2021-2022年高三上学期第一次月考(10月)数学理试题 含答案

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2021年高三上学期第一次月考(10月)数学理试题 含答案
一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知函数的定义域为集合A ,集合,则( D )
A. B. C. D. 2.设,,,则( A ) A .
B .
C .
D .
3.已知向量=(1,2),向量=(x ,-2),且,则实数x 为( A )
A .9
B .4
C .0
D .-4 4.在中,,,为角,,的对边,若,,,则( D )
A .
B .10
C .
D . 5.下列命题中的个数是( C )
(1)“若,则关于的不等式解集为”的逆命题为真. (2)表示复数集,则有. (3)已知向量,若,,且,则的夹角为。

A .0 B .1 C .2 D .3 解析:C 命题(3)是真命题,(1)(2)是假命题,故选C 6.函数的零点个数为 ( B )
A. B. C. D.
R 上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数满足212
(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则的最小值是( C )
.1 C . D .2
解析:选C ∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数,∴

等价为f (log 2a )+f (﹣log 2a )=2f (log 2a )≤2f (1),即f (log 2a )≤f (1). ∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增, ∴f (log 2a )≤f (1)等价为f (|log 2a|)≤f (1).即|log 2a|≤1, ∴﹣1≤log 2a≤1,解得,故a 的最小值是,故选:C 8.函数的部分图象可能是( B )
O
y
x O y
x O y
x
.
O
y
x
.
9.已知是定义在R 上的偶函数,对任意,(6)()2(3),(0)3,x R f x f x f f ∈+=+=都有且 ( C )
A. B. C. D.
10.函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如图所示,为了得到函数的图象,只需将的图象( A )
A .向左平移个单位长度
B .向右平移个单位长度
C .向左平移个单位长度
D .向右平移个单位长度 11.已知函数1()=()2ln (),()a
f x a x x a R
g x x x
--∈=-
,若至少存在一个,使得成立,则实数的取值范围是( B )
A .
B .
C .
D . 解析:选 B 令1()()()()2ln 2ln (0)a
h x f x g x a x x ax x x x x
=-=--+=->其中,所以,
若,则,所以上是减函数,在的最大值为,此时不存在,使得,即使得成立; 若,则由,总存在使得成立. 故实数的范围为. 12.已知函数()()2
212,3ln 2
f x x ax
g x a x b =
+=+设两曲线有公共点,且在该点处的切线相同,则时,实数的最大值是( D ) A . B . C . D .
解析:选 D 依题意:,,因为两曲线,有公共点,设为,所以22000002
0000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x a x ⎧
=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩
或,因为, 所以,因此222200015
23ln 3ln (0)22
b x ax a x a a a a =
+-=-> 构造函数22
5()3ln (0)2h t t t t t =->,由,当时,即 单调递增;当时,即单调递减,所以
即为实数的最大值.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二.填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知复数满足 (其中为虚数单位),则的虚部为 14.已知,,,.则的值=
15.已知函数()()2
ln 1f x x x a x =+++,其中若在定义域内既有极大值又有极小值,则
实数的取值范围为解析:
16.已知函数()2
111
[0,]
242
21
,1
22
x x
f x
x
x
x

-+∈
⎪⎪
=⎨
⎛⎤
⎪∈

⎪+⎝⎦

,()
3
sin()22(0)
32
g x a x a a
ππ
=+-+>,
给出下列结论,其中所有正确的结论的序号是①②③.
①函数的值域为;
②函数在上是增函数;
③若存在,使得,则实数的取值范围是.
三.解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知集合,集合{|(2)(3)0}A x x x =--<,函数的定义域为集合B .
(1)若,求集合;
(2)命题,命题,若是的必要条件,求实数的取值范围. 解析:(1)因为集合,因为
函数2
9(2)4lg =lg
12
x x a y a x x
-
-+=--,由9
412x x -
->0, 可得集合…………2分
, …………………………………………4分 故9
(){|
3}4
U A C B x x ⋂=≤<. ……………………………6分 (2)因为是的必要条件等价于是的充分条件,即 由,而集合应满足, 因为2
2
17
2()02
4
a a a +-=-+
> 故, ……………………8分 依题意就有:
, ………………………………………10分 即或
所以实数的取值范围是. …………………12分
18.已知函数.
(1)若时,求的单调区间;
(2)若时,求过点作曲线的切线方程。

解析:(1)当3
2
'3()3,()333(1)(1)a f x x x f x x x x =-=-=-=-+时, 由
'()3(1)(1)011
f x x x x x =-+>⇒><-或;由
'()3(1)(1)011f x x x x =-+<⇒-<<
∴()-f x ∞∞的单增区间为(-,-1),(1,+);单减区间为(1,1)
(2)当时,32
'()2()32f x x x f x x =-=-且 设切点为P ,则切线斜率k=,
∴切线:32
00002(32)()y x x x x x -+=--且过得
,∴
故切线的方程为:205+4y 1=0x y x --=-或 19.(本小题满分12分)已知(
)322sin(
)sin(),x 2
f x x x x R π
π=++-∈
(1)求的最小正周期及单增区间;
(2)已知锐角的内角的对边分别为,且 ,,求的最大值. 解析:(1)()3cos 2sin 22sin 23f x x x x π⎛⎫
=-=--
⎪⎝

()f x π∴的最小正周期为,
由3222()2
3
2k x k k Z π
π
πππ+
≤-
≤+
∈511()1212
k x k k Z ππππ⇒+≤≤+∈ 511()|()1212f x x k x k k Z ππππ⎧⎫
∴+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
的单增区间为
(2)由得3sin 2,0=3223A A πππ⎛

⎛⎫
-
=∈∴ ⎪ ⎪

⎭⎝⎭
又A ,, 由余弦定理得222222cos 9=a b c bc A b c bc bc =+-+-≥得
9bc ≤即(当且仅当b=c 时取等号) ∴=≤
20.(本小题满分12分)已知函数 ()2
ln (),()2f x x x ax a R g x x =-∈=--.
(1)若方程无解,求实数的取值范围;
(2)对()(0,),()x f x g x ∀∈+∞≥都有成立,求实数的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知函数()()2
0f x ax bx c c =++>为偶函数,函数的图像在处切
线与直线平行,函数.
(1)求,的值; (2)讨论的单调性;
(3)若为的极小值点,求的取值范围.
解:(1)∵为偶函数 ∴b=0 又∵()11221f a b a =+=⇒= ∴a=1,b=0
请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请
写清题号. 22.(本小题满分10分)如图,圆的半径OB 垂直于直径AC ,M 为AO 上一点,BM 的延长线交圆于N ,过N 点的切线交CA 的延长线于P .
(1)求证:;
(2)若圆的半径为,,求MN 的长 . 解析:(1)证明:连接ON ,因为PN 切圆0于N ,所以, 所以,因为OB=ON ,所以 因为于,所以
故PMN BMO BNP ∠=∠=∠, 所以 5分
(2
10分
23、(本小题满分10分)
已知曲线的参数方程为(为参数).在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (Ⅰ)把的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求与交点的极坐标. 解:(Ⅰ)将消去参数,得, 所以的普通方程为:. ········································································································ 2分 将代入得, ·························································································································· 4分 所以的极坐标方程为. ······································································································ 5分 (Ⅱ)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程得:. 由 ······································································································································· 7分 解得或································································································································ 9分 所以与交点的极坐标分别为或. ···················································································· 10分
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数,且.
(1)当时,解不等式;
(2) 当时,若对一切恒有成立,求实数的取值范围。

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