2023届陕西省渭南市高三教学质量检测(Ⅰ)文科数学试题(含答案)

渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）
数学试题（文科）
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前务必将自己的姓名､学校､班级､准考证号填写在答题卡和答题纸上.
3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}1,1,2,4A =-，{}
2
20B x x x =-≤，则A B ⋂=（ ）
A.{}1,2-
B.{}1,2
C.{}1,4
D.{}1,4-
2.设复数z 满足()12i 34i z ⋅+=-+，则z 的虚部是（ ） A.2i B.2 C.2i - D.2-
3.已知命题3:,sin 2
p x R x ∃∈=
；命题2
:,450q x R x x ∀∈-+>，则下列结论正确的是（ ） A.命题p q ∧是真命题 B.命题p q ∧⌝是真命题
C.命题p q ⌝∧是真命题
D.命题p q ⌝∧⌝是假命题 4.已知1x >，则4
1
y x x =+
-取得最小值时x 的值为（ ） A.3 B.2 C.4 D.5
5.若实数,x y 满足约束条件2240x y x y y +>⎧⎪
+⎨⎪⎩
则2z x y =-的最大值是（ ）
A.2-
B.4
C.8
D.12
6.已知函数()3sin2cos2,f x x x x R =-∈，则正确的是（ ） A.()22f x -
B.()f x 在区间()0,π上有1个零点
C.()f x 的最小正周期为2π
D.2
3
x π=
为()f x 图象的一条对称轴 7.《卖油翁》中写道：“（油）自钱孔入，而钱不湿”，其技艺让人叹为观止，已知铜钱是直径为15mm 的圆，中间有边长为5mm 的正方形孔，若随机向铜钱滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中而钱不湿的概率为（ ）
A.
916 B.14 C.419π- D.49π
8.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图1，这是一个青花瓷圆盘.该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径3R =，小圆半径2r =，点P 在大圆上，过点P 作小圆的切线，切点分别是,E F ，则PE PF ⋅=（ ）
A.
49 B.5
9
C.4
D.5 9.已知函数()f x 满足：①定义域为R ，①()1f x +为偶函数，①()2f x +为奇函数，①对任意的
[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->，则7211,
,333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
的大小关系是（ ） A.7211333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B.7112333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C.1172333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<-<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D.1127333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（ ）
A.
69 B.66 C.579 D.306
11.已知以圆22:(1)4C x y -+=的圆心为焦点的抛物线1C 与圆在第一象限交于A 点，B 点是抛物线
22:8C x y =上任意一点，BM 与直线2y =-垂直，垂足为M ，则BM AB -的最大值为（ ）
A.1
B.2
C.1-
D.8
12.已知直线(,0)y ax b a R b =+∈>是曲线()x
f x e =与曲线()ln 2
g x x =+的公切线，则a b +等于
（ ）
A.2e +
B.3
C.1e +
D.2
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：
A 区
B 区
C 区
D 区
E 区
外来务工人员数 5000
4000
3500
3000
2500
留在当地的人数占比
80% 90% 80% 80% 84%
根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y 与外来务工人员数x 的经验回归方程为0.8135ˆˆy
x a =+.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F 区有10000名外来务工人员，根据经验回归方程估计F 区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为__________万元.（参考数据：取
0.81353629.29⨯=）
14.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的焦距为4，焦点到C 的一条渐近线的距离为1，则C 的渐近线
方程为__________.
15.宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A 处测得15CAD ∠=，从A 处沿山坡直线往上前进85m 到达
B 处，在山坡B 处测得30,45CBD BCD ∠∠==，则宝塔CD 的高约为__________m .2 1.41≈，
6 2.45≈，结果取整数）
16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD 的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为_______；用过A ，B ，C 三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为_____________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是公差为2的等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 前n 项和n T . 18.（12分）从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）： 记样本均值为x ，样本标准差为s . （1）求,x s ；
（2）将质量在区间(),x s x s -+内的零件定为一等品. （i ）估计这台机器生产的零件的一等品率；
（ii ）从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P . 19.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 为11A C 的中点，2AB BC ==，1C F AB ⊥
（1）求证：AB BC ⊥；
（2）若1C F ∥平面ABE ，且12C F =，求点A 到平面BCE 的距离.
20.（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.
（1）以点F ､E 所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；
（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点
(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.
21.（12分）已知函数()()ln a
f x x x a R x
=-
-∈有两个极值点()1212,x x x x <. （1）求实数a 的取值范围，并求()f x 的单调区间； （2）证明：()2ln2f x >.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标xOy 中，曲线C 的参数方程为2
23131t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
（t 为参数，t ∈R ），以原点O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos 32
πρθ⎛
⎫
+=- ⎪⎝
⎭. （1）求曲线C 的普通方程；
（2）若曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AOB △的面积. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知关于x 的不等式123x x t +-+-≥有解. （1）求实数t 的最大值M ；
（2）在（1）的条件下，已知a ，b ，c 为正数，且23abc M =，求()2
2a b c ++的最小值.
渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）
数学试题（文科）参考答案
一､选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
C
C
A
C
A
D
B
C
A
A
D
二､填空题（每小题5分，共20分）
13.818.6 14.3y x = 15.44 16.613
π-（本题第一空2分，第二空3分） 三､解答题
17.解：（1）①13a =①
1
31S =①()31221n S n n n
=+-⨯=+ ①2
2n S n n =+
当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=- 又13a =适合上式，因此41n a n =- （2）()()1111414344143n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪-⋅+-+⎝⎭
1111111437711
4143129
n n
T n n n ⎛⎫=-+-+
+
-= ⎪
-++⎝⎭ 18.（1）()11
10.59.99.410.710.09.610.810.19.79.3100101010
x =
+++++++++=⨯= 2222222
1(10.510)(9.910)(9.410)(10.710)(10.010)(9.610)10
s ⎡=
-+-+-+-+-+-⎣ 22221
(10.810)(10.110)(9.710)(9.310) 2.50.2510⎤+-+-+-+-=⨯=⎦，所以0.5s =. （2）①()(),9.5,10.5x s x s -+=，质量在区间()9.5,10.5内的零件定为一等品，样本中一等品有：
9.9,10.0,9.6,10.1,9.7共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为
51
102
= ②从5件一等品中，抽取2件，有：()()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7,10.0,9.6，
()()()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,10.1,9.6,9.7,10.1,9.710种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值
不超过0.3克的情况为：()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7，()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,9.7共7种，这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率710
P =. 19.（1）证明：
1CC ⊥平面,ABC AB ⊂平面1,ABC CC AB ∴⊥，
又1111,AB C F CC C F C ⊥⋂=，且11,CC C F ⊂平面11BCC B ，
AB ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11,BCC B AB BC ∴⊥.
（2）过F 做FM AC ∥交AB 于M ，连接EM ，
11,EC AC FM EC ∴∥∥
1C F ∥平面1,ABE C F ⊂平面1EMFC ，平面1EMFC ⋂平面,ABE EM = 1,C F EM ∴∥
∴四边形1EMFC 是平行四边形，11
,2
FM EC AC FM ∴==
∴是ABC 的中位线. 22111
1,3,2
CF BC CC C F CF ∴=
==-= 2
32,2 3.EBC
EB EC BC S ∴===∴=
= 设A 到平面EBC 的距离为d ，则13333
A BEC d
V d -=
=
， 1123
223323
A BEC E ABC V V --==⨯⨯⨯=又
2d ∴=，即A 到平面EBC 的距离为2.
20.解：（1）如图，以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系
设(),M x y 为椭圆上一点，由题意可知，64MF ME AE EF +==>= 所以M 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长24a =的椭圆 因为24c =，26a =，所以2c =，3a =，
则2
2
2
5b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22
195
x y +=
（2）解：由已知：直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为1x my =+，
联立两个方程得22
194
1x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去x 得()22
5910400m y my ++-=， ()22100160590m m ∆=++>得m ∈R ，
设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221059m y y m -+=
+，12
240
59
y y m -=+（*）， ()()1212
121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=
⋅=--+-+- 1212
121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t
⋅=
⋅=⋅--+-+- ()()()
12
2
2121211y y m y y m t y y t =
+-++-，
将（*）代入上式，可得上式()()
2
2240
5991t m t -=
-+-，
要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=， 又①0t >，①3t =，此时109
TM TN k k ⋅=-
， ①存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值10
9
-
，此时3t =
21.（1）解：()f x 的定义域为()()22
0,,,0x x a
f x x x
∞-+='+>， 令()2
g x x x a =-+，其对称轴为12
x =
， 由题意知12,x x 是方程()0g x =的两个不相等的实根，则()
Δ140
00a g a =->⎧⎨
=>⎩，
所以104a <<
，即实数a 的取值范围是10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
. 当()10,x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上为增函数； 当()12,x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()12,x x 上为减函数； 当()2,x x ∞∈+时，()0f x '>，所以()f x 在()2,x ∞+上为增函数.. （2）证明：由（1）知2
2221,1,2x a x x ⎛⎫∈=-+
⎪⎝⎭
， ()222
222222
ln 21ln x x f x x x x x x -+=--=--，
令()121ln 12h x x x x ⎛⎫
=--<<
⎪⎝⎭
，则()12120x h x x x -=-=>'，
所以()h x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，故()11ln ln222h x h ⎛⎫>=-= ⎪⎝⎭，
从而()2ln2f x >.
22.（1）由223123
t
x t y ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩
得x t y =，代入223
1y t =+ 整理得2
2
230x y +-=，即(
2
2
33x y +-=，
故曲线C 的普通方程为(
()2
2
330x y y +-
=≠.
（2）直线l 的普通方程为330x -+=，此时直线过圆心(3，
AB 即为直径3O 到直线的距离32d =
，1333
3222
OAB S =⨯=
△
23.（1）因为()()12123x x x x +--+--=≤，当且仅当2x ≥等号成立 所以12x x +--的最大值为3.
因为不等式()3f x t -≥有解，所以33t -≤，解得06t ≤≤， 所以实数t 的最大值6M =. （2）由（1）知，123abc =
因为()2
224a b c ab c +++≥（当且仅当a b =时，等号成立），
()()
2
2
3
2
2
2
3
3
4223223434123
36ab c ab ab c ab ab c abc +=++⋅⋅==⨯=≥，
当且仅当22ab c =，即6a b ==，23c =时，等号成立，
所以()2
2a b c ++的最小值为36.。