应用举例 课件

题型一 测量两个不可到达的点之间的距离
例 1 2003 年，伊拉克战争初期，美英联军为了准确分析战 场形势，由分别位于科威特和沙特的两个相距为 23a的军事基地 C 和 D，测得伊拉克两支精锐部队分别在 A 处和 B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示， 求伊军这两支精锐部队的距离．
探究 2 (1)本例是计算高度的问题，由于塔高 CD 难以直接 求解，因此放在直角三角形 BCD 中求解，而 BC 长的求解利用正 弦定理在△ABC 中求解．也可利用 500 m 这个已知量在两个直角 三角形中分别表示出 AD 和 BD.
(2)在解斜三角形应用题中不要忽视解直角三角形的知识的 应用(如方法二)．
思考题 3 甲船在 A 处观察乙船在它的北偏东 60°的 B 处， 此时两船相距 a 海里，乙船向正北行驶，若甲船的速度是乙船的
3倍，则甲船以什么方式前进才能追赶上乙船？此时乙船行驶了 多少海里？
【解析】
如图所示，AC 为甲船的航行路线，BC 为乙船的航行路线， 设甲船取北偏东 θ 的方向去追赶乙船，在 C 点处追上，若乙船行 驶的速度是 v，则甲船行驶的速度是 3v，由于甲、乙两船到达 C 点的时间相等，都为 t，则 BC＝vt，AC＝ 3vt.∠ABC＝120°.
应用举例
要点 1 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角 叫 仰角 ，在水平线下方的角叫 俯角 如图．
要点 2 方位角 指从正北方向 顺时针 转到目标方向线的水平角，如 B 点的 方位角为 α 如图．
方位角的其他表示——方向角：
(1)正南方向：指从原点 O 出发的经过目标的射线与 正南的方向线 重合，即目标在正南的方向线上．依此类推正 北方向、正东方向和正西方向．
【解析】 如图所示，设所需时间为 t 小时，则 AB＝10 3t，CB＝10t.
在△ABC 中，根据余弦定理，则有 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°， 可得(10 3t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°， 整理得 2t2－t－1＝0，解得 t＝1 或 t＝－12(舍去)． 舰艇需 1 小时靠近货船．此时 AB＝10 3，BC＝10，
(2)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线． 依此类推东北方向、西南方向、西北方向．
要点 3 基线 在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做 基线．一 般来说，基线越长，测量的精确度 越高． 要点 4 坡度 坡面的 铅垂高度 h 和水平宽度 l 的比叫做 坡度 (或叫做 坡比)．
探究 1 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把 求距离问题转化为求三角形的边长问题，然后把未知的另外边长 转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题．
思考题 1
我炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面点 C 和 D 处，已知 DC＝6 000 米，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现 于地面点 B 处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图所示)， 求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)．
∴CD＝BC·sin75°＝400
2＋ 2· 4
6＝200(1＋
3)(m)．
答：东方明珠塔的高度为 200(1＋ 3) m.
方法二 在△ACD 中，AD＝taCn3D0°. 在△CBD 中，taCn7D5°＝BD. 由 AD－BD＝AB＝800，得 3CD－taCn7D5°＝800， 得 CD＝200(1＋ 3)(m)．
【思路分析】 综合应用正弦定理、余弦定理．
【解析】 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝
3 2 a.
在△BCD 中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理，得sin∠DBBCD＝sin∠CDDBC.
6＋ 2
BD＝CD·ssiinn∠ ∠BDCBDC＝
【解析】 在△ACD 中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝ 60°，CD＝6 000，∠ACD＝45°.
根据正弦定理有 AD＝CDsinsi6n04°5°＝ 23CD， 同理，在△BCD 中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°， CD＝6 000，∠BCD＝30°.
根据正弦定理有
【思路分析】
如图所示，塔高为 CD，只要能计算出 BC 或 AC 的长度，就 可以计算出塔高，所以应在△ABC D＝30°，∠CBD＝75°，∴∠
ACB＝45°.
在△ABC 中，由于sin∠ABACB＝sBinCA，
∴BC＝siAnB∠·sAinCAB＝800s×in4si5n°30°＝400 2.
3 2 a·
4 2
＝3＋4
3 a.
2
在△ADB 中，由余弦定理，得
AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB
＝34a2＋(3＋4 3a)2－2×3＋4 3a× 23a× 23＝38a2.
∴AB＝
46a，∴伊军这两支精锐部队的距离为
6 4 a.
【讲评】 求距离问题一般要注意： (1)基线的选取要准确恰当(在测量上，我们根据测量需要适 当确定的线段叫做基线，如例中的 CD)． (2)选定或创建的三角形要确定．
BD＝CsDins1in3350°°＝
2 2 CD.
又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，
根据勾股定理有 AB＝ AD2＋BD2＝ 23＋12CD＝ 642CD＝1 000 42(米)．
所以炮兵阵地到目标的距离为 1 000 42 米．
例 2 为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在 A 处测得 塔尖的仰角为 30°，前进 800 m 后，到达 B 处测得塔尖的仰角为 75°.试计算东方明珠塔的高度．
在△ABC 中，由正弦定理，得sin∠BCCAB＝sinA1B20°.
所以
sin∠CAB＝BCsAinB120°＝101× 0
3
2 3
＝12.
所以∠CAB＝30°.
所以护航舰航行的方位角为 75°.
探究 3 解题时应明确，方位角是相对每一点而言的，因此， 从这个意义上来说，方位角是一个动态角，在理解题意时，应把 方位角看活，本题从表面上似乎与三角形无关，但通过画出问题 的示意图后，发现本题的实质就是解两个斜三角形，因此，在解 任何数学问题时，应认真仔细地分析题意，揭示问题的本质，不 应被问题的表面现象所迷惑．
思考题 2 已知 A、B 两地的距离为 10 km，BC 两地的距 离 为 20 km ， 经 测 量 ∠ ABC ＝ 120°， 则 AC 两 地 的 距 离 为 ________km.
【答案】 10 7
题型二 测量角度 例 3 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信 号，我海军护航舰在 A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为 45°， 距离为 10 海里的 C 处，并测得货船正沿方位角为 105°的方向， 以 10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以 10 3 海 里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时 间．
由余弦定理可知 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°， 即 3v2t2＝a2＋v2t2＋avt. 所以 2v2t2－avt－a2＝0.解得 t1＝av，t2＝－2av(舍去)． 所以 BC＝a，∠CAB＝30°，θ＝30°. 即甲船应取北偏东 30°的方向去追赶乙船，此时乙船已行驶 a 海里．