2018学年数学人教A版必修一优化练习：第一章 1.3 1.3.1 第2课时 函数的最大值、最小值

[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－a D ．9－a 2
解析：∵a ＞0，
∴f (x )＝9－ax 2(a ＞0)开口向下以y 轴为对称轴， ∴f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上单调递减， ∴x ＝0时，f (x )最大值为9. 答案：A
2．函数y ＝1
x －1在[2,3]上的最小值为( )
A ．2 B.12 C.13
D ．－12 解析：函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝1
2.
答案：B
3．函数y ＝|x ＋1|－|2－x |的最大值是( ) A ．3 B ．－3 C ．5
D ．－2
解析：由题意可知
y ＝|x ＋1|－|2－x |＝⎩⎨⎧
－3， x <－1；
2x －1， －1≤x ≤2；
3， x >2.
画出函数图象即可得到最大值3.故选A.
答案：A
4．函数y ＝x ＋2x －1( ) A ．有最小值1
2，无最大值 B ．有最大值1
2，无最小值 C ．有最小值1
2，有最大值2
D ．无最大值，也无最小值
解析：f (x )＝x ＋2x －1的定义域为⎣⎢⎡
1
2，＋∞)，在定义域内单调递增，
∴f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1
2，无最大值．
答案：A
5．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)
D ．(0，＋∞)
解析：a ＜－x 2＋2x 恒成立，即a 小于函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]的最小值， 而f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈ [0,2]的最小值为0，∴a ＜0. 答案：C
6．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7.则a ＝________，b ＝________. 解析：∵y ＝－x 2＋6x ＋9的对称轴为x ＝3，而a <b <3. ∴函数在[a ，b ]单调递增．
∴⎩⎨⎧
f (a )＝－a 2
＋6a ＋9＝－7，f (b )＝－b 2
＋6b ＋9＝9，
解得⎩⎨⎧ a ＝－2，b ＝0或⎩⎨⎧
a ＝8，
b ＝6，
又∵a <b <3， ∴⎩⎨⎧
a ＝－2，
b ＝0. 答案：－2 0
7．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y ＝f (x )的解析式为________． 解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0) 当k >0时，⎩⎨
⎧
－k ＋b ＝1，2k ＋b ＝3即⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝23，b ＝5
3.
∴f (x )＝23x ＋5
3.
当k <0时，⎩⎨⎧
－k ＋b ＝3，
2k ＋b ＝1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－23，b ＝73
∴f (x )＝－23x ＋73.
∴f (x )的解析式为f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋7
3. 答案：f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋7
3
8．已知函数f (x )＝4x ＋a
x (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.
解析：f (x )＝4x ＋a x (x ＞0，a ＞0)在(0，a 2]上单调递减，在(a 2，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝a
2时取得最小值，由题意知a
2＝3，∴a ＝36. 答案：36 9．已知函数f (x )＝
x －1
x ＋2
，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )的单调性； (2)求函数f (x )的最大值和最小值．
解析：(1)任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1
x 2＋2
＝(x 1－1)(x 2＋2)－(x 2－1)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)
＝x 1x 2＋2x 1－x 2－2－x 1x 2－2x 2＋x 1＋2(x 1＋2)(x 2＋2)
＝3(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )＝x －1
x ＋2
在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，当x ＝3时，函数f (x )取得最小值，为f (3)＝2
5
；当x ＝5时，函数f (x )取得最大值，为
f (5)＝47.
10．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．
(1)求实数a 的范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数； (2)求f (x )的最小值．
解析：(1)f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2，
可知f (x )的图象开口向上，对称轴方程为x ＝－a ，要使f (x )在[－5,5]上单调，则－a ≤－5或－a ≥5， 即a ≥5或a ≤－5.
(2)当－a ≤－5，即a ≥5时，f (x )在[－5,5]上是增函数，所以f (x )min ＝f (－5)＝27－10a . 当－5<－a ≤5，即－5≤a <5时， f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2，
当－a >5，即a <－5时，f (x )在[－5,5]上是减函数， 所以f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ，
综上可得，f (x )min ＝⎩⎨⎧
27－10a (a ≥5)，
2－a 2
(－5≤a ＜5)，
27＋10a (a <－5).
[B 组 能力提升]
1．函数y ＝2x ＋1－2x ，则( ) A ．有最大值5
4，无最小值 B ．有最小值5
4，无最大值 C ．有最小值12，最大值5
4 D ．既无最大值，也无最小值
解析：设1－2x ＝t (t ≥0)，则x ＝1－t 22，所以y ＝1－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋5
4(t ≥0)，对称轴t ＝12∈[0，
＋∞)，所以y 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫
12，＋∞上递减，所以y 在t ＝12处取得最大值54，无最小值．选
A. 答案：A
2．y ＝3
x ＋2(x ≠－2)在区间[－5,5]上的最大值、最小值分别是 ( )
A.3
7，0
B.32，0
C.32，37
D ．无最大值，无最小值
解析：由图象可知答案为D.
答案：D
3．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，则f (x )图象开口向上，对称轴为x ＝－m
2.
(1)当－m
2≤1时，即m ≥－2时，满足f (2)＝4＋2m ＋4≤0， ∴m ≤－4，又m ≥－2，∴此时无解．
(2)当－m
2≥2，即m ≤－4时，需满足f (1)＝1＋m ＋4≤0 ∴m ≤－5，又m ≤－4，∴m ≤－5.
(3)当1＜－m
2＜2，即－4<m <－2时，需满足
⎩⎨⎧
－4<m <－2，
f (1)＝1＋m ＋4≤0，f (2)＝4＋2m ＋4≤0.
此时无解．
综上所述，m ≤－5. 答案：m ≤－5
4．已知函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：解法一：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，所以不等式x 2＋x ＞a －x 对一切x ∈R 都成立，即a ＜x 2＋2x 对一切x ∈R 都成立．因为x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，所以a ＜－1.
解法二：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，所以不等式x 2＋x ＞a －x 对一切x ∈R 都成立，即x 2＋2x －a ＞0对一切x ∈R 都成立，所以Δ＝4＋4a ＜0即可，解得a ＜－1. 答案：(－∞，－1)
5．设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 解析：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.
当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；
当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f (1)＝1；
当t >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.
6．已知(x ＋2)2
＋y 2
4
＝1，求x 2＋y 2的取值范围．
解析：由(x ＋2)2
＋y 24＝1，得(x ＋2)2
＝1－y 24≤1，
∴－3≤x ≤－1，∴x 2＋y 2＝x 2－4x 2－16x －12＝－3x 2－16x －12＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋832＋28
3，因此，当x
＝－1时，x 2
＋y 2
有最小值1；当x ＝－83时，x 2＋y 2
有最大值283.
故x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1，283.
赠送初中数学几何模型
【模型二】半角型：图形特征：
45°
4
321A
C
1
F
B
正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=1
2
∠BAD 推导说明：
1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF
45°D
B
a +b
-a
a
45°
A
B
E
1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°
D
B
a +b
-a
a
45°
A
B
E
挖掘图形特征：
a+b
x-a
a 45°D
E
a +b
-a
45°
A
运用举例：
1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .
（1）求证：EF =FM
（2）当AE =1时，求EF 的长．
D
E
3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°. （1）求线段AB 的长；
（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形；
（3）求AE －CE 的值.
D
C
变式及结论：
4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
A
B C
F
E
D
C
D
C。