最新2019高考数学《导数及其应用》专题考试题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．若曲线2
y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( )
（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-（2010全国2文7）
2．已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 （2009全国卷Ⅰ理）
3．函数x
e x x
f )3()(-=的单调递增区间是 （ ）
A. )2,(-∞
B.(0,3)
C.(1,4)
D. ),2(+∞ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2009广东文)
二、填空题
4．直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ▲ ．
5．函数2
(0)y x x =>的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a + ,k 为正整
数，116a =，则135a a a ++= .
6．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和229y ax x =+-都相切，则a = ．
7．若曲线2
ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____________.（2013年高
考广东卷（文））
8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y = - x 3 + 1上的一个动点，以点P 为切点作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值为 ．
9．设函数()2
ln f x x x =+，若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线
方程为y ax b =+，则a b += ▲ ．
10．若函数b bx x x f 36)(3
+-=在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是 ▲ ．
11．已知函数)(ln )(R a ax x x f ∈-=
（1）若1=a ，求函数)(x f 的单调区间（2）当0>a 时，求函数)(x f 在]2,1[上的最大值
12．函数()sin 2x
f x x =+的导函数()f x '= 三、解答题 13．已知函数x
x
x f ln )(=
(0,1x x >≠)． （1）求函数)(x f 的极值;
（2）若不等式a
x
e x >对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．
14．已知函数1
()ln(1),(1)n
f x a x x =
+--其中n ∈N*,a 为常数.
(Ⅰ）当n =2时，求函数f (x )的极值；
(Ⅱ）当a =1时，证明：对任意的正整数n ,当x ≥2时，有f (x )≤x -1. （山东卷21） (Ⅰ）
15．已知函数3
21()23
f x x x =
+-. (Ⅰ）设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1=3.若点2
11(,2)n n n a a a ++-(n ∈
N*)在函数y =f ′(x )的图象上，求证：点（n ,S n ）也在y =f ′(x )的图象上； (Ⅱ）求函数f (x )在区间（a -1,a ）内的极值. （福建卷19）
本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分. (Ⅰ)证明：因为3
21()2,3
f x x x =
+-所以f ′(x )=x 2+2x , 由点211(,2)(N )n n n a a a n +
++-∈在函数y =f ′(x )的图象上, 又0(N ),n a n +
>∈所以11()(2)0,n n n n a a a a -+---=
所以2(1)
32=22
n n n S n n n -=+
⨯+,又因为f ′(n )=n 2+2n ,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数y=f ′(x )的图象上. (Ⅱ)
16．两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧
上选择一点C
建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为
0.065.
（1）将y 表示成x 的函数；
（11）讨论（1
）中函数的单调性，并判断弧
上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。

解法一:（1）如图,由题意知AC ⊥BC,2
2
400BC x =-,22
4(020)400k y x x x =+<<-
其中当x =时，y=0.065,所以k=9 所以y 表示成x 的函数为2249(020)400y x x x
=
+<<- （2）22
49
400y x x =+-,42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x x y x x x x ⨯---=--=--
422188(400)x x =-,所以2160x =,
即x =
当0x <<, 422188(400)x x <-,
即'0y <所以函数为单调减函数,
当20x <<时, 422
188(400)x x >-,即'0y >所以函
数为单调增函数.所以
当x =时, 即当C 点到城A 的距离
为时, 函数
22
49(020)400y x x x =
+<<-有最小值. 解法二: （1）同上.
（2）设2
2
,400m x n x ==-, 则400m n +=,49
y m n
=
+,所以 494914911
()[13()](1312)40040040016
m n n m y m n m n m n +=+=+=++≥+=
当且仅当49n m m n =
即240
160n m =⎧⎨=⎩
时取”=”. 下面证明函数49
400y m m
=
+
-在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. 设0<m 1<m 2<160,则121122
4949()400400y y m m m m -=
+-+-- 12124499
(
)()400400m m m m =-+---211212124()9()(400)(400)
m m m m m m m m --=+-- 21121249
()[
](400)(400)m m m m m m =----12122112124(400)(400)9()(400)(400)
m m m m m m m m m m ---=---, 因为0<m 1<m 2<160,所以412(400)(400)m m -->4×240×240 9 m 1m 2<9×160×160所以
1212
12124(400)(400)90(400)(400)
m m m m m m m m --->--,
所以1212
2112124(400)(400)9()
0(400)(400)m m m m m m m m m m ---->--即12y y >函数49400y m m
=+-在
(0,160)上为减函数. 同理,函数49
400y m m
=
+
-在(160,400)上为增函数,设160<m 1<m 2<400,则1211224949
()400400y y m m m m -=
+-+--12122112124(400)(400)9()(400)(400)
m m m m m m m m m m ---=---
因为1600<m 1<m 2<400,所以412(400)(400)m m --<4×240×240, 9 m 1m 2>9×160×160 所以
1212
12124(400)(400)90(400)(400)
m m m m m m m m ---<--,
所以1212
2112124(400)(400)9()
0(400)(400)m m m m m m m m m m ----<--即12y y <函数49400y m m
=+-在
(160,400)上为增函数.
所以当m=160
即x =”=”,函数y 有最小值, 所以弧
上存在一点，当x =A 和城B 的总影响度
最小.
【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.
17．如图，ABCD 是正方形空地，边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD ，AB 距离分别为9m ，3m ．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕
MNEF ，
:16:9MN NE =．线段MN 必须过点P ，端点M ，
N 分别在边AD ，AB 上，设AN =x （m ），液晶广告屏幕MNEF 的面积为S (m 2)． (1) 用x 的代数式表示AM ；
（2）求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义 域；
（3）当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？
18．已知函数2
()1ln f x x a x x
=-
+-，a ＞0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设a=3，求()f x 在区间{1，2
e }上值域。

期中e=2.71828…是自然对数的底数。

19．设函数3
21()(1)4243
f x x a x ax a =
--++，其中常数a>1 (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
N
B
A
（第18题
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。

解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

解析 （I ）)2)(2(4)1(2)(2
a x x a x a x x f --=++-=' 由1>a 知，当2<x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间)2,(-∞是增函数； 当a x 22<<时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间)2,2(a 是减函数； 当a x 2>时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),2(+∞a 是增函数。

综上，当1>a 时，)(x f 在区间)2,(-∞和),2(+∞a 是增函数，在区间)2,2(a 是减函数。

（II ）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。

a a a a a a a f 2424)2)(1()2(31
)2(23+⋅++-=
a a a 24434
23++-=
a f 24)0(=
由假设知
⎪⎩⎪⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>>-+->.
024,0)6)(3(34,
1a a a a a 解得 1<a<6 故a 的取值范围是（1，6）
20．已知函数3
2
()1f x x ax x =+++，a ∈R ． (Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ）设函数()f x 在区间2
133⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
内是减函数，求a 的取值范围．（全国一19）
21．设函数f(x)=x 3
+ax 2
+bx +c 在x ＝1处取得极值－2，试用c 表示a 和b ，并求f(x)的单调区间。

22．（本小题满分16分）
已知函数32()f x x x b =-++，()ln g x a x =． （1）若()f x 的极大值为
4
27
，求实数b 的值； （2）若对任意[]1,x e ∈，都有2()(2)g x x a x -++≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）当0b =时，设()()
,1
(),1f x x F x g x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩≥，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存
在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．
23．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线3x ＋y ＋2＝0．
（１）求a ，b 的值； （２）求函数的极大值与极小值的差．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1．3a ≤； 2．{|11}x x x ><-或； 3．
4
； 4．5-；
因此，当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝c；当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝c－4．所以，所求的极大值与极小值之差为c－(c－4)＝4．
a>.
24．已知函数()ln
=-，a为常数且0
f x ax x
(1)如果()
f x在(1,)
+∞上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)求()f x 在[1,)+∞上的最小值．
25．设函数f (x )＝x －2m sin x ＋(2m －1)sin x cos x (m 为实数)在(0，π)上为增函数，试求m 的取值范围．
26．中天钢铁公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄钢板，要求其周长为4米．这种薄钢板须沿其对角线折叠后使用，如图所示，()ABCD AB AD >为钢板，沿AC 折叠，AB 折过去后，交DC 于P ，已知图中ADP ∆的面积最大时最节能，多边形/ACB PD 的面积最大时制冷效果最好．设AB x =米， （1）用x 表示图中DP 的长度；
（2）要获得最好的节能效果，应怎样设计钢板的长和宽； （3）要获得最好的制冷效果，应怎样设计钢板的长和宽．
27．轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE 与抛物线ABC 在同一平面内)，D 为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x 轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，米．
(Ⅰ)求助跑道所在的抛物线方程；
(Ⅱ)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离
在4米到6米之间(包括4米和6米)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？
(注：飞行距离指点C 与点E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．)
28．（1）求f （x ）=x 3﹣x 2+1在点（1，1）处的切线方程 （2）求f （x ）=x 3﹣x 2+1过点（1，1）的切线方程．（15分）
29．已知函数()()3
2
3,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()
1,
1f 处的切线方程为20y +=．
⑴求函数()f x 的解析式；
⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值；
⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．（本题满分15分）
30．设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的单调区间与极值。

【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.
【解题指导】（1）对函数()sin cos 1f x x x x =-++求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值
.
,,,()1().
4
3()0()422
()x x x x x x x x π
πππ
π=++=+===解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2,知f 令f ，从面sin ，或，
当变化时，f ，f(x)变化情况如下表：
322
3332
222
ππππππ
πππ+因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，）与（
，），单调递增区间是（，），极小值为f()=，极大值为f()=
【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.。