高三数学一轮复习 第九篇 平面解析几何 第5节 抛物线

第5节抛物线
基础对点练(时间:30分钟)
1.(2015沈阳质量监测)抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是( C )
(A)(0,a) (B)(a,0)
(C) (0, ) (D) (,0)
解析:将y=4ax2(a≠0)化为标准方程得x2=y(a≠0),
所以焦点坐标为(0, ).
2.(2016唐山一模)已知抛物线的焦点F(a,0)(a<0),则抛物线的标准方程是( B )
(A)y2=2ax (B)y2=4ax
(C)y2=-2ax (D)y2=-4ax
解析:以F(a,0)为焦点的抛物线的标准方程为y2=4ax.
3.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( B )
(A)x=1 (B)x=-1
(C)x=2 (D)x=-2
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为y=x-,与y2=2px联立得y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知y1+y2=4,
所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1,
故选B.
4.(2016郑州第一次质量预测)已知点P(a,b)是抛物线x2=20y上一点,焦点为F,
|PF|=25,则|ab|等于( D )
(A)100 (B)200 (C)360 (D)400
解析:根据抛物线的定义可知,准线方程为y=-5,
|PF|=b+5=25,
所以b=20.
又点P(a,b)是抛物线x2=20y上一点,
所以a2=20×20,
所以a=±20,
所以|ab|=400.
5.直线l:x-y-m=0经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,l与C交于A,B两点,若|AB|=6,则p的值为( B )
(A) (B) (C)1 (D)2
解析:因为直线l过抛物线的焦点,所以m=.
联立
得,x2-3px+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=3p,
故|AB|=x1+x2+p=4p=6,
p=.
6.(2016云南统一检测)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,
经过F的直线与抛物线C交于A,B两点,如果·=-12,那么抛物线C的方程为( C )
(A)x2=8y (B)x2=4y
(C)y2=8x (D)y2=4x
解析:由题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),
直线方程为x=my+,
联立
消去x得y2-2pmy-p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=2pm,y1y2=-p2,
得·=x1x2+y1y2=(my1+) (my2+)+y1y2
=m2y1y2+(y1+y2)++y1y2
=-p2
=-12⇒p=4,
即抛物线C的方程为y2=8x.
7.(2015高考陕西卷)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .
解析:y2=2px的准线方程为x=-,又p>0,
所以x=-必经过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),
所以-=-,p=2.
答案:2
8.已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B满足=3,则弦AB的中点到准线的距离
为.
解析:如图,F为抛物线的焦点,作AH垂直准线于点H,交y轴于点D,作BG垂直准线于点G,交y轴于点C.
因为y2=4x,
所以p=2,|OF|=1,设直线AB为y=k(x-1),代入抛物线方程得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以x A·x B=1.①
因为=,
所以=,②
①②联立解得x A=3,x B=,
所以AB中点到准线的距离为
===.
答案:
9.(2015洛阳统考)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=5,则|BF|= .
解析:由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AF|=x1+1=5⇒x1=4,=4x1=16,
根据对称性,不妨取y1=4,
所以直线AB:y=x-,
代入抛物线方程可得,4x2-17x+4=0,
所以x2=,
所以|BF|=x2+1=.
答案:
10.(2015唐山统考)已知抛物线y2=2px(p>0),过点C(-2,0)的直线l交抛物线于A,B两点,坐标原点为O,·=12.
(1)求抛物线的方程;
(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程.
解:(1)设l:x=my-2,代入y2=2px,
得y2-2pmy+4p=0.(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=2pm,y1y2=4p,
则x1x2==4.
因为·=12,
所以x1x2+y1y2=12,
即4+4p=12.
得p=2,抛物线的方程为y2=4x.
(2)(1)中(*)式可化为y2-4my+8=0,
y1+y2=4m,y1y2=8.
设AB的中点为M,
则|AB|=2x M=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4,①
又|AB|=|y1-y2|=,②由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2,
解得m2=3,m=±.
所以直线l的方程为x+y+2=0或x-y+2=0.
能力提升练(时间:15分钟)
11.(2015高考浙江卷)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( A )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图所示,过A作AA2⊥y轴于点A2,过B作BB2⊥y 轴于点B2,
则====.
12.(2015高考四川卷)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=
r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( D )
(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)
解析:当直线l的斜率不存在时,这样的直线l恰有2条,
即x=5±r,
所以0<r<5;
所以当直线l的斜率存在时,这样的直线l有2条即可.
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
则
又
两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
k AB===.
设圆心为C(5,0),
则k CM=.
因为直线l与圆相切,
所以·=-1,
解得x0=3,
于是=r2-4,r>2,
又<4x0,
即r2-4<12,
所以0<r<4,
又0<r<5,r>2,
所以2<r<4.故选D.
13.过点P(-2,1)作两条斜率互为相反数的直线,分别与抛物线x2=4y交于A,B两点,若直线AB与圆C:x2+(y-1)2=1交于不同两点M,N,则|MN|的最大值是.
解析:设直线PA的斜率为k,A(x A,y A),则直线PA的方程为y-1=k(x+2),由
得x2-4kx-8k-4=0,所以x A-2=4k,
则x A=4k+2,
所以点A(4k+2,(2k+1)2),
同理可得B(-4k+2,(-2k+1)2),
所以直线AB的斜率k AB==1,
设直线AB的方程为y=x+b,
由
得2x2+2(b-1)x+b2-2b=0,
由于AB与圆C交于不同的两点,
所以Δ>0,即1-<b<+1.
则|MN|=·
=·
=·≤2,
故|MN|的最大值是2.
答案:2
14.(2015枣庄模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足|NF|=|MN|,则∠NMF= .
解析:如图,作NN′⊥l(l为准线)于N′,
则|NN′|=|NF|.又|NF|=|MN|,
所以|NN′|=|MN|.
所以∠NMN′=60°,
所以∠NMF=30°.
答案:30°
15.(2015大连双基测试)已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C:y2=2px(p>0)于A,B两点,直线l2:x=-2交x轴于点Q.(1)设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值;
(2)点P为抛物线C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB交直线l2于M,N两点,·
=2,求抛物线C的方程.
解:(1)设直线l1的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
得y2-2pmy-4p=0,
y1+y2=2pm,
y1·y2=-4p.
k1+k2=+=+
=
=
=0.
(2)设P(x0,y0),则直线PA:y-y1=(x-x1),
当x=-2时,
y M=,
同理y N=.
因为·=2,
所以4+y N y M=2.
即·=-2,
即=-2,
即=-2,
p=,抛物线C的方程为y2=x.
精彩5分钟
1.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,点E在C的准线上,且在x轴上方,线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q(-1, ),与C交于点P,则点P的坐标为( D )
(A)(1,2) (B)(2,2)
(C)(3,2) (D)(4,4)
解题关键:设出E点坐标,利用|EQ|=|QF|解出E点坐标,再利用k EF与k QP的关系写出QP方程联立方程组求解.
解析:由题意,得抛物线的准线方程为x=-1,F(1,0).
设E(-1,y),因为PQ为EF的垂直平分线,
所以|EQ|=|FQ|,
即y-=,
解得y=4,
所以k EF==-2,
k PQ=,
所以直线PQ的方程为y-=(x+1),
即x-2y+4=0.
由
解得
即点P的坐标为(4,4),故选D.
2.(2015郑州模拟)已知实数m是2和8的等比中项,则抛物线y=mx2的焦点坐标为.
解题关键:先利用等比数列求得m,再利用抛物线方程求得焦点坐标.
解析:实数m为2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,
所以m=±4,
又因为焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=2py,
所以p=±,所以=±,
又因为焦点在y轴上,
所以该抛物线的焦点坐标为(0,±).
答案: (0,±)。