榆树市第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

榆树市第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，四面体D ﹣ABC 的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D ﹣ABC 中最长
棱的长度为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．3
2． 已知函数f （x ）=x 2﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是（ ） A ．（﹣1，2]
B ．（﹣2，2]
C ．[﹣2，2]
D ．[﹣2，﹣1）
3． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x <<
4． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，
则这两个圆锥的体积之比为（ ） A ．2：1 B ．5：2 C ．1：4 D ．3：1
5． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．20
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
6．设数集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，如果把b ﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（）
A．B．C．D．
7．已知等差数列{a n}中，a6+a8=16，a4=1，则a10的值是（）
A．15 B．30 C．31 D．64
8．lgx，lgy，lgz成等差数列是由y2=zx成立的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（）
A.4π
B.
C. 5π
D. 2π+
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力．
10．已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当x∈（﹣，）时，f（x）=e x+sinx，则（）
A．B．C．
D．
11．阅读下面的程序框图，则输出的S=（）
A ．14
B ．20
C ．30
D ．55
12．执行如图的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A ．2016
B ．2
C ．
D ．﹣1
二、填空题
13．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()ln R x
f x x a a x =+-∈，若曲线122e e 1
x x y +=+（e 为自然对数的底数）上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围为__________.
14．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是 ．
15．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元． 16．将曲线1:C 2sin(),04
y x π
ωω=+>向右平移
6
π
个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.
17．直线l ：（t 为参数）与圆C ：
（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围
是 ．
18．（文科）与直线10x -=垂直的直线的倾斜角为___________．
三、解答题
19．已知数列{a n }满足a 1=﹣1，a n+1=（n ∈N *
）．
（Ⅰ）证明：数列{+}是等比数列；
（Ⅱ）令b n =
，数列{b n }的前n 项和为S n ．
①证明：b n+1+b n+2+…+b 2n ＜
②证明：当n ≥2时，S n 2＞2（+
+…+
）
20．巳知二次函数f（x）=ax2+bx+c和g（x）=ax2+bx+c•lnx（abc≠0）．
（Ⅰ）证明：当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（Ⅱ）在同一函数图象上取任意两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点C（x0，y0），记直线AB的斜率为k若f（x）满足k=f′（x0），则称其为“K函数”．判断函数f（x）=ax2+bx+c与g（x）=ax2+bx+c•lnx 是否为“K函数”？并证明你的结论．
21．已知函数且f（1）=2．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
22．已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4x的焦点，离心率是．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆E相交于A、B两点，且在x轴上存在点M，使得与k的取值无关，试求点M的坐标．
23X
（I）求该运动员两次都命中7环的概率；
（Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ．
24．如图，四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°，点E在BD上，且CE=DE．
（Ⅰ）求证：AB⊥CE；
（Ⅱ）若AC=CE，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．
榆树市第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】 B
【解析】解：因为AD •（BC •AC •sin60°）≥V D ﹣ABC =，BC=1，
即AD •
≥1，
因为2=AD+≥2
=2，
当且仅当AD==1时，等号成立，
这时AC=，AD=1，且AD ⊥面ABC ，所以CD=2，AB=
，
得BD=，故最长棱的长为2．
故选B ．
【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．
2． 【答案】C
【解析】解：由f （x ）=x 2﹣6x+7=（x ﹣3）2
﹣2，x ∈（2，5]． ∴当x=3时，f （x ）min =﹣2．
当x=5时，
．
∴函数f （x ）=x 2
﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是[﹣2，2]． 故选：C ．
3． 【答案】B
考
点：函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1
4． 【答案】D
【解析】解：设球的半径为R ，圆锥底面的半径为r ，则πr 2
=
×4πR 2=
，∴r=．
∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和
．
∴两个圆锥的体积比为： =1：3．
故选：D ．
5． 【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
123123
1
=⨯⨯，故选C. 6． 【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}， P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，
∴根据题意，M 的长度为，N 的长度为， 当集合M ∩N 的长度的最小值时， M 与N 应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M ∩N 的长度的最小值是=．
故选：C ．
7． 【答案】A
【解析】解：∵等差数列{a n }， ∴a 6+a 8=a 4+a 10，即16=1+a 10， ∴a 10=15，
故选：A ．
8． 【答案】A
【解析】解：lgx ，lgy ，lgz 成等差数列，∴2lgy=lgx •lgz ，即y 2
=zx ，∴充分性成立，
因为y 2
=zx ，但是x ，z 可能同时为负数，所以必要性不成立，
故选：A ．
【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题．
9．【答案】B
10．【答案】D
【解析】解：由f（x）=f（π﹣x）知，
∴f（）=f（π﹣）=f（），
∵当x∈（﹣，）时，f（x）=e x+sinx为增函数
∵＜＜＜，
∴f（）＜f（）＜f（），
∴f（）＜f（）＜f（），
故选：D
11．【答案】C
【解析】解：∵S1=0，i1=1；
S2=1，i2=2；
S3=5，i3=3；
S4=14，i4=4；
S5=30，i=5＞4
退出循环，
故答案为C．
【点评】本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．
12．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
s=2，k=0
满足条件k＜2016，s=﹣1，k=1
满足条件k＜2016，s=，k=2
满足条件k ＜2016，s=2．k=3 满足条件k ＜2016，s=﹣1，k=4 满足条件k ＜2016，s=，k=5 …
观察规律可知，s 的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有 满足条件k ＜2016，s=2，k=2016
不满足条件k ＜2016，退出循环，输出s 的值为2． 故选：B ．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s ，k 的值，观察规律得到s 的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．
二、填空题
13．【答案】1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【解析】结合函数的解析式：1
22e e 1x x y +=+可得：()
()
122
221'1
x x x e e y e +-=+， 令y ′=0，解得：x =0，
当x >0时，y ′>0，当x <0，y ′<0，
则x ∈（-∞，0），函数单调递增，x ∈（0，+∞）时，函数y 单调递减， 则当x =0时，取最大值，最大值为e ， ∴y 0的取值范围（0，e ]，
结合函数的解析式：()()R lnx
f x x a a x =+-∈可得：()22ln 1'x x f x x
-+=， x ∈（0，e ），()'0f x >， 则f （x ）在（0，e ）单调递增， 下面证明f （y 0）=y 0．
假设f （y 0）=c >y 0，则f （f （y 0））=f （c ）>f （y 0）=c >y 0，不满足f （f （y 0））=y 0． 同理假设f （y 0）=c <y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0． 综上可得：f （y 0）=y 0．
令函数()ln x
f x x a x x =
+-=． 设()ln x g x x =，求导()2
1ln 'x
g x x -=，
当x ∈（0，e ），g ′（x ）>0，
g（x）在（0，e）单调递增，
当x=e时取最大值，最大值为()1
g e
e
=，当x→0时，a→-∞，
∴a的取值范围
1
,
e ⎛⎤-∞
⎥⎝⎦
.
点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
（2）若可导函数f（x）在指定的区间D上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
14．【答案】0
【解析】
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，
∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），
=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），
=﹣1+0+1=0，
∴A1E⊥GF，
∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0．
故答案为：0．
15．【答案】1464
【解析】【知识点】函数模型及其应用
【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A用涂料1，房间B用涂料3，
房间C用涂料2，即最低的涂料总费用是元。

故答案为：1464 16．【答案】6
【解析】解析：曲线2C 的解析式为2sin[()]2sin()6446
y x x ππππ
ωωω=-
+=+-，由1C 与2C 关于x 轴对称知sin()sin()464x x πππωωω+-=-+，即1c o s ()s i n ()s i n ()c o s ()06464x x ππππωωωω⎡
⎤++-+=⎢⎥⎣
⎦对一切
x R ∈恒成立，∴1cos()06
sin()0
6πωπω⎧
+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴(21)6k πωπ=+，∴6(21),k k Z ω=+∈，由0ω>得ω的最小值为6.
17．【答案】 [4
，16] ．
【解析】解：直线l
：（t 为参数），
化为普通方程是
=
，
即y=tan α•x+1； 圆C
的参数方程
（θ为参数），
化为普通方程是（x ﹣2）2+（y ﹣1）2
=64；
画出图形，如图所示；
∵直线过定点（0，1），
∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16， 最小值是2=2
×=2
×
=4
∴弦长的取值范围是[4
，16]．
故答案为：[4
，16]．
【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．
18．【答案】3
π 【解析】
3
π. 考点：直线方程与倾斜角．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵数列{a n }满足a 1=﹣1，a n+1=（n ∈N *
），
∴na n =3（n+1）a n +4n+6，
两边同除n （n+1）得，，
即，
也即
，
又a 1=﹣1，∴，
∴数列{+}是等比数列是以1为首项，3为公比的等比数列．
（Ⅱ）（ⅰ）证明：由（Ⅰ）得， =3n ﹣1，∴
，
∴
，
原不等式即为：
＜，
先用数学归纳法证明不等式：
当n ≥2时，，
证明过程如下：
当n=2时，左边=
=
＜
，不等式成立
假设n=k 时，不等式成立，即＜
，
则n=k+1时，左边=
＜+
=＜，
∴当n=k+1时，不等式也成立．
因此，当n≥2时，，
当n≥2时，＜，
∴当n≥2时，，
又当n=1时，左边=，不等式成立
故b n+1+b n+2+…+b2n＜．
（ⅱ）证明：由（i）得，S n=1+，
当n≥2，=（1+）2﹣（1+）2
=
=2﹣，
，
…
=2•，
将上面式子累加得，﹣，
又＜
=1﹣
=1﹣，
∴，
即＞2（），
∴当n≥2时，S n2＞2（++…+）．
【点评】本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、累加法、裂项求和法、数学归纳法、放缩法的合理运用，综合性强，难度大，对数学思维能力的要求较高．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：如果g（x）是定义域（0，+∞）上的增函数，
则有g′（x）=2ax+b+=＞0；
从而有2ax2+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立；
又∵a＜0，则结合二次函数的图象可得，2ax2+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立不可能，
故当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（Ⅱ）函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”，g（x）=ax2+bx+c•lnx不是“K函数”，
事实上，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，
k==a（x1+x2）+b=2ax0+b；
又f′（x0）=2ax0+b，
故k=f′（x0）；
故函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”；
对于函数g（x）=ax2+bx+c•lnx，
不妨设0＜x1＜x2，则k==2ax0+b+；
而g′（x0）=2ax0+b+；
故=，化简可得，
=；
设t=，则0＜t＜1，lnt=；
设s（t）=lnt﹣；则s′（t）=＞0；
则s（t）=lnt﹣是（0，1）上的增函数，
故s（t）＜s（1）=0；
则lnt≠；
故g（x）=ax2+bx+c•lnx不是“K函数”．
【点评】本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的接受能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）f（1）=1+k=2；
∴k=1，，定义域为{x∈R|x≠0}；
（2）为增函数；
证明：设x1＞x2＞1，则：
=
=；
∵x1＞x2＞1；
∴x1﹣x2＞0，，；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数．
22．【答案】
【解析】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=，…1分
c=e•a=×=，
故b===，…4分
所以，椭圆E的方程为，即x2+3y2=5…6分
（2）将y=k（x+1）代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；…7分
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则
x1+x2=﹣，x1x2=；…8分
∴=（x1﹣m，y1）=（x1﹣m，k（x1+1）），=（x2﹣m，y2）=（x2﹣m，k（x2+1））；
∴=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2
=m2+2m﹣﹣，
要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；
∴存在点M（﹣，0）满足题意…13分
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）设A=“该运动员两次都命中7环”，
则P（A）=0.2×0.2=0.04．
（2）依题意ξ在可能取值为：7、8、9、10
且P（ξ=7）=0.04，
P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21，
P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39，
P（ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36，
∴ξ的分布列为：
ξ7 8 9 10
P 0.04 0.21 0.39 0.36
ξ的期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：△BCD中，CB=CD，∠BCD=120°，
∴∠CDB=30°，
∵EC=DE，∴∠DCE=30°，∠BCE=90°，
∴EC⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC与平面BCD的交线为BC，
∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB．
（Ⅱ）解：取BC的中点O，BE中点F，连结OA，OF，
∵AC=AB，∴AO⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴AO⊥平面BCD，∵O是BC中点，F是BE中点，∴OF⊥BC，
以O为原点，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
设DE=2，则A（0，0，1），B（0，，0），
C（0，﹣，0），D（3，﹣2，0），
∴=（0，﹣，﹣1），=（3，﹣，0），
设平面ACD的法向量为=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，，﹣3），
又平面BCD的法向量=（0，0，1），
∴cos＜＞==﹣，
∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值为．
【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．。