2021年高三上学期第二次月考试题(10月) 数学(文) Word版含答案

2021年高三上学期第二次月考试题（10月） 数学（文） Word 版含答案
(时量：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.
1.设集合(){}{}R x x y y B x y x A ∈+-==-==,4|,1lg |2,则A ∩B ＝ A ． B ． C ． D ．
2.在平行四边形中,对角线与交于点,,则等于
A ．
B ．
C ．
D ． 3.已知函数，其中为常数,那么“”是“为奇函数”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图,输出的值为
A ．
B ．
C ．
D ．
5.已知某运动员每次投篮命中的概率都为%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4 表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
A ．0.35 B. 0.15 C . 0.20 D. 0.25 6.函数在区间内的零点个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 7.已知满足，若z 的最小值为，则的值为
A ．
B ．
C ．
D ．
8.已知复数,则使的的值为
A. B. C. D. 9.已知点,直线与,
且将△分割为面积相等的两部分,则的取值范围是
A ．
B ． C. D .
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中对应题号后的横
线上.
10.在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆的极坐标方程为，则该圆的圆心到直线(为参数)的距离是_________.
11.图2是美职篮某新秀在五场篮球比赛中所得分数的茎叶图,则该新秀在这五场比赛中得分的方差为_________.
(注:方差2
222121()()()n s x x x x x x n
⎡⎤=
-+-++-⎣⎦,其中为的平均
数)
12.一个几何体的三视图如下图所示,
13.已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则 14.抛物线的焦点为,其准线与双曲线相交于两点, 若为等边三角形,则_______. 15. 已知实数
)2,,,3,2,1,1(144,,,2121>∈=≥=+++*n N n n i a a a a a a a i n n 且其中满足
（Ⅰ）当时，若,且是的三条边长,则的取值范围是______；
（Ⅱ）如果这个数中任意三个数都不能构成一个三角形的三条边长,则的最大值是____.
10. 11. 12. 13. 14. 15.（Ⅰ）,（Ⅱ）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分12分)
设向量,其中分别是中角所对的边.高 考 资 源 网 （I ）求角的大小；
（II ）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．
解：（I ）由0sin cos ,0,=-=⋅⊥A c C a n m n m 即得,再由正弦定理得 因为所以
sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4
A C C C C C π
>=≠==
从而又所以则 6分
（II ）由（I ）知于是
cos()cos()
4
cos 2sin().6
3110,,,,
46612623
A B A A A A A A A A A π
ππ
πππππππ
-+=--=+=+
<<∴<+<+==从而当即时 取最大值．
综上所述，的最大值为，此时 12分
17. (本小题满分12分)
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率.
（Ⅰ）设每销售一件该商品获利1000元，某天销售该商品获利情况如下表，完成下表，并求试销期间日平均获利数；
（Ⅱ）求第二天开始营业时该商品的件数为3件的概率.
解（I ）日获利分别为0元，1000元，xx 元，3000元的频率分别为
；试销期间日平均获利数为1850元 . 6分 （Ⅱ）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）
（“当天商品销售量为3件”） 12分
18.(本小题满分12分)
如图所示，CE ABC PA ACB BC AC ,,90,1平面⊥=∠==
∥. (Ⅰ)求三棱锥的体积；
(Ⅱ)在棱上是否存在一点，使得∥平面?证明你的结论.
解： (Ⅰ)
6分
(Ⅱ)取棱的中点为，则有∥平面.证明如下：
取棱的中点为，GC FG EF G AB 连的中点为,,,,
P
∥∥∥,因此四边形∥ABC CG ABC EF CG 平面平面又⊂⊄,,,所以
∥平面. 12分
19.(本小题满分13分)
某调酒师把浓度分别为和的两瓶均为300毫升的酒(分别记为A 瓶液体、B 瓶液体)进行混合.先把100毫升的A 瓶液体倒入B 瓶进行充分混合,然后再把100毫升的B 瓶液体倒入A 瓶进行充分混合,这样称为一次操作,依此类推.
（Ⅰ）设经过次操作后, A 瓶液体与B 瓶液体的浓度之差为,试写出及数列的通项公式； （Ⅱ）当％,％时,需经过多少次操作后才能使两瓶酒的浓度之差小于1％？
解(Ⅰ)设分别为A 瓶液体、B 瓶液体经过n 次操作后的浓度．则＝，＝，且
()()11111003001002001312
, 100300441002003
3n n n n n n n n n n a b b a b a b a b a ++++++=
=+=+++＝．（*）
由（*）可得：()()111111222131
3333442
n n n n n n n n n n n n a b b a b a b a a b a b +++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
即
∴数列是以为首项,以为公比的等比数列． ∴．其中 . 9分
(Ⅱ) 设经过次操作后才能使两瓶酒的浓度之差小于1％,则有
())0,,1.0,7.0(01.021≥∈==<⎪⎭
⎫
⎝⎛-n N n b a b a n
其中
得.所以．
即经过6次操作后才能使两瓶酒的浓度之差小于1％. 13分
20.(本小题满分13分)
已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过且与垂直的直线交椭圆于、两点，求证：为定值.
解(Ⅰ)由题意，
112244,2
2=====b c a a a c 从而，得,故所求的椭圆的方程为 . 4分
(Ⅱ)由题意直线，中至少有一条存在斜率，不妨设的斜率为，又过，故的方程为,代入得, 设,则,
所以()
()
2
2
212
212
2112241k
k x x x x k AB ++=-+⋅
+=. 8分 (1)当时，因为,所以的斜率为，同上可推得
()
2
22221221211122k k k k CD ++=
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+== 故=. 11分 (2)当时，容易求得同样有=.
综合(1),(2)即知 为定值. 13分
21.(本小题满分13分) 已知函数.
(Ⅰ) 当时,若函数存在单调递减区间,求的取值范围；
（Ⅱ）当时,如果的图像与轴交于.试问: 的图像在点处的切线是否平行于轴?证明你的结论. 解：（Ⅰ）函数的定义域为.由题意
有解.故的取值范围是. 5分 （Ⅱ）假设的图像在点处的切线平行于轴，则有
()()012
121212
1000=++-+=+-=
'x x a x x ax x x f ,从而 ① 又 ② ③
②-③得()()()()1ln
,0ln 212
12
121212121-+=-=-+-+-x x a x x x x x x x x x x a x x 从而 ④
由①④得
()1122ln ,2
ln 2
1
212
12121212121
+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=+-=+=-x x x x x x x x x x x x x x x x 即 令 ⑤ 10分
令()()()()()()
011141,10112ln )(22
2>+-=+-='<<+--=t t t t t t h t t t t t h 则,所以
在上单调递增，从而有,这与⑤式矛盾，故的图像在点处的切线不平行于轴. 13分35667 8B53 譓29332 7294 犔`35583 8AFF 諿J27546 6B9A 殚y20571 505B 偛W>.xG23974 5DA6 嶦*。