高考理科数学(人教A版)一轮复习课件96双曲线

2
2
件,列出参数 a,b,c 的方程并求出 a,b,c 的值.与双曲线 2 − 2 =1 有相
同渐近线时,可设所求双曲线方程为
2
2
−
2
2
=λ(λ≠0).
2.定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点
位置确定c的值.
-23-
考点1
考点2
考点3
考点4
2
2
对点训练 2(2019 天津南开模拟,9)已知双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)
知识梳理
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的
轨迹是双曲线.
( × )
(2)双曲线方程
2





2
2
−
2
2
=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是
2
2
(3)关于 x,y 的方程
π
设|AF1|=r1,|AF2|=r2,则 4c2=12 + 22 -2r1r2cos 3 ,又|r1-r2|=2a,故
1
π
2
3
r1r2=4b2,又△1 2 = r1r2sin =2√3,所以 b2=2,则该双曲线的虚轴
长为 2√2.
方法二 设双曲线 C 的左焦点为 F1,连接 AF1,BF1,由对称性可知四
3
的离心率为2,过右焦点 F 作渐近线的垂线,垂足为 M,若△FOM 的面
积为√5,其中 O 为坐标原点,则双曲线的标准方程为( C )
2
2 4
2
(4)与双曲线
为 −
2

−
( √ )
± =0.
2 =0,即
2
2

−

2

−
2

=1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.
( ×)
=1(其中 mn>0)共渐近线的双曲线方程可设
( √ )
=λ(λ≠0).
2
2
1
1
1
2
2
2
(5)若双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)与 2 − 2 =1(a>0,b>0)的离心
过点M(-2,0)且与x轴不重合的直线l交圆C于A、B两点,点A在点M与
点B之间.过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P,则点P的轨迹
为( C )
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
2
2
(2)(2019广西桂林、崇左二模,7)过双曲线x - 3 =1的右支上一点
P分别向圆C1:(x+2)2+y2=4和圆C2:(x-2)2+y2=1作切线,切点分别为
M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为( A )
-17-
考点1
考点2
考点3
考点4
解析: (1)圆(x-2)2+y2=9的圆心为C(2,0),半径为R=3.如图,
∵CB=CA=R=3,
∴∠CBA=∠CAB.∵AC∥MP,
∴∠CAB=∠PMA,∴∠CBA=∠PMA.
∴PM=PB=PC+BC,∴PM-PC=BC=3(定值),
2x -y =14,∴双曲线的标准方程为
2
2
2
7
−
2
14
=1,故选 B.
(3)由(2 1 + 2 )·
1 =0,可知(2 1 + 2 )·
(2 − 2 1 )=0,即得
24
7
|F1F2|=|F2A|=2c,又 AF2 的斜率为 ,所以易得 cos ∠AF2F1=- ,在
率分别是 e1,e2,则 2 + 2 =1.
( √ )
-9-
知识梳理
考点自诊
x2
y2
2.(2019北京通州一模,4)“m>0”是“方程 m − m+2=1 表示双曲线”
的( A )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2
解析:由“方程

−
2
+2
=1(a>0,b>0)的右焦点,直线 y=kx 交 C 于 A,B 两点,若∠
2π
AF2B= 3 , △2 =2√3,则 C 的虚轴长为 2√2
2
(2)(2019 河南南阳联考,14)已知双曲线 E:
2
.
−
2
2
=1(a>0,b>0)的
左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支分
9.6 双曲线
知识梳理
考点自诊
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的 距离的差的绝对值 等于常数(小
于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 双曲线的焦点 ,
两焦点间的距离叫做 双曲线的焦距 .
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且
C1(-4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为 2a=2√2的双曲线的右支上,即
2
2
a=√2,c=4⇒b =16-2=14,故其标准方程为 − =1(x≥√2),应选答案 A.
2
14
2
(2)∵双曲线的渐近线方程为 y=±√2x,∴设所求双曲线的标准方程为
2x2-y2=k.又(2√2,-√2)在双曲线上,则 k=16-2=14,即双曲线的方程为
a>0,c>0.
(1)当 2a<|F1F2|
时,点P的轨迹是双曲线;
(2)当 2a=|F1F2|
时,点P的轨迹是两条射线;
(3)当 2a>|F1F2|
时,点P不存在.
-2-
知识梳理
考点自诊
2.标准方程
(1)中心在坐标原点,焦点在 x
2
2
轴上的双曲线的标准方程为2
−
2
轴上的双曲线的标准方程为2
D.14 −
7
=1
-20-
考点1
考点2
考点3
考点4
2
(3)(2019 甘肃省、青海省、宁夏回族自治区联考,6)已知双曲线 2 −
2
2
24
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 且斜率为 7 的直线
与双曲线在第一象限的交点为 A,若(2 1 + 2 )·1 =0,则此双曲
=1 表示双曲线”得 m(m+2)>0,即 m>0 或
m<-2,
又“m>0”是“m>0 或 m<-2”的充分不必要条件,即“m>0”是“方程
2

2
− +2=1 表示双曲线”的充分不必要条件,故选 A.
-10-
知识梳理
考点自诊
D
解析:由题意知,该双曲线焦点在 y 轴上,c=5,2a=6,即 a=3,∴
对称轴: 坐标轴 ,对称中心: 原点
A1 (-a,0) ,A2 (a,0) A1 (0,-a) ,A2 (0,a)

y=± x

y=± x
-4-
知识梳理
考点自诊
标准方程
离心率
x2
a2
y2
− b 2 =1(a>0,b>0)

y2
a2
x2
− b 2 =1(a>0,b>0)
e= ,e∈(1,+∞)
3
b= 2 -2 =4,则双曲线 C 的渐近线方程为 y=±4x,即 3x±4y=0,故选

-11-
知识梳理
考点自诊
2
4.(2019 北京卷,5)已知双曲线 2 -y2=1(a>0)的离心率是√5,则
a=( D )
A.√6
B.4
C.2
D.
1
2

解析:∵双曲线的离心率 e= =
1

√5,c=√2
线的标准方程可能为( D )
2
2
2
3
2
A. 4 −
C.16 −
9
=1
=1
2
2
2
4
2
B. 3 −
=1
D. 9 − 16 =1
-21-
考点1
考点2
考点3
考点4
解析:(1)设动圆的半径为 r,由题意可得|MC1|=r+√2,|MC2|=r-√2,所以
|MC1|-|MC2|=2√2=2a,故由双曲线的定义可知动点 M 在以
π
边形 AF1BF2 是平行四边形,所以△1 =2√3,∠F1AF2=3 ,则△F1AF2
的面积为
tan
2
∠ 1 2
2
.∴
tan
2
∠ 1 2
2
=2√3,
∴b2=2,则该双曲线的虚轴长为 2√2.
(2)由题意知|BM|=|BN|,|F2P|=|F2N|,|AM|=|AP|.根据双曲线的定义,
且3<MC.∴点P的轨迹是双曲线的一部分,故选C.
-18-
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)圆C1:(x+2)2+y2=4的圆心为(-2,0),半径为r1=2;圆C2:(x-2)2+y2=1
2
2
的圆心为(2,0),半径为r2=1,设双曲线x - =1的左、右焦点为F1(3
2,0),F2(2,0),
如图,连接 PF1,PF2,F1M,F2N,可得|PM|2-|PN|2=(|1 |2 − 12 )-(|2 |2 −
−
2 =1(a>0,b>0);

(2)中心在坐标原点,焦点在 y
2
2 =1(a>0,b>0).

-3-
知识梳理
考点自诊
3.双曲线的性质
标准方程
图
x2
a2
−
y2
b2
=1(a>0,b>0)
y2
a2
−
x2
b2
=1(a>0,b>0)
形
范围
性 对称性
质 顶点
渐近线
x≥a 或 x≤-a,y∈R y≤-a 或 y≥a,x∈R
别交于 A,B 两点.若△ABF2 的内切圆与边 AB,BF2,AF2 分别相切于点
2
M,N,P,且|AP|=4,则 a 的值为
.
-14-
考点1
考点2
考点3
考点4
解析: (1)方法一 设双曲线 C 的左焦点为 F1,连接 AF1,BF1,由对称
π
性可知四边形 AF1BF2 是平行四边形,所以△1 =2√3,∠F1AF2=3 ,
16
7
25
16
△AF1F2 中,由余弦定理得|AF1|= c,由双曲线的定义得 c-2c=2a,所以

5
5
5
2
2
e= = ,则 a∶b=3∶4,所以此双曲线的标准方程可能为 − =1.故选

3
9
16
D.
-22-
考点1
考点2
考点3
考点4
思考双曲线的标准方程的求解方法是什么?
解题心得 1.待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条
解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动
点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;二是在“焦点
三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,
运用平方的方法,建立与|PF1|·
|PF2|的联系.
-16-
考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练1(1)(2019河北保定模拟,6)已知(x-2)2+y2=9的圆心为C.
知|BF1|-|BF2|=|MF1|-|NF2|,|AF2|-|AF1|=2a,则|AF1|=|AF2|-2a,所以
|BF1|-|BF2|=|MA|+|AF1|-|NF2|=|MA|+|AP|+|PF2|-2a-|NF2|=8-2a=2a,
所以a=2.
-15-
考点1
考点2
考点3
考点4
思考如何灵活运用双曲线的定义或如何解焦点三角形?
22 )=(|PF1|2-4)-(|PF2|2-1)=|PF1|2-|PF2|2-3=(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)3=2a(|PF1|+|PF2|)-3=2(|PF1|+|PF2|)-3≥2·
2c-3=2×4-3=5.当且仅当
P 为双曲线的顶点时,取得等号,即最小值 5.故选 A.
a,b,c 的关系 c2= a2+b2
性
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|= 2a ;
质
线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|= 2b ;
实虚轴
a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴
长
-5-
知识梳理
考点自诊
-6-
知识梳理
考点自诊
-7-
知识梳理
考点自诊
-8-
C. 2 + 14 =1(x≥√2) D. 2 + 14 =1(x≤-√2)
(2)(2019 天津一模,9)在平面直角坐标系中,经过点 P(2√2,-√2),渐近
线方程为 y=±√2x 的双曲线的标准方程为( B )
2
2
2
2
2
A. 4 −
C. 3 −
6
=1
=1
2
2
2
2
B. 7 − 14 =1
√ 2 +1
+ 1,∴

= √5,解得
a=2,故选 D.
-12-
知识梳理
考点自诊
5.(2019山东安丘市、诸城市、五莲县、兰山区联考,14)若双曲
2
2
线 9 − 16 =1 上一点P到右焦点的距离为4,则点P到左焦点的距离
是 10
.
解析:设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,由题意得|PF2|=4.
当点P在双曲线的左支上时,则有|PF2|-|PF1|=6,不合题意.
当点P在双曲线的右支上时,则有|PF1|-|PF2|=6,所以
|PF1|=|PF2|+6=10,符合题意.
-13-
考点1
考点2
考点3
考点4
双曲线的定义
2
2
2
例 1(1)(2019 贵州 37 校联考,14)已知点 F2 为双曲线 C: 2 −
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考点1
考点2
考点3
考点4
双曲线的标准方程
例 2(1)(2019 贵州遵义模拟,6)已知动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外
切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为( A )
2
2
2
2
2
2
2
2
A. 2 − 14 =1(x≥√2) B. 2 − 14 =1(x≤-√2)