周口市高一(上)期末数学试卷

河南省周口市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|﹣2＜x＜1，x∈z}，则A∩B=（）A．{0}B．[﹣1，1]C．{﹣1，0，1，2} D．D=[﹣2，3]
2．（5分）函数y=的定义域是（）
A．（1，2]B．（1，2） C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）
3．（5分）已知x=ln π，y=log 52，z=log e则（）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
4．（5分）函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）
5．（5分）直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2
6．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：
（1）α∥β⇒l⊥m，（2）α⊥β⇒l∥m，
（3）l∥m⇒α⊥β，（4）l⊥m⇒α∥β，
其中正确命题是（）
A．（1）与（2）B．（1）与（3）C．（2）与（4）D．（3）与（4）
7．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC．若AB=AC=AA1=1，BC=，则异面直线A1C与B1C1所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
8．（5分）某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（）
A．19+πcm2B．22+4πcm2C．10+6+4πcm2D．13+6+4πcm2
9．（5分）直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为，则直线的倾斜角为（）A．或B．或C．或D．
10．（5分）已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）
A． B．C．
D．
11．（5分）已知在（﹣∞，+∞）上满足，则b的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[0，1）
12．（5分）在直角坐标系内，已知A（3，3）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若⊙C上存在点P，使∠MPN=90°，其中M、N的坐标分别为（﹣m，0）（m，0），则m的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=．
14．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面
积分别为，，，则该三棱锥外接球的表面积为．
15．（5分）已知点P为线段y=2x，x∈[2，4]上任意一点，点Q为圆C：（x﹣3）2+（y+2）2=1上一动点，则线段|PQ|的最小值为．
16．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则a
的取值范围为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，A∩B=B，求实数a的值．18．（12分）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣x2（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．
（1）将利润表示为产量的函数；
（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？
19．（12分）分别求出适合下列条件的直线方程：
（Ⅰ）经过点P（﹣3，2）且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；
（Ⅱ）经过直线2x+7y﹣4=0与7x﹣21y﹣1=0的交点，且和A（﹣3，1），B（5，7）等距离．20．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=2，D、E分别为棱AB、BC 的中点，点F在棱AA1上．
（1）证明：直线A1C1∥平面FDE；
（2）若F为棱AA1的中点，求三棱锥A1﹣DEF的体积．
21．（12分）已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在直线x+y﹣2=0上．
（1）求圆M的方程．
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值．
22．（12分）已知函数是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数．
（1）求a+b的值．
（2）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
（3）设，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|﹣2＜x＜1，x∈z}，则A∩B=（）A．{0}B．[﹣1，1]C．{﹣1，0，1，2} D．D=[﹣2，3]
【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，
∴A∩B={0}，
故选：A．
2．（5分）函数y=的定义域是（）
A．（1，2]B．（1，2） C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）
【解答】解：∵log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1
根据，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2
∴函数y=的定义域是（1，2）
故选B．
3．（5分）已知x=ln π，y=log 52，z=log e则（）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
【解答】解：x=ln π＞1，y=log 52∈（0，1），z=log e＜0．
∴z＜y＜x．
故选：C．
4．（5分）函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）
【解答】解：由函数的解析式可得f（﹣1）=﹣1+=﹣＜0，f（0）=0+1=1＞0，
∴f（﹣1）f（0）＜0，
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（﹣1，0），
故选：B．
5．（5分）直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2
【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的
斜率为：
所以=；
解得a=﹣3，a=2（舍去）
故选A．
6．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：
（1）α∥β⇒l⊥m，（2）α⊥β⇒l∥m，
（3）l∥m⇒α⊥β，（4）l⊥m⇒α∥β，
其中正确命题是（）
A．（1）与（2）B．（1）与（3）C．（2）与（4）D．（3）与（4）
【解答】解：∵直线l⊥平面α，α∥β，∴l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，故（1）正确；
∵直线l⊥平面α，α⊥β，∴l∥平面β，或l⊂平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故（2）错误；
∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β，故（3）正确；
∵直线l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m⊂α，又∵直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故（4）错误；
故选B．
7．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC．若AB=AC=AA1=1，BC=，则异面直线A1C与B1C1所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角为就是异面直线A1C 与B1C1所成的角．
直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC．若AB=AC=AA1=1，BC=，BA1=，CA1=，
三角形BCA1是正三角形，异面直线所成角为60°．
故选：C．
8．（5分）某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（）
A．19+πcm2B．22+4πcm2C．10+6+4πcm2D．13+6+4πcm2
【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，
包括一个三棱柱和半个圆柱，
三棱柱的是一个底面是腰为2的等腰直角三角形，高是3，
其底面积为：2××2×2=4，侧面积为：=；
圆柱的底面半径是1，高是3，
其底面积为：2××1×π=π，侧面积为：π×3=3π；
∴组合体的表面积是=4π+10+6
故选C．
9．（5分）直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为，则直线的倾斜角为（）A．或B．或C．或D．
【解答】解：由题知：圆心（2，3），半径为2．
因为直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离为d==1=，
∴k=±，
由k=tanα，
得或．
故选A．
10．（5分）已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）
A． B．C．
D．
【解答】解：指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，
令x﹣16=0，解得x=16，
且f（16）=1+7=8，
所以f（x）的图象恒过定点P（16，8）；
设幂函数g（x）=x a，P在幂函数g（x）的图象上，
可得：16a=8，解得a=；
所以g（x）=，
幂函数g（x）的图象是A．
故选：A．
11．（5分）已知在（﹣∞，+∞）上满足，则b的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[0，1）
【解答】解：由题意，在（﹣∞，+∞）上单调递增，
∴，∴2≤a＜3，0≤b＜1，
故选D．
12．（5分）在直角坐标系内，已知A（3，3）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若⊙C上存在点P，使∠MPN=90°，其中M、N的坐标分别为（﹣m，0）（m，0），则m的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：由题意，∴A（3，3）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，
∴圆上不相同的两点为B（2，4，），D（4，4），
∵A（3，3），BA⊥DA
∴BD的中点为圆心C（3，4），半径为1，
∴⊙C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．
过P，M，N的圆的方程为x2+y2=m2，
∴两圆外切时，m的最大值为+1=6，
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=0或1．
【解答】解：当a=0 时，两直线分别为y=0，和x=0，满足垂直这个条件，
当a≠0 时，两直线的斜率分别为a 和，由斜率之积等于﹣1得：a•=﹣1，
解得a=1．
综上，a=0 或a=1．
故答案为0或1．
14．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面
积分别为，，，则该三棱锥外接球的表面积为6π．
【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，
∵侧棱AC、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为，，，
∴AB•AC=，AD•AC=，AB•AD=，
∴AB=，AC=1，AD=，
∴球的直径为：=，
∴半径为，
∴三棱锥外接球的表面积为=6π，
故答案为：6π．
15．（5分）已知点P为线段y=2x，x∈[2，4]上任意一点，点Q为圆C：（x﹣3）2+（y+2）2=1
上一动点，则线段|PQ|的最小值为﹣1．
【解答】解：设点P（x，2x），x∈[2，4]，
则点P到圆C：（x﹣3）2+（y+2）2=1的圆心距离是：
|PC|==，
设f（x）=5x2+2x+13，x∈[2，4]，
则f（x）是单调增函数，且f（x）≥f（2）=37，
所以|PC|≥，
所以线段|PQ|的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
16．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则a 的取值范围为0＜a＜1．
【解答】解：∵函数，
∴作出函数f（x）的图象如右图所示，
∵方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，
则函数y=f（x）的图象与y=a的图象有三个不同的交点，
根据图象可知，a的取值范围为0＜a＜1．
故答案为：0＜a＜1．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，A∩B=B，求实数a的值．
【解答】解：由A={x|x2+4x=0}={0，﹣4}，又A∩B=B，∴B⊆A
（1）若B=∅，则x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的判别式小于0，即4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，
∴a＜﹣1．
（2）若B={0}，把x=0代入方程得a=±1
当a=1时，B={﹣4，0}≠{0}．
当a=﹣1时，B={0}，∴a=﹣1．
（3）若B={﹣4}时，把x=﹣4代入得a=1或a=7．
当a=1时，B={0，﹣4}≠{﹣4}，∴a≠1．
当a=7时，B={﹣4，﹣12}≠{﹣4}，∴a≠7．
（4）若B={0，﹣4}，则a=1，当a=1时，B={0，﹣4}，∴a=1
综上所述：a≤﹣1或a=1．
18．（12分）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣x2（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．
（1）将利润表示为产量的函数；
（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？
【解答】解：（1）依题意，得：
利润函数G（x）=F（x）﹣R（x）=（5x﹣x2）﹣（0.5+0.25x）=﹣x2+4.75x﹣0.5 （其中0≤x≤5）；
（2）利润函数G（x）=﹣x2+4.75x﹣0.5（其中0≤x≤5），
当x=4.75时，G（x）有最大值；
所以，当年产量为475台时，工厂所得利润最大．
19．（12分）分别求出适合下列条件的直线方程：
（Ⅰ）经过点P（﹣3，2）且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；
（Ⅱ）经过直线2x+7y﹣4=0与7x﹣21y﹣1=0的交点，且和A（﹣3，1），B（5，7）等距离．【解答】解：（Ⅰ）当直线不过原点时，设所求直线方程为+=1，
将（﹣3，2）代入所设方程，解得a=，此时，直线方程为x+2y﹣1=0．
当直线过原点时，斜率k=﹣，直线方程为y=﹣x，即2x+3y=0，
综上可知，所求直线方程为x+2y﹣1=0或2x+3y=0．…（6分）
（Ⅱ）有解得交点坐标为（1，），
当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y﹣=k（x﹣1），即7kx﹣7y+（2﹣7k）=0，
由A、B两点到直线l的距离相等得，
解得k=，当斜率k不存在时，即直线平行于y轴，方程为x=1时也满足条件．
所以直线l的方程是21x﹣28y﹣13=0或x=1．…（12分）
20．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=2，D、E分别为棱AB、BC 的中点，点F在棱AA1上．
（1）证明：直线A1C1∥平面FDE；
（2）若F为棱AA1的中点，求三棱锥A1﹣DEF的体积．
【解答】解：（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别为棱AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
又A1C1∥AC，
∴A1C1∥DE；
又DE⊂平面FDE，A1C1⊄平面FDE，
∴直线A1C1∥平面FDE；
（2）如图所示：
当F为棱AA1的中点时，AF=AA1=1，
三棱锥A1﹣ADE的体积为
=S
•AA1=×DE•EC•AA1=×1×1×2=，
三棱锥F﹣ADE的体积为
V F﹣ADE=S△ADE•AF=×DE•EC•AA1=；
∴三棱锥A1﹣DEF的体积为
=﹣=．
﹣V
21．（12分）已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在直线x+y﹣2=0上．（1）求圆M的方程．
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值．
【解答】解：（1）设圆心M（a，b），则a+b﹣2=0①，
又A（1，﹣1），B（﹣1，1），
∴k AB==﹣1，
∴AB的垂直平分线l的斜率k=1，又AB的中点为O（0，0），
∴l的方程为y=x，而直线l与直线x+y﹣2=0的交点就是圆心M（a，b），
由解得：，又r=|MA|=2，
∴圆M的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．
（2）如图：
S PCMD=|MC|•|PC|=2=2，
又点M（1，1）到3x+4y+8=0的距离d=|MN|==3，
所以|PM|min=d=3，
所以（S PCMD）min=2=2．
22．（12分）已知函数是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数．
（1）求a+b的值．
（2）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
（3）设，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由g（0）=0得a=1，则，经检验g（x）是奇函数．
由f（﹣1）=f（1）得，则，经检验f（x）是偶函数，
∴．
（2）∵，且g（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，且g（x）为奇函数．
∴由g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，得g（t2﹣2t）＞﹣g（2t2﹣k）=g（﹣2t2+k），
∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，t∈[0，+∞）恒成立，
即3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立，
令F（x）=3t2﹣2t，在[0，+∞）上F（x）的最小值为，∴．
（3）h（x）=lg（10x+1），h（lg（10a+9））=lg[10lg（10a+9）+1]=lg（10a+10），则由已知得，存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，而g（x）在（﹣∞，1]单增，∴，
∴，∴．
又，
∵，∴，
∴．。