(精校版)量子力学第五章习题

完整word版,量子力学第五章习题
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第五章 微扰理论
5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解： 这种分布只对0r r <的区域有影响， 对0r r ≥的区域无影响。

根据题意知
()()0
ˆH U r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即
()2004ze U r r
πε=-
()U r 为考虑这种效应后的势能分布， 在0r r ≥的区域为
()2
04ze U r r
πε=-
在0r r <的区域, ()U r 可由下式
()r U r e Edr ∞
=-⎰
其中电场为
()
()
3023300000201
4,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε⎧=≤⎪⎪
=⎨
⎪>⎪
⎩
则有:
()()()()
2
2
3
2
000
22222
2200
033000000
1443848r r
r r r
r U r e Edr e Edr
Ze Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞
∞
=--=-
-
=---=--≤⎰⎰⎰
⎰
因此有微扰哈密顿量为
()()()()
222
200300
031ˆ220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ⎧⎛⎫--+
≤⎪ ⎪'=-=⎨⎝⎭⎪>⎩
其中s e =类氢原子基态的一级波函数为
()(
32
10010000032
02exp 2Zr a R Y Z a Zr a Z e
a ψ-==-⎛⎫=⎪⎭
按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为
()()()
0*0011111001003
2222222000000ˆ131sin 4422Zr
r a s s E H H d Ze Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτ
ϕθθπ
-''==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎰⎰⎰⎰
000
003
222224300000
031422Zr Zr Zr r r r a a a s Z Ze e r dr e r dr e rdr a r r ---⎛⎫⎛⎫
=---
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎰⎰⎰ 完成上面的积分，需要作作三个形如0
b
m y y e dy -⎰的积分，用分部积分法,得
00
00
22200
0222
2
00
0000022112222Zr Zr
r a a y Zr Zr a a a e
rdr ye dy
Z a Zr a a a e e
r Z a Z Z Z ----⎛⎫= ⎪
⎝⎭
⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪
=-+-=-++⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣
⎦⎩
⎭
⎰⎰
00
000
222233
2
2000
0000
23
2
2000000222222222222Zr Zr Zr
r a a a y
Zr a a a Zr Zr e
r dr y e dy e Z Z a a a a a a e
r r Z Z Z Z ----
⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎢⎥==-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎢⎥⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩
⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎰⎰
00
002254400
025
00000000040002222224242412422424222Zr Zr
r a a y Zr a a e
r dr y e dy
Z a Zr Zr Zr Zr e Z a a a a a a a Z Z Z ---
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥ ⎪=+--+++ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩
⎭
⎛⎫⎛⎫⎛=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰
000
2325
234
000000025
234
4320000
00000023412424222233324222Zr a Zr a a a a r r r r e Z Z Z a a a a a a r r r r e Z Z Z Z Z Z --⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
我们可以计算11E ,
00
00003
2321
22000010020025234432000000
000032340
203422222233312422222Zr a s Zr a Zr a a a a a Z E Ze e r r a r Z Z Z Z a a a a a a r r r r e r Z Z Z Z Z Z a e Z ---⎧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=--+++⎢⎥
⎨ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎪⎣⎦
⎩⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-- ⎝00
200022
2
2200022323
0000
0022333332222Zr a s s
a a r Z Z a a a Z Ze e Ze r Zr Z r r Z r a -⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪++⎢⎥⎬
⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎣⎦⎭⎛⎫⎛⎫=-++--- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭ 但是既然是近似计算,我们再适当地作一次近似.
氢原子的半径约为13~10r cm -, 而80
~10a a cm Z
-=
.所以有 52135
10821010~110
r a r e e a ------=≈≈
于是
022223222212522001003333000004314311222232525r
r s s s s s a s Ze Ze Ze r Ze Ze r r E e r dr r Ze r a r r r a r r a -⎡⎤⎛⎫⎡⎤=--+=-++=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
⎰ 这就是基态能量的一级修正。

而准确到一级近似的能量为
()()222222222
0000111
1
322
0024411252525s s s s Ze Ze r Ze r Z e Z r E E
E
a a a a a a ⎛⎫
⎛⎫=+=-+=--
=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
5.2 转动惯量为I ,电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场E 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级修正.
解： 自由空间转子的能级和波函数为
()()2
0012l
l
lm l l E Y I
ψ+=
=
对于基态 0000000E Y ψ==我们选外加电场E 的方向沿球极坐标的极轴方向（即z 轴的正向），则微扰哈密顿算符为 ˆcos H
D θ'
=-⋅=-
D E E 据此我们求出有用的矩阵元（对基态)
()**
000*10
10
'cos l lm lm l m H Y Y d Y d Y Y d D D D ΩθΩΩδθε====---⎰⎰E E
E
上面用到θπ
cos 43
10=
Y 及球谐函数的正交性 *
''lm l m
ll mm Y
Y d Ωδδ''=⎰
从上面的计算式可见，微扰矩阵元只有
10
H '=E
其余为零。

故 1
000E H '== 即基态能级的一级修正为零。

基态能量的二级修正为
())(
)2
222
1002
02
00002001'3
2l l
l H H I E D E E E E I
''⎭===
=-
---
∑E
5.3 设一体系未受微扰作用时只有两个能级: 01E 及02E ，现在受到微扰ˆH
'的作用,微扰矩阵元为11
221221,H H b H H a ''''====；a ，b 都是实数.用微扰公式求能量的二级修正值. 解： 哈密顿矩阵为：
010*******
E b
a E
b a H a E b E a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==+ ⎪
⎪ ⎪+⎝⎭
⎝⎭⎝⎭ 微扰哈密顿矩阵元为： 11
221221,H H b H H a ''''==== 代入能量的二级近似公式 ()
()()
2
000'nm
n n nn
m
n m
H E E H E E '=++-∑
则 ()
()
()
()
()
()
22001122000012
21
a a E E
b E E b E E E E =++=++
--
即
2
2
1012020102
0201
a a E E
b E E b E E E E =++
=++--
5。

4 设在0t =时，氢原子处于基态,以后由于受到单色光的照射而电离.设单色光的电场近似地以平面波表示为sin t ωE ,E 及ω均为常量；电离后电子的波函数近似地以平面波表示。

求这单色光的最小频率和在时刻t 跃迁电离态的几率.
解: （1)当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为
4
min min 12
4
min 3
2
2
s s e h E E e μωνμω∞=
=-=
=
(2） 0t =时， 氢原子处于基态
0032
11000012r
r
a a k R Y e a ψψ--⎛⎫===
=⎪⎭ 在t
时刻, 处于电离态
()
32
1
2p r
i
m e
ψψπ⋅∞==
微扰
()()()ˆ2ˆsin i t i t i t i t e H
t e e e i F
e e t ωωωωω--⋅'=⋅-=-=r r E E
其中
ˆ2r e F
i
⋅=E 在t 时刻跃迁到电离态的几率为
()()()()()
()()2
111mk mk mk mk mk k m m t
i t m mk t i t i t mk i t i t mk mk mk W a t a t H e dt i F e e dt i F e e ωωωωωωωωωωωωω→'''
+-+-=''=
'=-⎛⎫--=-- ⎪ ⎪
+-⎝⎭
⎰⎰ 对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项,故不考虑第一项,
()()()(
)()()(
)
()
()()()()()()()()
()
2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
2
1
11
mk mk mk mk mk mk mk mk mk i t mk m mk i t
i t
mk
k m m mk i t
i t
i t
i t
i t
i t
mk
mk F e a t e e
F W a t e
e
F e
e
e
e
ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω----→---
-----
-
-=
---==
---=
-
()()()()()
()()()()()
()()
2
2
2
22
2
2
22
22
2
2
2
22
2
2
422422sin 42mk mk
mk mk mk mk mk mk
i t i t
i t
i t
mk
mk i t i t
i t i t
mk
mk mk
mk
mk e e e
e F i i e
e e
e F i i t F ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω-----------
-⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪
⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
=-
-⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪
⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭=
-⎛⎫- ⎪
⎝⎭
=
-
其中
()
)
*32
332
1
ˆ222p r
p r
r r r
i a mk m
k r
i a e F F d e
d i
e e
e d i a
ψψττπτ
ππ⋅-
-⋅--⋅⎛== ⎝⋅⎛⎫=
⎪⎝⎭
⎰⎰
⎰E E
取电子电离后的动量方向为Z 方向,取E ，p
()()()(sin cos sin cos sin sin cos cos cos r x y z x y z
r r r r θϕαααθϕαθ
⋅=++=+=+E E E E E E E E )
())
()
())
00332
3
32
cos 223
000
32
cos 332
2sin sin cos cos cos 2sin sin sin cos cos cos 2sin s 2r
i a mk i r
pr i a pr i F e e d a e r r a e e r dr d d r r a e r a θ
ππθτππαθϕαππθθϕαθϕαθππαππ⋅--⋅--∞--=
⋅=
+=
+=
⎰⎰p r
p r
r E E E E E E ())
())
())
0000
22
00
0cos 22
300
032
cos 330032
cos 3
3
32
0sin cos in sin cos cos 2cos cos sin cos si r
a r
pr i a r
pr i a r
pr i
a e r dr d d e e r dr d d r a e e drd r a r e
dr e
a ππθππθπθ
θθϕϕθθθϕαθππ
θαθθππθππ-∞-∞--∞--
-=
=
⎰⎰⎰⎰⎰E E E ()
cos 3
3
3
30
2
3
30
n cos cos sin cos 2r pr i
a r pr pr pr pr a i i i i d r e
dr e
d a
i r e
dr e e e e pr pr a
πθ
π
θθ
α
θθθ
α
π
∞
-
∞
--
∞
--=⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+⎢⎥ ⎪+-⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎰⎰
⎰⎰
()()()
()
()
()
3
2
2033332222000
00
2202
722
200
3
3
22
22220
cos 161cos 162221cos 8a p e p ia ia a i a a p p a a a a
p a
p ααππαα
π
==
⎛⎫++ ⎪
⎝⎭
==-
+
+
E 所以
()()()
()()222
2275220
2622
222
20sin sin 4128cos 22mk
mk mk
k m mk mk t t F p e a W a p ωωωωαωωωωπ→⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=
=--+E 5.5 基态氢原子处于平行板电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降，即
()0when 0when 0
0t t t e τ
τ-≤≥⎧⎪=⎨≥⎪⎩E E
求经过长时间后氢原子处在p 2态的几率。

解： 设电场E 沿z 方向，则微扰哈密顿为
00
ˆcos t t
H e e ze e r e ττθ--'=⋅==r E E E 按照微扰论,由状态k 跃迁到状态n 的几率决定于()2
n a t
而 ()0
1
n k t
i t n nk
a t H e dt i ω''=⎰ 因此，要求得()n a t ，必须先算出nk
H '。

现在初态为氢原子基态（即1S 态）
而 0
100
10
00r
a R Y
ψ-== 而终态是简并的，有三个态. 即 32
210
211000
12r R Y e a a ψ
θ⎛⎫==
⎪
⎭
32
211
211100
12i r R Y e e a a ϕψθ⎫==⎪
⎭ 3
2
2112111
00
12i r R Y e e a a ϕψθ---⎛⎫==⎪
⎭ 因而有
()0*
210
100210,1003
3211010002110
3
332
2
24
005
800cos cos 1122243r
a z r d R R r dr Y Y d R R r dr
e r dr a a a ψθψτθΩ∞
∞
-===
⎫⎫=⎪⎪⎭⎭
⎫==⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰!
()211,100z 及()211,100z -均为零,这是因为对ϕ的积分为零.
由此可见，这样的电场作用下,跃迁只发生在从基态（1S ）到210ψ态()2,1,0n l m ===，跃迁
几率为2
210a
而: ()2121
212121188
000210055
00
18
8
8
000021
2155210
022123232212323t t t i t i t i t
i t
t
i t i t e a a a t e e e dt e dt i i e e e a a e i e
dt e dt i i i i ωωττωτωωτωωωτ⎛⎫''-+- ⎪'⎝⎭⎛
⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭
'+ ⎪''
⎝⎭
''==-⎛⎫'''
==
==+ ⎪-⎝⎭
⎰⎰⎰⎰E E E E E
当t τ>>, 211lim 0i t t e
ωτ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
→∞
=
所以，长时间后 80
2102121e a a i i τ
ωτ
=-E
所以 ()
1522
222210
001022
2
21231a e a τωτ=+E
5.6 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。

解：
从n 到k 的每秒自发跃迁几率,由公式
()3
222
2
22
33
34
433s s n k n k
nk nk nk
nk nk
e
e E E A x
y z c c ω→-⎛⎫==
++ ⎪⎝⎭
r
关键在于求矩阵元,,nk nk nk x y z .我们的初态是第一激发态
,有一个单态势2S 态()200ψ和三重态2P 态
()210211211,,
ψψψ-。

由选择定则1l ∆=±, 知21S S →是禁戒的， 故只需要计算21P S →的几率.
（1) 计算矩阵元nk z
()321101000210,1000
cos z R R r dr Y Y d θΩ∞
==
⎰⎰ 注:10Y θ,00Y =
其中
03
332
2
23
4
2110000
5
000000112224!3r
a J R R r dr e r dr
a a a ∞
-⎛⎫⎫==
⎪⎪⎝⎭
⎭⎫=
===⎪⎭
⎰⎰
而 ()**
11001110211,100cos 0z J Y Y d Y Y d θΩΩ==⎰ ()*
11
10211,1000z Y Y d Ω-= 所以 10
2
2221
0123233z J a ⎛⎫== ⎪⎝⎭
（2) 计算矩阵元nk x
考虑到 ()sin cos sin 2
i i r
x r e e ϕϕθϕθ-==+ 及 111100i i Y e Y e Y ϕϕθθ--=
==和球谐函数的正交性.
()(
)(
)()*1000210,100*10111100*1011111sin 212102i i x J Y e e Y d Y Y Y Y d Y Y Y d ϕϕθΩΩΩ---=
+=+=
+=⎰
()(
)(
)*1100211,100
*1111111sin 2
12i i x J Y e e Y d Y Y Y d ϕϕθΩΩ--=+=+=⎰
()(
)(
)*1100211,100*1111111sin 2
12i i x J Y e e Y d Y Y Y d ϕϕ
θΩΩ-----=
+=+⎰
所以 222
221211,100211,1001
3
x x x J -=+=
（3） 计算矩阵元nk y
考虑到 ()sin sin sin 2i i r y r e e i
ϕ
ϕθθϕ-==
- 与上面相仿,计算得 ()(
)(
)210,100211,100211,1000y y y -===所以 22211
3y J =
所以 1522222
22,12121210923
x y z J a =++==r
(4) 求2121n k p s A A A →→→==将
4
42
21
21222
1322
28s s s e e e E E a μμω⎛⎫-=
=-+= ⎪⎝⎭， 其中2
02
s a e μ=
及2
2,1r 代入一开始写出的那个公式,得
3
10
223
221015158322221212100039339763041284223223333833s s s s s p s
e e e e e A a a a c c c a c ωμω→⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 5.7 计算由氢原子处在2p 态跃迁到s 1态时所发出的光谱线强度.
解: 从2p 跃迁到1s 时的发出的光谱线强度,由公式
2122121p s p p s J N A ω→→=
2p N 是为处于2p 态的氢原子数.由上题知
1082176323s
p s
e A c
μ→=， 221038s e a ω=, 2
02s a e μ= 则有：
10
10
32242
221210212212120212331021021022148555
222276366366322683
0012812822332322238333s s p s
p p s p p s s
s s s s s p p p p s e e a J N A N a N c c e e e e e e e N N N N c a c a c e c
ωωωωμμμμμ→→⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
==== 5。

8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。

解： 电偶极矩为x ex =D e 的线性谐振子,在电场0cos x t ω=e E E 作用下，即在微扰势
ˆcos H ex t ω'=-⋅=-D E E 作用下，从k ψ到n ψ的每秒跃迁几率为 ()222
02
k n nk n k e W x E E πδω→=--E
跃迁选择定则,即0≠nk x 的条件, 而
()()()()()()22
2
112
22
1
nk n k n k
n
k n k
n k x x x x dx N N H e
H e dx N N e H H d ξξξ
ξ
ψψξξα
ξξξξ
α∞
∞---∞-∞
∞
--∞
===⎰⎰⎰ 式中 x
μω
ξαα==
根据厄密多项式的递推公式 1122k k k H H kH ξ+-=+ 和厄密多项式的正交性 ()()2
n k nk e H H d ξξξξδ∞
--∞=⎰
则
()()()()()()()2
2
2
1121122
,1,1
1
122nk n k n k k n k
n k
n k n k n k n k x N N e H H kH d N N kN N e
H H d e H H d A B ξξξ
ξξξξαξξξξξξα
αδδ∞
-+--∞∞
∞
--+--∞
-∞
+-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
=+
=+⎰⎰⎰
式中,A B 两个与x 无关的常数。

可见只有当1n k =+和1n k =-时,亦即1n n k ∆=-=±时, nk x 才不为零，即线性谐振子的偶极跃迁只发生在相邻能级之间。

利用狄拉克符号解此题更容易.已知:
12
†ˆˆˆ()2x a a μω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
12
†11
2
2
††1
2
,1,1ˆˆ()2ˆˆˆˆ()221121n k n k n k x n x k n x k n a
a k n a a k n a k n a k k k k μωμωμωμωα-+⎛⎫
===+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫
⎡⎤=+=+ ⎪ ⎪⎣⎦
⎝⎭
⎝⎭⎛⎫
⎡⎤=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭⎤=
⎥⎦
只有当1n k =+和1n k =-时，亦即1n n k ∆=-=±时, nk x 才不为零，即线性谐振子的偶极跃迁只发生在相邻能级之间。

11。