高三文科数学摸底考试试题及答案

珠海市 高三年级摸底考试
数学试题（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项． 1．全集U={-3-2-10123456}，，，，，，，，，, 集合{10123}A =-，，，，，{-23456}B =，，，，,则
()U C A B =
（ ）
A ．{3}-
B ．{32}--，
C ．{-3-2-1012456}，，，，，，，，
D ．{3}
2．函数1
()log (2)(0,1)2
x a f x a a =->≠的定义域是
（ ）
A A ．(1)+∞，
B ．(1)-∞-，
C ．(1)-∞，
D ．(1)-+∞，
3．函数()1x
x
f x a a -=++，()x x
g x a a -=-，其中01a a >≠，，则
（ ）
A ．()()f x g x 、均为偶函数
B ．()()f x g x 、均为奇函数
C ．()f x 为偶函数 ，()g x 为奇函数
D ．()f x 为奇函数 ，()g x 为偶函数
4．如右图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，
俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）
A
．
3 B ．1
2
π C
．3
D
．6
5．“2=a ”是“函数1)(2
++=ax x x f 在区间)1[∞+-，上为增函数”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知等差数列{}的前n 项和为，若6318a a -=，则=
（ ）
n a n S 8S 正视图 俯视图
侧视图
Q B A O
P A ．68
B ．72
C ．54
D ．90
7．已知点(1,2),(5,6)A B -到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数的值等于（ ） A ．-2或1
B ．1或2
C ．-2或-1
D ．-1或2
8．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
（ ）
A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥
B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥
C ．若l α//，m α⊂，则l m //
D ．若l α//，m α//，则l m // 9．抛物线2
4x y =的焦点到准线的距离为
（ ）
A ．
161 B ．81 C ．4
1
D ．4 10．已知4||,2||==b a ，且)(b a
+与a 垂直，则a b 与的夹角是
（ ）
A ．︒60
B ．︒90
C ．︒120
D ．︒150
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只
能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置． 11．下图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．
12．在区间[]3,0上任取一个数x ，使得不等式0232>+-x x 成立的概率为 ．
13．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为、、c 且a =1，B ∠=0
45，ABC S ∆=2，
则 ．
14．（坐标系与参数方程选做题）圆的半径为1，圆心的极坐标为(10)，，则圆的极坐标方程
是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图P 是
O 的直径AB 延长线上一点，PC 与O 相切于点
C ，APC ∠的角分线交AC 于点Q ，则AQP ∠的大小为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
2
111
()3cos sin cos 222
f x x x x =+， a a b b =
（Ⅰ）将)(x f 化为k x A ++)sin(ϕω(00)2
π
ωϕ><<，的形式；
（Ⅱ）写出()f x 的最值及相应的x 值；
（Ⅲ）若3
6
π
π
α-
<<
，且3()5f α=
+，求cos2α． 17．（本小题满分12分）
某学校共有高一、高二、高三学生2000名，各年级男、女生人数如下图：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0．19． （Ⅰ）求x 的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？ （Ⅲ）已知245,245≥≥z y ，求高三年级中女生比男生多的概率．．
E
D 1
C
B 1D
A
18．（本小题满分14分）
如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,2==AD AB E AA ,11=为1BB 的中点．
（Ⅰ）//1D B 平面AEC ； （Ⅱ）求证：⊥AC D B 1； （Ⅲ）求三棱锥ACD E -的体积． 19．（本小题满分14分）
已知椭圆C 以12(10)(10)F
F -，
，， 为焦点，且离心率2
e = （Ⅰ）求椭圆C
的方程；
（Ⅱ）过(0M 点斜率为k 的直线1l 与椭圆C 有两个不同交点P Q 、，求k 的范围； （Ⅲ）设椭圆C 与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B 、，是否存在直线1l ，满
足（Ⅱ）中的条件且使得向量OP OQ +与AB 垂直？如果存在，写出1l 的方程；如果不存在，请说明理由．
20．（本小题满分14分）
已知函数32
1()22
f x x x x =-
-．
（Ⅰ）求()f x 的极值；
（Ⅱ）当[12]x ∈-，时，()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围． 21．（本小题满分14分）
已知函数)),1[(1ln )(+∞∈+-=x x x x f ，数列{}n a 满足)(,
*1
1N n e a a e a n
n ∈==+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）求)()()(21n a f a f a f +++ ； （Ⅲ）求证：).(321*2
)1(N n e n n n ∈≤⋅⋅⋅⋅-
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项． 1—5ADCDA 6—10BCBBC
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只
能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置． 11． 63 12． 32
13．5
14．2cos ρθ= 15． 0135
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）．2
111()sin cos 222
f x x x x =+ 1cos 1
sin 22
x x +=+2分
sin()32
x π=++
4分
（Ⅱ）．当232x k k Z π
ππ+
-∈=，即526
x k k Z π
π-∈=，时5分
()f x 得到最小值12
-+
6分
当23
2x k k Z π
π
π+
+
∈=，即26
x k k Z π
π++∈=，时7分
()f x 得到最大值12
+
8分
（Ⅲ）
．由3()sin()3
5f π
αα=+=+3
sin()35
πα+= ∵3
6
π
π
α-
<<
，∴03
2
π
π
α<+
<
，∴4
cos()3
5
π
α+
=
9分
∴224
sin(2)2sin()cos()33325πππααα+
=+⋅+=
227
cos(2)2cos ()13325
ππαα+=+-=
10分 ∴22cos 2cos[(2)]33ππαα=+-2222cos(2)cos sin(2)sin
3333
ππππ
αα=+++
7
50
=
12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）由已知有380,19.02000
=∴=x x
；
（4分） （2）由（1）知高二男女生一起750人，又高一学生750人，所以高三男女生一起500
人，
按分层抽样，高三年级应抽取
125002000
48
=⨯人；
（8分） （3）因为245,245,500≥≥=+z y z y ，所以基本事件有： ;255,245==z y
251,249;252,248;253,247;254,246========z y z y z y z y
246
,254;247,253;248,252,249,251;250,250==========z y z y z y z y z y
245,255==z y
一共11个基本事件．其中女生比男生多，即z y >的基本事件有：
245
,255;246,254;247,253;248,252,249,251==========z y z y z y z y z y
共5个基本事件，
故女生必男生多的事件的概率为
（12分）
18．（本小题满分14分） 解：（1）设AC 与BD 交于点O ，
E 为中点，D B OE 1//∴， （2分）
.115
又⊄D B 1平面AEC ，⊂OE 平面AEC ，
∴//1D B 平面AEC ． （5分）
（2）在长方体1111D C B A ABCD -中，⊥B B 1平面B B AC ABCD 1,⊥∴， 又∴=,AD AB 矩形ABCD 为正方形，BD AC ⊥∴，（6分）
⊥∴AC 平面D B AC BD B 11,⊥∴． （9分）
（3）因为⊥EB 平面,ACD 且.3
1
31,2=⋅=
∴=∆-∆EB S V S ACD ACD E ACD （14分） 19．（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）设椭圆C 的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为a b c 、、 由题设知：1c =1分，
由1
c e a a =
==a =2分
则1
b =3分
∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=4分
（Ⅱ）过(0M 点斜率为k 的直线1:l y kx =
即1:l y kx =5分
与椭圆C 方程联立消y 得22
(21)20k x +++=*“”
6分
由1l 与椭圆C 有两个不同交点知
其2
2
328(21)0k k ∆=-+>得2k <-
或2
k >7分
∴k 的范围是2
(()22
-∞-+∞，
，。

8分
（Ⅲ）设1122()()P x y Q x y ，、，，则12x x 、是*“”的二根
则122 21x x k +=-
+，则1212()y y k x x +=++2
21
k =+
则1212()OP OQ x x y y +=++，(=10分
由题设知0)(01)A B 、，
，∴(1)AB =-11分
若()OP OQ AB +⊥
，须28()021k OP OQ AB k +⋅=
=+12分
得4
k =-
2(()-∞+∞，，13分
∴不存在满足题设条件的1l 。

14分
20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）．解2'()320f x x x =-->得2
3
x <-或1x > （3分）
解2
'()320f x x x =--<得213
x -<<，如下表
x
2()3
-∞-，
23-
2(1)3
-， 1
(1)+∞，
'
()f x
+
—
+
()f x
2227
32
-
极值
极大
极小
（6分） 当23x =-
时，2227
y =极大 （7分） 当1x =时，2
3
-=极小y （8分）
（Ⅱ）．由（Ⅰ）知,)(x f 在区间2()3-∞-，和(1)+∞，上递增,在区间2
(1)3
-，上递减,
∵27
22)32(=-f ， 2)2(=f （10分）
∴当[12]x ∈-，时，()f x 最大值是2，（12分） 若()f x m <恒成立，须2m > （13分）
∴m 范围是(2)+∞，。

（14分） 21．（本小题满分14分）
解：（1）
e a a n
n =+1
，∴{}n a 是等比数列，又.,1n n e a e a =∴= （3分）
（2）由（1）n
n n n e n e e a f -+=+-=)1(1ln )(，
)()]1(32[)()()(221n n e e e n a f a f a f +++-++++=+++∴
＝
21
3.21n n n e e e
++--- （7分） （3）)(,0)(,1,11
)(x f x f x x
x f ∴≤'∴≥-=
' 递减， （9分） )1()(f x f ≤∴，即,0)(≤x f 也就是1ln -≤x x ， （11分）
于是)1(10ln 2ln 1ln -+++≤+++n n ，（12分） 即 2
)
1()321ln(-≤⋅⋅⋅⋅n n n ，（13分） 故.3212
)
1(-≤⋅⋅⋅n n e
n （14分）。