吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第一次摸底考试数学试题(3)

一、单选题
二、多选题1. 已知函数
，给出下列结论：①的最小正周期为： ②是奇函数：
③的值域为； ④
在上单调递增．其中所有正确结论的序号是（ ）
A ．①②
B ．③④
C ．①③④
D ．②③④2.
不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为
A
．
B
．C
．
D
．3.
已知等差数列的前n
项和为，若
，则（ ）
A ．25
B ．40
C ．44
D ．55
4. 已知为虚数单位,复数满足,则的共轭复数为（ ）A
．B
．C
．
D
．5. 经研究发现，某昆虫释放信息素后，在距释放处
的地方测得信息素浓度y 满足，其中A ，K 为非零常数.已知释放1s 后，在距释放处2m 的地方测得信息素浓度为a ，则释放信息素4s
后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（ ）A
．B
．C ．2m D ．4m
6. 把4个相同的红球，4个相同的白球，全部放入4个不同的盒子中，每个盒子放2个球，则不同的放法种数有（ ）
A ．12
B ．18
C ．19
D ．24
7.
若，则复数在复平面内对应的点位于A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8. 若函数的图象在处的切线方程为，则（ ）A ．
，B ．
，C ．
，D ．
，
9.
已知函数
的导函数，且，，则（ ）
A ．是函数
的一个极大值点B
．
C ．函数
在处切线的斜率小于零
D
．10. 已知
，满足，则（ ）
A
．
B
．C
．D
．
11.
若，
，当
时，，则下列说法错误的是（ ）A ．函数
为奇函数B
．函数在上单调递增C
．
D ．函数
在上单调递减
吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第一次摸底考试数学试题(3)
吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第一次摸底考试数学试题(3)
三、填空题
四、解答题
12. 已知甲烷的化学式为，其结构式可看成一个正四面体，其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点处，而碳原子恰好在这个正四面体的中心，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连，若我们把每个原子看成一个质点，两个氢原子之间的距离为1，则（ ）A
．碳原子与氢原子之间的距离为
B
．正四面体外接球的体积为
C
．正四面体的体积为
D
．任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为
13.
抛物线
的焦点为，直线与C 交于A ，B 两点，则的值为______.
14. 已知函数
和
都是定义在
上的偶函数，当时，，则___________.
15. 设函数，若函数
在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________；若函数
恰有5个的零点，则的取值范围为__________.
16. 已知中，角
的对边分别为.（1）求
：（2）求
；
（3）求的长.17. 汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心：如图1
，某汽车四轮中心分别为，向左转向，左前轮转向角为，右前轮转向角为，转向中心为.
设该汽车左右轮距为
米，前后轴距为米
.
(1)
试用和表示；
(2)如图2
，有一直角弯道，为内直角顶点，为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮与路边相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角
的值始终为；②设转向中心
到路边的距离为
，若
且，则汽车可以通过，否则不能通过；③.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？
18. 已知抛物线
的顶点为坐标原点，焦点在
轴上，点关于
轴的对称点在抛物线上．(1)求抛物线的方程；(2)、是抛物线
上异于点的两个动点，记直线
和直线的斜率分别为、，若
，求证：直线过定点．19.
已知数列
的前n
项和为
，且.(1)求
的通项公式；(2)
记
，求数列的前项和
.20. 已知函数
．
(1)
求的零点个数；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
21. 已知函数，.
（1）求的单调区间，并求当时，的最大值；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.。