北师大版数学选修2-1同步作业：第2章 空间向量与立体几何 课时作业9

课时作业(九)
1．若向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有( )
A ．a 与b 共线
B ．a 与b 同向
C ．a 与b 反向
D ．a 与b 共面
答案 A
解析 根据题意向量a ，b 与任何向量都共面，所以只有在a ，b 共线的条件下才有可能．
2．设e 1，e 2，e 3是不共面的三个单位向量，则下列向量组不能作为空间基底的一组是( ) A.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫e 1＋e 2，12e 1＋e 3，e 2＋2e 3 B ．{e 1－e 3，e 2＋e 3，e 1＋e 2} C ．{e 1－e 2，e 2－2e 3，e 3－3e 1} D ．{e 1＋e 3，e 2＋e 3，e 1＋e 2} 答案 B
解析 ∵e 1－e 3＝(e 1＋e 2)－(e 2＋e 3)，
∴e 1－e 3，e 1＋e 2，e 2＋e 3为共面向量．
∴不能作为空间的一个基底．
3．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 B
解析 三个非零向量可能共面；空间的一个基底一定是非零向量．
4．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，则BD 1→＝( )
A ．a ＋b ＋c
B ．a －b ＋c
C ．－a ＋b ＋c
D ．－a －b ＋c
答案 B
解析 BD 1→＝BD →＋DD 1→＝AD →－AB →＋AA 1→＝c －b ＋a
5．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点
G 在线段MN 上，且分GN ＝2MG ，现用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，
则x ，y ，z 的值分别为( )
A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13
B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16
C ．x ＝13，y ＝16，z ＝16
D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13
答案 C
解析 ∵GN ＝2MG ，
∴OG →＝OM →＋MG →
＝OM →＋13
MN → ＝OM →＋13
(ON →－OM →) ＝23OM →＋16
(OB →＋OC →) ＝13OA →＋16OB →＋16
OC →. ∴x ＝13，y ＝16，z ＝16
，故选C. 6．已知{a ，b ，c }为空间一个基底，则x ＝y ＝z ＝0是“x a ＋y b ＋z c ＝0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 C
解析 充分性显然，下面证必要性．
假设x≠0，则a ＝－y x b －z x
c . ∴a ，b ，c 共面，这与a ，b ，c 不共面矛盾．
∴x ＝0.
同理y ＝0，z ＝0.
7．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，E 是底面A ′B ′C ′D ′的中心，a ＝12AA ′→，b ＝12
AB →，
c ＝13
AD →，AE →＝x a ＋y b ＋z c ，则( )
A ．x ＝2，y ＝1，z ＝32
B ．x ＝1，y ＝12，z ＝12
C ．x ＝12，y ＝12
，z ＝1 D ．x ＝12，y ＝12，z ＝23
答案 A
解析 ∵AE →＝AA ′→＋A ′E →
＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12
(A ′B ′→ ＋A ′D ′→) ＝2a ＋b ＋32
c ， ∴x ＝2，y ＝1，z ＝32
. 8．若A ，B ，C 三点不共线，对空间任一点O 都有OP →＝12OA →＋14OB →＋14
OC →，则P ，A ，B ，C 四点( ) A ．不共面 B ．不一定共面
C ．共面
D ．无法确定
答案 C
9．已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )
A ．a
B ．b
C ．a ＋2b
D ．a ＋2c
答案 D
解析 构成基底的条件是三个向量不共面，故只有D 项满足条件．
10．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝
b ，A 1A →＝
c ，则B 1M →可表示为( )
A.12a ＋12b ＋c
B.12a －12
b ＋
c C ．－12a －12b ＋c D ．－12a ＋12
b ＋
c 答案 D
解析 结合图形，根据三角形法则和平行四边形法则计算得B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12
(BA →＋BC →)＝－12A 1B 1→＋12A 1D 1→＋A 1A →＝－12a ＋12
b ＋
c . 11．已知{e 1，e 2，e 3}为空间一基底，p ＝x e 1＋y e 2－e 3，q ＝－y e 1＋2x e 2－e 3，若p ＝q ，则x ＝________，y ＝________．
答案 0 0
解析 ∵e 1，e 2为基底，
要使x e 1＋y e 2＝－y e 1＋2x e 2，
只有x ＝0，y ＝0.
12．若{OA →，OB →，OC →}是空间的一个基底，OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，OQ →＝2OA →－OB →，则PQ →＝________． 答案 OA →－3OB →－3OC →
解析 PQ →＝OQ →－OP →
＝(2OA →－OB →)－(OA →＋2OB →＋3OC →)
＝OA →－3OB →－3OC →.
13.
在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，
如以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________．
答案 －112AB →－13AC →＋34
AD → 14.
已知ABCD 是边长等于1的正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝2.设G 是△ABC 的重心，E 是SD 上一点，且SE ＝3ED.
试用基底{AB →，AD →，AS →}表示向量GE →.
解析 延长AG 交BC 于F ，则F 是BC 中点．
∴GE →＝AE →－AG →＝(AS →＋SE →)－23
AF → ＝AS →＋34SD →－13
(AB →＋AC →)
＝AS →＋34(AD →－AS →)－13
(AB →＋AB →＋AD →) ＝－23AB →＋512AD →＋14
AS →. ∴GE →＝－23AB →＋512AD →＋14
AS →. 15.
如图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F
分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.
解析 连接BO ，
则BF →＝12BP →＝12
(BO →＋OP →) ＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12
c .
BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12
(CO →＋OP →) ＝－a －12b ＋12
c . AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12
(PO →＋OC →) ＝－a ＋c ＋12
(－c ＋b ) ＝－a ＋12b ＋12
c . EF →＝12CB →＝12OA →＝12
a . 16．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，AD ＝1.E 是DC 上一点，且DE ＝1，连接AE 将△DAE 沿AE 折起到△D 1AE 的位置，使得∠D 1AB ＝30°，设AC 与BE 的交点为O.
(1)试用基向量AB →，AE →，AD 1→表示向量CD 1→；
(2)求直线OD 1与BC 所成角的余弦值．
解析 (1)CD 1→＝CA →＋AD 1→＝CB →＋BA →＋AD 1→＝EA →＋BA →＋AD 1→＝－AE →－AB →＋AD 1→.
(2)∵OD 1→＝OA →＋AD 1→＝－12AC →＋AD 1→＝－12AB →－12
AE →＋AD 1→，BC →＝AE →，又可求得〈AB →，AE →〉＝45°，〈AD 1→，AE →〉＝45°，∠D 1AB ＝30°.
|AB →|＝2，|AE →|＝|AD →|2＋|DE →|2＝2，|AD 1→|＝|AD →|＝1.
∴cos 〈OD 1→，BC →〉
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →－12AE →＋AD 1→·AE →|OD 1→||AE →|
＝－152
－3·2. ∴直线OD 1与BC 所成角的余弦值为1
5
2－3·2
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