2019年马鞍山市高三数学下期末试卷及答案

2019年马鞍山市高三数学下期末试卷及答案
一、选择题
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32x
y =⨯的图象上，等
比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*
()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）
A ．2n n S T =
B ．21n n T b =+
C ．n n T a >
D ．1n n T b +<
2．已知集合2
A {t |t 40}=-≤，对于满足集合A 的所有实数t ，使不等式
2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )
A ．()(),13,∞∞-⋃+
B ．()(),13,∞∞--⋃+
C ．(),1∞--
D ．()3,∞+
3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张
卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
23
D ．
34
4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A ．甲、乙、丙
B ．乙、甲、丙
C ．丙、乙、甲
D ．甲、丙、乙
6．
()()3
1i 2i i --+=（ ）
A ．3i +
B ．3i --
C ．3i -+
D ．3i -
7．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,A A A L ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（ ） A ．只能是左端点的函数值()i f x B ．只能是右端点的函数值1()i f x +
C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i f
ξξ∈1[,]i i x x +）
D ．以上答案均正确
9．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
A ．6500元
B ．7000元
C ．7500元
D ．8000元
10．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）
x
3 4 5 6 y 2.5
t
4
4.5
A ．产品的生产能耗与产量呈正相关
B ．回归直线一定过
4.5,3.5（） C ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
D ．t 的值是3.15
11．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为
[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )
A ．45
B ．50
C ．55
D ．
12．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
二、填空题
13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为
升；
14．若x ，y 满足约束条件1300
x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是__________．
15．若过点()2,0M 且斜率为3的直线与抛物线()2
:0C y ax a =>的准线l 相交于点
B ，与
C 的一个交点为A ，若BM MA =v u u u v
，则a =____．
16．已知0x >，0y >，0z >，且36x y z ++=，则32
3x y z ++的最小值为
_________．
17．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.
18．计算：1726
cos()sin 43
ππ-
+=_____． 19．设函数2
1()ln 2
f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.
20．在ABC ∆中，若13AB =3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．
三、解答题
21．在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6
a B
b A π
=+
，
③sin
sin 2
B C
b a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答
. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，26a =， . 求ABC ∆的面积.
22．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 11
4
=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列.
（1）求{a n }； （2）设b n ()
()22
21
2n n n n c n b b log a +=
=+，，求数列{c n }的前n 项和T n .
23．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y α
α=+⎧⎨=-⎩
（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，
x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1
sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.
24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t
y at
=+⎧⎨=-⎩（t 为参数，a R ∈），以
坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C 的极坐标方程是
22sin 4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）己知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且7AB =
，求实数a 的值.
25．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，
AC BD P =I ，11A C EF Q =I .求证：
（1）D B F E ，，，四点共面；
（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线.
26．如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,
3
AC BC B C ACB π==∠=
（I ）求证：1//QB 平面11A ACC （Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值.
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得：332,323n n
n n S S +=⨯=⨯- ，
由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项
公式：1
32n n a -=⨯ ，
设11n n
b b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，
数列{}n b 的通项公式12n n
b -= ，
由等比数列求和公式有：21n
n T =- ，考查所给的选项：
13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .
本题选择D 选项.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
由条件求出t 的范围，不等式221x tx t x +->-变形为2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理． 【详解】
由240t -≤得，22t -≤≤，113t ∴-≤-≤
不等式221x tx t x +->-恒成立，即不等式2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式
()()110x t x +-->恒成立，
∴只需{10
10x t x +->->或{
10
10x t x +-<-<恒成立， ∴只需{
11x t
x >->或{
11x t
x <-<恒成立，113t -≤-≤Q
只需3x >或1x <-即可． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．
3．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．
从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是2
46C =种，数学之和为偶数的有13,24
++两种，所以所求概率为1
3
，选B ． 考点：古典概型．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】
由题意得x 3的系数为31
4424812C C +=+=，故选A ．
【点睛】
本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．
【点睛】
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果.
【详解】
由题意得，复数()()()
3
1i2i13i i
13i
3i
i i i i
--+-+⋅
-+
===--
--⋅
．故应选B
【点睛】
本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住
2i1
=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．
【详解】
根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
根据近似替代的定义，近似值可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈ []1,i i x x +），
故选C ．
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可． 【详解】
设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000． 故选D ． 【点睛】
本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．
10．D
解析：D 【解析】 由题意，x =
3456
4
+++=4.5， ∵ˆy
=0.7x+0.35， ∴y =0.7×
4.5+0.35=3.5， ∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3， 故选D ．
11．B
解析：B 【解析】
根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20， 则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于60分的人数是15人， 所以该班的学生人数是15÷0.3=50. 本题选择B 选项.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2
25
2
R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】
设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得
2
2
2
3524R =++，解得2
252R =
，所以球的表面积为2
2544502
S R πππ==⨯
=球. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
二、填空题
13．【解析】试题分析：由题意可知解得所以考点：等差数列通项公式
解析：67
66
【解析】
试题分析：由题意可知123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得
137,2266a d =
=，所以5167466a a d =+=. 考点：等差数列通项公式． 14．﹣33【解析】分析：由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由约束条件作出可行域如图：联立解得化目标函数为直线方程的斜截式
解析：[﹣3，3] 【解析】
分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案. 详解：由约束条件作出可行域如图：
联立
13x y x y -=-+=，解得1
2
x y ==，()1,2B ，
化目标函数2z x y =-为直线方程的斜截式22
x z y =-. 由图可知，当直线22
x z
y =
-过()1,2B ，直线在y 轴上的截距最大，z 最小，最小值为1223-⨯=-；
当直线22
x z
y =
-过()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最大，最大值为3203-⨯=. ∴2z x y =-的取值范围为[﹣3，3].
故答案为：[﹣3，3].
点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
15．【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A 的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A 点坐标为因 解析：8
【解析】 【分析】
由直线方程为2)y x =-与准线:a
l x 4
=-
得出点B 坐标，再由BM MA u u u u v u u u v =可得，点M 为线段AB 的中点，由此求出点A 的坐标，代入抛物线方程得出a 的值.
【详解】
解：抛物线()2
:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4
=-
过点()2,0M
2)y x =-，
联立方程组2)4y x a x ⎧=-⎪
⎨=-
⎪⎩
，
解得，交点B
坐标为)
(,)a a 844
+-
， 设A 点坐标为00(,)x y ， 因为BM MA u u u u v u u u v
=，
所以点M 为线段AB 的中点，
所以00()4428)402a x a y ⎧+-⎪=⎪
⎪⎨+⎪+⎪=⎪⎩
，解得(a A 44+，
将)
()a a 8A 444
++代入抛物线方程，
即))()2a 8a
a 444
+=+， 因为0a >， 解得8a =. 【点睛】
本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.
16．【解析】【分析】利用已知条件目标可转化为构造分别求最小值即可【详解】解：令在上递减在上递增所以当时有最小值：所以的最小值为故答案为【点睛】本题考查三元函数的最值问题利用条件减元构造新函数借助导数知识 解析：
374
【解析】 【分析】
利用已知条件目标可转化为2
323
453324x y z x x y ⎛++=-+-+ ⎝⎭，构造()33f x x x =-，(
)2
45
24g y y ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
，分别求最小值即可. 【详解】
解：32
3x y z ++=
()
3236x y x ++--
2
34534x x y ⎛=-++ ⎝⎭
令()3
3f x x x =-，(
)2
4524g y y ⎛=-+ ⎝⎭
， ()()()2'33311f x x x x =-=-+，0x >， ()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，
所以，()()min 12f x f ==-
当2
y =
时，()g y 有最小值：()min 454g y =
所以，3
2
3x y z ++的最小值为4537244
-+
= 故答案为
37
4
【点睛】
本题考查三元函数的最值问题，利用条件减元，构造新函数，借助导数知识与二次知识处理问题.考查函数与方程思想，减元思想，属于中档题.
17．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生
解析：【解析】 【分析】
由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ
⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,结合对数的运算法则可得αβ=1.
【详解】 由条件,得M 12,
33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫
⎪⎝⎭
, 可得1221,3333α
β
⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
即α=lo 2
3
13g ,β=lo 13
2
3g . 所以αβ=lo 2313g ·
lo 13
12
233·21333
lg
lg g lg lg ==1. 【点睛】
本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式根据特殊角的三角函数值求得运算的结果【详解】依题意原式【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值考查特殊角的三角函数值考查化归与转化的数学思想方法属于基
【解析】 【分析】
利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果.
【详解】 依题意，原式
17π26ππ2πcos
sin cos 4πsin 8π4343⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2π32cos sin 432+=+=. 【点睛】 本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.
19．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：
【解析】
试题分析：()f x 的定义域为()()1
0,,'f x ax b x
+∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x
+-=
.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，
()'0f x >，此时()f x
单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1
x a
=-
.因为1x =是()f x 的极大值点，所以1
1a
-
>，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 20．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计
解析：1 【解析】 【分析】
由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】
由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
21．见解析 【解析】 【分析】
若选①：利用正弦定理可得(a b)()(c b)a b c +-=-,即222b c a bc +-=,再利用余弦定理求得cos A ,进而求得bc ,从而求得面积；
若选②：利用正弦定理可得sin sin sin cos()6
A B B A π
=+
,化简可得tan 3
A =
,即6
A π
=
,利用余弦定理求得bc ,从而求得面积；
若选③：根据正弦定理得sin sin sin sin 2B C
B A B +=,整理可得3
A π=,进而求得面积 【详解】 解：若选①：
由正弦定理得(a b)()(c b)a b c +-=-， 即222b c a bc +-=，
所以2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===，
因为(0,)A π∈，所以3
A π
=
.
又2222
()3a b c bc b c bc =+-=+-，
a =6
b
c +=，所以4bc =，
所以11sin 4sin 223
ABC S bc A π
∆==⨯⨯= 若选②：
由正弦定理得sin sin sin cos()6
A B B A π
=+
.
因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6
A A π
=+，
化简得1
sin sin 22
A A A =-，
即tan 3
A =
，因为0A π<<，所以6A π=.
又因为2
2
2
2cos
6
a b c bc π
=+-，
所以22
bc =，即24bc =-
所以111
sin (246222
ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- 若选③：
由正弦定理得sin sin
sin sin 2
B C
B A B +=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以sin sin 2
B C
A +=，又因为
B
C A +=π-， 所以cos
2sin cos 222
A A A =， 因为0A π<<，022A π<
<，所以cos 02
A
≠， 1sin
22A ∴=，26A π
=，所以3
A π=. 又2
2
2
2
()3a b c bc b c bc =+-=+-，
a =6
b
c +=，所以4bc =，
所以11sin 4sin 223
ABC S bc A π
∆==⨯⨯= 【点睛】
本题考查正弦定理与余弦定理处理三角形中的边角关系,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力 22．（1）a n 1
1()2
n +=；（2）T n 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤
=
--⎢⎥++⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式.
（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】
（1）由S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列， 可得2（S 3+a 3）=S 2+a 2+S 1+a 1， 即有2a 1（1+q +2q 2）=3a 1+2a 1q ， 化为4q 2=1，公比q >0， 解得q 1
2
=
.
则a n 1
4=
⋅（12）n ﹣111()2
n +=； （2）b n 2122
22111
()(2)(1)n n log a log n --=
==+，
c n =（n +2）b n b n +2=（n +2）⋅
22221111(1)(3)4(1)(3)n n n n ⎡⎤
=-⎢⎥++++⎣⎦
， 则前n 项和T n =c 1+c 2+c 3+…+c n ﹣1+c n
14=[22222222221
1111111112
43546(2)(1)(3)n n n n -+-+-++-+-+++L ]
2211111449(2)(3)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦ 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=
--⎢⎥++⎣⎦
. 【点睛】
本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于中档题.
23．（1）2
6cos 2sin 60ρρθρθ--+=（2
2 【解析】 【分析】
（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C 的直角坐标方程，再利用y sin x cos ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
，整理
即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离. 【详解】
（1）由3212x cos y sin αα=+⎧⎨=-⎩，得3212x cos y sin α
α-=⎧⎨-=-⎩
，
两式两边平方并相加，得()()2
2
314x y -+-=， 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆.
将y sin x cos ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入得()()22
cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+=
所以曲线C 的极坐标方程为2
6cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1
sin 2cos θθρ
-=
，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=
所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+=
因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离
5
d ==
，
所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为25
d r +=+. 【点睛】
本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.
24．（1）l 的普通方程210ax y a +--=；C 的直角坐标方程是22220x y x y +--=
；（2）【解析】 【分析】
（1）把直线l 的标准参数方程中的t 消掉即可得到直线l 的普通方程，由曲线
C 的极坐标方程为ρ＝
（θ4π+
），展开得22
ρ=（ρsinθ+ρcosθ），利用x cos y sin ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
即可得出曲线C 的直角坐标方程； （2）先求得圆心C 到直线AB 的距离为d ，再用垂径定理即可求解．
【详解】
（1）由直线l 的参数方程为21x t
y at =+⎧⎨
=-⎩
，所以普通方程为210ax y a +-
-=
由曲线C 的极坐标方程是4πρθ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 所以2
2sin 2cos 4πρθρθρθ⎛
⎫
=+
=+ ⎪⎝
⎭
， 所以曲线C 的直角坐标方程是2
2
220x y x y +--=
（2）设AB 的中点为M ，圆心C 到直线AB 的距离为
d ，则MA =， 圆()()2
2
:112C x y
-+-=，则r =
()1
,1C ，
12
d MC ====,
由点到直线距离公式，12
d =
=
=
解得a =
±，所以实数a 的值为±
.
【点睛】
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 25．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）由中位线定理可知//EF BD ，故四点共面（2）PQ 是平面11AAC C 与平面DBFE 的交线，可证R 是两平面公共点，故PQ 过R ，得证. 【详解】
证明：（1）EF Q 是111D B C ∆的中位线，
11//EF B D ∴.
在正方体1AC 中，11//B D BD ，
//EF BD ∴.
,EF BD ∴确定一个平面，即D B F E ，，，四点共面.
（2）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α， 又设平面BDEF 为β.
11,Q AC Q α∈∴∈Q .
又Q EF ∈，Q β∴∈， 则Q 是α与β的公共点，
a PQ β∴⋂=.
又11,AC R R AC β⋂=∴∈.
R a ∴∈，且R β∈，
则R PQ ∈，故P Q R ，，三点共线. 【点睛】
本题主要考查了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基本性质解决，属于中档题.
26．（1）详见解析；（2. 【解析】 【分析】
（1）连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ，则四边形11A ACC 是正方形，点M 是1AC 的中点，推导出四边形11B C MQ 是平行四边形，从而11B Q C M P ，由此能证明1B Q P 平面
11A ACC ．
（2）以C 为原点，CB ，1CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11A BB C --的平面角的余弦值． 【详解】
证明：（1）如图所示，连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ．
因为四边形11A ACC 是正方形，所以点M 是1AC 的中点， 又已知点Q 是1A B 的中点，所以MQ BC P ，且
1
2
MQ BC =
， 又因为11B C BC ∥
，且112BC B C =，所以11MQ B C P ，且11MQ B C =， 所以四边形11B C MQ 是平行四边形，故11B Q C M P ， 因1B Q ⊄平面11A ACC ，1C M ⊂平面11A ACC ， 故1B Q P 平面11A ACC ．
（2）如图所示，以C 为原点，1,CB CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设1122AC BC B C ===，
则()
3,1,0A
-，()
13,1,2A -，()0,2,0B ，()10,1,2B ， 所以()
113,2,0B A =-u u u u r ，()10,1,2B B =-u u u r
．
设平面11A BB 的法向量为(),,m x y z =u r
，
则111·0·0m B A m B B ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u v v u u u v v 即32020
x y y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取4x =，则()
4,23,3m =u r 平面1CBB 的一个法向量()1,0,0n =r ，所以431cos ,3131m n m n m n
===u r r
u r r g u r r g ． 故二面角11A BB C --的平面角的余弦值为
431
31
．
【点睛】
线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计
算.。