散小波框架可得到子空间的以下特性：
121122110W W W W V W W V W V V N N N ⊕⊕⊕⊕=⊕⊕=⊕=-
这一结果表明：分辨率为20=1的多分辨率分析子空间0V 可以用有限个子空间来逼近。

3 小波分析的应用
3.1 利用小波对信号进行处理的一般步骤
小波的应用主要是信号的处理，其中最典型的应用是小波图象压缩。

另外，小波在诸如信号去噪、特征提取等多方面均有成功的应用。

下面以图象去噪为例说明小波应用策略。

小波的各种应用均可分为以下三步[7]：
1）取样：这是一个预处理过程。

取样方法应遵循取样定理[8]。

1）对原始信号作小波变换，将信号由空域变换到频域； 2）对小波系数做相应处理；
3）对处理后的小波系数做小波逆变换，重构还原原信号。

3.2小波图像去噪
因为噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，所以小波去噪首先对图像信号进行小波分解，可利用门限阈值对所分解的小波系数进行处理，然后对图像信号进行小波重构，抑制图像信号中的无用部分，恢复图像信号中的有用部分。

如图3所示，具体步骤为[9]：
1）图像信号的小波分解：选择合适的小波及恰当的分解层次N ，对目标图像进行N 层的小波分解； 2）对分解后的高频系数进行阈值量化：对于分解的每一层，选择恰当的阈值，对该层高频系数进行阈值量化处理。

利用软阈值或硬阈值门限处理相应的小波系数, 获得新的被压缩的小波系数；
3）重构图像：根据小波分解后的第N 层近似的低频系数和经过阈值量化处理后的细节高频系数，重构图像。

图3小波图像分解过程（重构时逆向即可）
其二层小波图像重构过程正好与此相反，基于小波变换的图像处理，是通过对图像分解过程中所产生的近似分量与细节分量系数的调整，使重构图像满足特定条件，而实现图像处理。

4 总结
本文首先对小波分析的形成过程以及各个阶段进行了简要概括，接着介绍了连续小波变换、离散小波变换及其与傅立叶变换的关系等的基本原理，着重介绍了信号的多分辨率分析，因为它是对信号和图像进行分析的关键。

然后介绍了利用小波对信号进行处理的一般步骤，着重对图像去噪进行了说明，有助于帮助理解多分辨率分析理论。

参考文献
[1] 崔锦泰. 小波分析导论. 西安: 西安交通大学出版社, 1995.
[2] 刘贵忠等. 小波分析及应用. 西安: 西安电子科技大学出版社, 1995.
[3] 秦前清等. 实用小波分析. 西安: 西安电子科技大学出版社, 1994.
[4] 孙延奎. 小波分析及其应用. 北京: 机械工业出版社, 2005.
[5] 梁学章等. 小波分析. 北京: 国防工业出版社, 2005.
[6] Stephane Mallat. A Wavelet Tour of Signal Processing. Academic Press, 1998.
[7] 芮国胜, 唐健等.小波与傅立叶分析基础. 北京:电子工业出版社, 2004: 170-190.
[8] 胡广书. 数字信号处理: 理论、算法与实现. 北京: 清华大学出版社.
[9] 杨先麟, 朱艳芹. 小波分析在图像处理中的应用. 理论与方法. 2007, 26(6): 19-22.。