20-21版：7.2 万有引力定律（步步高）

2 万有引力定律
[学习目标] 1.知道太阳对行星的引力提供了行星做圆周运动的向心力，能利用开普勒第三定律、牛顿运动定律推导出太阳与行星之间引力的表达式.2.了解月—地检验的内容和作用.3.理解万有引力定律的内容、含义及适用条件.4.认识引力常量测定的重要意义，能应用万有引力定律解决实际问题．
一、行星与太阳间的引力
1．太阳对行星的引力：太阳对行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F ∝m r
2.
2．行星对太阳的引力：在引力的存在与性质上，太阳与行星的地位完全相当，因此行星对太阳的引力和太阳对行星的引力规律相同，即F ′∝m 太
r
2.
3．太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律F ＝F ′，所以有F ∝m 太m
r 2，写成等式就是F ＝
G m 太m r
2. 二、月—地检验
1．检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的引力是否为同一性质的力．
2．检验方法：(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F ＝G m 月m 地
r
2.
(2)根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a 月＝F
m 月＝G m 地r 2(式中m 地是地球
质量，r 是地球中心与月球中心的距离)．
(3)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a 苹＝F
m 苹＝G m 地R 2
(式中m 地是地球的质量，R 是地球中心与苹果间的距离)． (4)a 月a 苹＝R 2r 2，由于r ≈60R ，所以a 月a 苹＝1
60
2. 3．验证：(1)苹果自由落体加速度a 苹＝g ＝9.8 m/s 2. (2)月球中心到地球中心的距离r ＝
3.8×108 m. 月球公转周期T ＝27.3 d ≈2.36×106 s
则a 月＝(2πT )2r ≈2.7×10－
3 m/s 2(保留两位有效数字)
a 月a 苹
≈2.8×10－
4(数值)≈1602(比例)．
4．结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律． 三、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比． 2．表达式：F ＝G m 1m 2
r 2，其中G 叫作引力常量．
四、引力常量
牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G 的值． 英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G 的值．通常情况下取G ＝6.67×10－11
N·m 2/kg 2.
1．判断下列说法的正误．
(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间．( √ ) (2)牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量．( × )
(3)质量一定的两个物体，若距离无限小，它们间的万有引力趋于无限大．( × ) (4)由于太阳质量大，太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力．( × )
2．两个质量都是1 kg 的物体(可看成质点)，相距1 m 时，两物体间的万有引力F ＝________ N ，其中一个物体的重力F ′＝________ N ，万有引力F 与重力F ′的比值为________．(已知引力常量G ＝6.67×10－11
N·m 2/kg 2，取重力加速度g ＝10 m/s 2)
答案 6.67×10
－11
10 6.67×10－12
一、对太阳与行星间引力的理解 导学探究
1．是什么原因使行星绕太阳运动？
答案 太阳对行星的引力使行星绕太阳运动．
2．在推导太阳与行星间的引力时，我们对行星的运动是怎么简化处理的？用了哪些知识？ 答案 将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动．在推导过程中，用到了向心力公式、开普勒第三定律及牛顿运动定律．
知识深化
万有引力定律的得出过程
(2019·哈尔滨校级月考改编)关于行星对太阳的引力，下列说法正确的是( )
A ．行星对太阳的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力
B ．行星对太阳的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C ．太阳对行星的引力公式是由实验得出的
D ．太阳对行星的引力公式是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的 答案 D
二、万有引力定律
导学探究 通过月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．一切物体都存在这样的引力，为什么我们感觉不到周围物体的引力呢？如图1所示，假若你与同桌的质量均为60 kg ，相距0.5 m ．粗略计算你与同桌间的引力(已知G ＝6.67×10
－11
N·m 2/kg 2)．一粒芝麻的质量大约是0.004 g ，其重力约为4×10－
5 N ．是
你和你同桌之间引力的多少倍，这时在受力分析时需要分析两个人之间的引力吗？
图1
答案 F 万＝G m 2r 2＝6.67×10－11×6020.5
2 N ≈9.6×10－7 N ≈1×10－
6 N
芝麻的重力是你和你同桌之间引力的40倍，这时的引力很小，所以两个人靠近时，不会吸引到一起．故在进行受力分析时，一般不考虑两物体的万有引力，除非是物体与天体、天体与天体间的相互作用． 知识深化
1．万有引力定律表达式：F ＝G m 1m 2r 2，G ＝6.67×10－
11 N·m 2/kg 2.
2．万有引力定律公式的适用条件 (1)两个质点间的相互作用．
(2)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，r 为球心到质点的距离． (3)两个质量均匀的球体间的相互作用，r 为两球心间的距离．
(2019·武威第十八中学高一期末)对于万有引力定律的表达式F ＝G m 1m 2
r
2，下列说法正
确的是( )
A ．公式中G 为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B ．当r 趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C ．对于m 1与m 2间的万有引力，质量大的受到的引力大
D ．m 1与m 2受到的引力是一对平衡力 答案 A
解析 万有引力定律的表达式F ＝G m 1m 2
r 2，公式中G 为引力常量，它是由实验测得的，而不
是人为规定的，选项A 正确；当r 趋近于零时，万有引力定律表达式不再适用，选项B 错误；m 1与m 2间的万有引力是相互作用力，两物体受到的万有引力是等大反向的，选项C 错误；m 1与m 2受到的引力是一对相互作用力，因作用在两个物体上，故不是平衡力，选项D 错误．
如图2所示，两球间的距离为r 0.两球的质量分布均匀，质量分别为m 1、m 2，半径分
别为r 1、r 2，则两球间的万有引力大小为( )
图2
A ．G m 1m 2r 02
B.Gm 1m 2r 12
C.Gm 1m 2(r 1＋r 2)2
D.Gm 1m 2
(r 1＋r 2＋r 0)2
答案 D
解析 两个匀质球体间的万有引力F ＝G m 1m 2
r 2，r 是两球心间的距离，选D.
三、重力和万有引力的关系
1.地球表面处重力与万有引力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力．地球对物体引力的一个分力F ′提供向心力，另一个分力为重力G ，如图3所示．
图3
(1)当物体在两极时：G ＝F 引，重力达到最大值G max ＝G Mm
R 2.
方向与引力方向相同，指向地心． (2)当物体在赤道上时：
F ′＝mω2R 最大，此时重力最小
G min ＝G
Mm
R 2
－mω2R 方向与引力方向相同，指向地心．
(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F ′＝mω2R ′减小，F ′与F 引夹角增大，所以重力G 在增大，重力加速度增大．
因为F ′、F 引、G 不在一条直线上，重力G 与万有引力F 引方向有偏差，重力大小mg <G Mm
R 2.
2．重力与高度的关系
若距离地面的高度为h ，则mg ′＝G Mm
(R ＋h )2(R 为地球半径，g ′为离地面h 高度处的重力加
速度)．在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小． 3．特别说明
(1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力不是地球对物体的引力． (2)在忽略地球自转的情况下，认为mg ＝G Mm
R
2.
(多选)如图4所示，P 、Q 是质量均为m 的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，
如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P 、Q 两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
图4
A ．P 、Q 受地球引力大小相等
B ．P 、Q 做圆周运动的向心力大小相等
C ．P 、Q 做圆周运动的角速度大小相等
D ．P 、Q 两质点的重力大小相等 答案 AC
解析 P 、Q 两质点所受地球引力都是F ＝G Mm
r 2，故A 正确；P 、Q 都随地球一起转动，其
角速度一样大，但P 的轨道半径大于Q 的轨道半径，根据F n ＝mω2r 可知P 的向心力大，故B 错误，C 正确；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，在两极处最大，故D 错误．
火星半径是地球半径的12，火星质量大约是地球质量的1
9
，那么地球表面上质量为50 kg
的宇航员(地球表面的重力加速度g 取10 m/s 2) (1)在火星表面上受到的重力是多少？
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m 高，那他在火星表面能跳多高？ 答案 (1)222.2 N (2)3.375 m 解析 (1)在地球表面有mg ＝G Mm
R 2
在火星表面上有mg ′＝G M ′m
R ′2
代入数据，联立解得g ′＝
40
9
m/s 2 则宇航员在火星表面上受到的重力 G ′＝mg ′＝50×40
9 N ≈222.2 N.
(2)在地球表面宇航员跳起的高度H ＝v 02
2g
在火星表面宇航员能够跳起的高度h ＝v 02
2g ′
联立解得h ＝g g ′
H ＝10
409
×1.5 m ＝3.375 m.
1．(行星与太阳间的引力)(多选)(2019·山西大学附属中学高一下月考)如果设行星的质量为m ，绕太阳运动的线速度为v ，公转周期为T ，轨道半径为r ，太阳的质量为M ，则下列说法正确的是( )
A ．在探究太阳对行星的引力大小F 的规律时，引入的公式F ＝m v 2
r
实际上是牛顿第二定律
B ．在探究太阳对行星的引力大小F 的规律时，引入的公式v ＝2πr
T ，实际上是匀速圆周运动
的一个公式
C ．在探究太阳对行星的引力大小F 的规律时，引入的公式r 3
T 2＝k ，实质上是开普勒第三定律，
是不可以在实验室中得到验证的
D ．在探究太阳对行星的引力大小F 的规律时，得到关系式F ∝m
r 2之后，又借助相对运动的知
识(也可以理解为太阳绕行星做匀速圆周运动)得到F ∝m 太
r 2
，最终用数学方法合并成关系式F ∝m 太m r 2
答案 ABC
解析 引入的公式F ＝m v 2
r ，实际上是牛顿第二定律，由引力提供向心力得出的，故A 正确；
引入的公式v ＝2πr T 是匀速圆周运动线速度与周期的关系式，故B 正确；引入的公式r 3
T 2＝k ，
实质上是开普勒第三定律，是开普勒观测行星运动时得到的，因此无法在实验室中得到验证，故C 正确；在探究太阳对行星的引力大小F 的规律时，得到关系式F ∝m
r 2，根据牛顿第三定
律得出F ∝m 太r 2，最终用数学方法合并成关系式F ∝m 太m
r
2，故D 错误．
2．(月—地检验)(2018·北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( ) A ．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1
602
B ．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1
602
C ．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1
6
D ．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1
60
答案 B
3．(万有引力定律的简单应用)两个完全相同的实心匀质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F .若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为( ) A ．2F B ．4F C ．8F D ．16F
答案 D
解析 两个小铁球之间的万有引力为F ＝G mm (2r )2＝G m 24r 2.实心小铁球的质量为m ＝ρV ＝ρ·43πr 3
，
大铁球的半径r ′是小铁球半径r 的2倍，设大铁球的质量为m ′，则m ′m ＝r ′3
r 3＝8，故两个
大铁球间的万有引力为F ′＝G m ′m ′
(2r ′)2
＝16F ，故选D.
4．(重力加速度的计算)设地球表面重力加速度为g 0，物体在距离地心4R (R 是地球的半径)处，由于地球的引力作用而产生的加速度为g ，则g
g 0为( )
A ．1 B.19 C.14 D.1
16
答案 D
解析 在地球表面处，有G mM R 2＝mg 0，在距离地心4R 处，有G mM (4R )2＝mg ，联立得g g 0＝(R 4R )
2
＝1
16
，故D 正确．。