2024学年贵州省铜仁市德江一中数学高三上期末经典试题含解析

2024学年贵州省铜仁市德江一中数学高三上期末经典试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( )
A ．3-
B ．3
C ．1
3- D ．13
2．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得
()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭
D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 3．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨
+<⎩ ,则(5)f =( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
4．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ）
A ．若m α且n α，则m n
B ．若m β⊥且m n ⊥，则n β
C ．若m α⊥且m β，则αβ⊥
D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n
5．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ）
A ．
B ．(3,2)
C ．(5,0)
D ．(4,1) 6． “2b =”是“函数()()
2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
7．若复数z 满足()134i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( )
A ．0
B ．2π
C ．π
D ．32
π 9．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩
，则3z x y =-+的最大值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．32-
D ．2-
10．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,
)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）
A ．,()36k k k z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．2,()33k k k z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
C ．2,()33k k k z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,()3k k k Z πππ⎡
⎤+⎢⎥⎣∈⎦
11．已知随机变量X 的分布列如下表：
其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤
对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13
b ≤ B ．23b ≤ C ．13b ≥ D ．23b ≥ 12．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作
准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF
=（ ） A ．54 B ．43 C ．32 D ．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若tan 2α=，则cos 24sin 24παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝
⎭____.
14．已知函数21,0()(2),0
x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______________.
15．函数ln 1()x f x x
-=的极大值为______. 16．设函数2019,0()2020,0
x e x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，则满足()24(3)f x f x ->-的x 的取值范围为________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系xOy 中，长为3的线段的两端点A B 、分别在x 轴、y 轴上滑动，点P 为线段AB 上的点，且满足||2||AP PB =.记点P 的轨迹为曲线E .
（1）求曲线E 的方程；
（2）若点M N 、为曲线E 上的两个动点，记OM ON m ⋅=，判断是否存在常数m 使得点O 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出常数m 的值和这个定值；若不存在，请说明理由.
18．（12分）如图，四棱锥E ﹣ABCD 的侧棱DE 与四棱锥F ﹣ABCD 的侧棱BF 都与底面ABCD 垂直，AD CD ⊥，AB //CD ，3,4,5,32AB AD CD AE AF =====.
（1）证明：DF //平面BCE.
（2）设平面ABF 与平面CDF 所成的二面角为θ，求cos2θ.
19．（12分）已知函数()()1x f x e ax =+，a R ∈.
（1）求曲线()y f x =在点()()
0,0M f 处的切线方程；
（2）求函数()f x 的单调区间；
（3）判断函数()f x 的零点个数. 20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，
的距离小1. （1）求动点M 的轨迹1C 的方程；
（2）若点P 是圆()()22
2221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜
率的取值范围.
21．（12分）在三棱锥中，为棱的中点，
(I )证明：
； (II )求直线与平面所成角的正弦值. 22．（10分）设函数()2()11x f x e e kx -=++-（其中(0,)x ∈+∞），且函数()f x 在2x =处的切线与直线
2(2)0e x y +-=平行.
（1）求k 的值；
（2）若函数()ln g x x x =-，求证：()()f x g x >恒成立.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B
【解题分析】
根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得a .
【题目详解】
由已知可知，()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 是一个以4为周期的周期函数，
所以()()()ln22020ln 2ln 2ln 228a a f f f e
-=-=-===，
解得3a =，
故选：B.
【题目点拨】
本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.
2、D
【解题分析】
先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.
【题目详解】
因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x
='-， 当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1a e
≥时，()0g x '>，故()g x 在区间()0,e 上单调递增； 当10,a e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0g x '=，解得1x a
=， 故()g x 在区间10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭
，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢
⎣⎭； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立， 只需()111,54
g g e a ⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭， 即可得111,154a lna e
+<-≥， 解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
. 故选：D.
【题目点拨】
本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.
3、B
【解题分析】
根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x ≥10内的函数值，代入即可求出其值．
【题目详解】
∵f （x ）()()()210610x x f f x x ⎧-≥⎪=⎨⎡⎤+⎪⎣
⎦⎩＜， ∴f （5）＝f [f （1）]
＝f （9）＝f [f （15）]
＝f （13）＝1．
故选：B ．
【题目点拨】
本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．
4、C
【解题分析】
因答案A 中的直线m n ，可以异面或相交，故不正确；答案B 中的直线n ⊂β也成立，故不正确；答案C 中的直线m 可以平移到平面β中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面αβ，互相垂直，是正确的；答案D 中直线m 也有可能垂直于直线n ，故不正确．应选答案C ．
5、D
【解题分析】
依题意，设z a bi =+，由|3|2z -=，得22
(3)4a b -+=，再一一验证. 【题目详解】
设z a bi =+，
因为|3|2z -=，
所以22(3)4a b -+=，
经验证(4,1)M 不满足，
故选：D.
【题目点拨】
本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.
6、A
【解题分析】
根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.
【题目详解】
∵当函数()()
2231a f x b b x =--为幂函数时，22311b b --=， 解得2b =或12
-， ∴“2b =”是“函数()()
2231a f x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.
故选：A.
【题目点拨】
本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.
7、D
【解题分析】
利用复数模的计算、复数的除法化简复数z ，再根据复数的几何意义，即可得答案；
【题目详解】
()55(1)551345
1222
i i z i z i i -+=+=⇒===-+， ∴z 对应的点55(,)22
-， ∴z 对应的点位于复平面的第四象限.
故选：D.
【题目点拨】
本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.
8、D
【解题分析】
依次将选项中的θ代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.
【题目详解】
当0θ=时，()sin f x x =在[]0,π上不单调，故A 不正确； 当2π
θ=时，()cos f x x =在[]0,π上单调递减，故B 不正确；
当θπ=时，()sin f x x =-在[]0,π上不单调，故C 不正确； 当32
πθ=时，()cos f x x =-在[]0,π上单调递增，故D 正确. 故选：D
【题目点拨】
本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.
9、A
【解题分析】
画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．
【题目详解】
画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩
所表示平面区域，如图所示，
由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时，
此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，
又由2100
x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(1,0)A -， 所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．
【题目点拨】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 10、A
【解题分析】
,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭⇒max ()16f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而可得6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再解不等式222()262k x k k z π
π
π
ππ-≤+≤+∈即可.
【题目详解】 由已知，max ()sin 163f x f ππϕ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 1,0,32ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=±∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6π=ϕ， ()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，由222()262k x k k z πππππ-≤+≤+∈，
解得，()36k x k k z ππππ-
≤≤+∈.
故选：A. 【题目点拨】
本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
11、D
【解题分析】
根据X 的分布列列式求出期望,方差,再利用1a b c ++=将方差变形为21()412b D X a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝
⎭,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为113
b -≤
,进而得出结论. 【题目详解】
由X 的分布列可得X 的期望为()E X a c =-+,
又1a b c ++=,
所以X 的方差()()()()22211D X a c a a c b a c c =-+-+-++- ()()()22
2a c a b c a c a c =-++--++ ()2a c a c =--++
()2211a b b =--++-
21412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝
⎭, 因为()0,1a b ∈-,所以当且仅当12b a -=
时,()D X 取最大值1b -, 又()13
D X ≤对所有()0,1a b ∈-成立, 所以113b -≤,解得23
b ≥, 故选:D.
【题目点拨】
本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.
12、C
【解题分析】
需结合抛物线第一定义和图形，得AFH 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()cos 2p BF πα=-， ()tan sin 2p AF απα=-，结合比值与正切二倍角公式化简即可 【题目详解】
如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =，
所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()
cos 2cos 2MF
p BF παπα==--，()()()
tan tan sin 2sin 2sin 2CF
CH p AF α
απαπαπα===---， 所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AF
BF αααπαα-====--.
故选：C
【题目点拨】
本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、17
【解题分析】
由tan 2α=， 得出4tan 23α=-
，根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简，再利用齐次式即可求出结果. 【题目详解】
因为tan 2α=， 所以4tan 23
α=-
， 所以
4cos 21cos 2cos sin 2sin 1tan 2143444tan 217sin 2cos cos 2sin 1sin 24434πππααααπππαααα⎛⎫⎛⎫
-+-+ ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭====-⎛⎫---- ⎪⎝⎭
. 故答案为：
1
7
. 【题目点拨】
本题考查三角函数化简求值，利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及运用齐次式求值，属于对公式的考查以及对计算能力的考查. 14、(,3)-∞ 【解题分析】
画出函数()f x 的图象，再画3
2
y x a =+的图象，求出一个交点时的a 的值，然后平行移动可得有两个交点时的a 的范围． 【题目详解】
函数()f x 的图象如图所示：
因为方程3
()2
f x x a =
+有且只有两个不相等的实数根， 所以()y f x =图象与直线3
2
y x a =
+有且只有两个交点即可， 当过(0,3)点时两个函数有一个交点，即3a =时，3
2
y x a =+与函数()f x 有一个交点，
由图象可知，直线向下平移后有两个交点， 可得3a <， 故答案为：(,3)-∞． 【题目点拨】
本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题． 15、
2
1e 【解题分析】
先求函的定义域，再对函数进行求导，再解不等式得单调区间，进而求得极值点，即可求出函数()f x 的极大值． 【题目详解】
函数1
()lnx f x x
-=
，(0,)x ∈+∞， 22
1(1)2()lnx lnx
f x x x
---'∴==， 令()0f x '=得，2x e =，
∴当2(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当2+()x e ∈∞，时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，
∴当2x e =时，函数()f x 取到极大值，极大值为2
2
2
211
()lne f e e e
-==. 故答案为：
2
1
e ． 【题目点拨】
本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意定义域优先法则的应用． 16、(1,)+∞ 【解题分析】
当0x ≤时，函数单调递增，当0x >时，函数为常数，故需满足243x x ->-，且30x -<，解得答案. 【题目详解】
2019,0()2020,0x e x f x x ⎧+≤=⎨>⎩
，当0x ≤时，函数单调递增，当0x >时，函数为常数，
()24(3)f x f x ->-需满足243x x ->-，且30x -<，解得1x >.
故答案为：(1,)+∞. 【题目点拨】
本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2214
y x +=（2）存在；常数0m =
【解题分析】
（1）设出,,P A B 的坐标，利用2AP PB =以及3AB =，求得曲线E 的方程.
（2）当直线MN 的斜率存在时，设出直线MN 的方程，求得O 到直线MN 的距离d .联立直线MN 的方程和曲线E 的方程，写出根与系数关系，结合OM ON m ⋅=以及d 为定值，求得m 的值.当直线MN 的斜率不存在时，验证,d m .由此得到存在常数0m =
，且定值d =. 【题目详解】
（1）解析：（1）设(,)P x y ，()0,0A x ，()00,B y 由题可得2AP PB =
()0022x x x y y y -=-⎧∴⎨=-⎩，解得00332x x
y y =⎧⎪⎨=⎪⎩
又||3AB =，即22
009x y +=，
∴消去00,x y 得：2
214
y x +=
（2）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx b =+ 设()11,M x y ，()22,N x y
由=OM ON m ⋅可得：1212x x y y m += 由点O 到MN
的距离为定值可得d =
d 为常数）即2
2
2
1
b d k =+ 22
14
y kx b
y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()
222
4240k x kbx b +++-= ()()222244440k b k b ∴∆=-+->
即2240k b -+>
12224kb x x k -∴+=+，2122
4
4
b x x k -=+
又
()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++
2212122544
4
b k m x x y y k --∴+=
=+ ()()2225414b k m k ∴=+++ ()22
22
45411m k b k k +∴=+++ ()22
2
4541
m k d k +∴=+
+
d ∴为定值时，0m =，此时d =
，且符合>0∆ 当直线MN 的斜率不存在时，设直线方程为x n =
由题可得254n m =+，0m ∴=时，5
n =±
，经检验，符合条件
综上可知，存在常数0m =，且定值d = 【题目点拨】
本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问题，属于难题.
18、（1）证明见解析（2）7
25
- 【解题分析】
（1）根据线面垂直的性质定理，可得DE //BF ，然后根据勾股定理计算可得BF ＝DE ，最后利用线面平行的判定定理，可得结果.
（2）利用建系的方法，可得平面ABF 的一个法向量为n ，平面CDF 的法向量为m ，然后利用向量的夹角公式以及平方关系，可得结果. 【题目详解】
（1）因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AD ， 因为AD ＝4，AE ＝5，DE ＝3，同理BF ＝3， 又DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ， 所以DE //BF ，又BF ＝DE ，
所以平行四边形BEDF ，故DF //BE ，
因为BE ⊂平面BCE ，DF ⊄平面BCE 所以DF //平面BCE ；
（2）建立如图空间直角坐标系，
则D （0，0，0），A （4，0，0）， C （0，4，0），F （4，3，﹣3），
()()0,4,0,4,3,3DC DF ==-，
设平面CDF 的法向量为m x y z =（，，），
由404330
m DC y m DF x y z ⎧⋅==⎨
⋅=+-=⎩，令x ＝3，得()3,0,4m =，
易知平面ABF 的一个法向量为()1,0,0n =， 所以3
5
m n =
cos ＜，＞， 故2
7cos 22cos 125
θθ=-=-. 【题目点拨】
本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题. 19、（1）(1)10a x y +-+=（2）答案见解析（3）答案见解析 【解题分析】
（1）设曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线的斜率为k ，可求得(0)1k f a ='=+，(0)1f =，利用直线的点斜式方程即可求得答案；
（2）由（Ⅰ）知，()(1)x f x e ax a '=++，分0a =时，0a >，0a <三类讨论，即可求得各种情况下的()f x 的单调区间为；
（3）分0a =与0a ≠两类讨论，即可判断函数()f x 的零点个数． 【题目详解】 （1）
()(1)x f x e ax =+，
()(1)(1)x x x f x e ax ae e ax a ∴'=++=++，
设曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线的斜率为k ， 则0(0)(1)(1)1x x k f e ax ae e a a ='=++=+=+， 又(0)1f =，
∴曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线方程为：1(1)y a x -=+，即(1)10a x y +-+=；
（2）由（1）知，()(1)x f x e ax a '=++，
故当0a =时，()0x f x e '=>，所以()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，1(,)a x a +∈-∞-
，()0f x '<；1
(a x a
+∈-，)+∞，()0f x '>； ()f x ∴的递减区间为1(,)a a +-∞-
，递增区间为1
(a a
+-，)+∞； 当0a <时，同理可得()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-
，递减区间为1
(a a
+-，)+∞； 综上所述，0a =时，()f x 单调递增为(,)-∞+∞，无递减区间； 当0a >时，()f x 的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a
+-，)+∞； 当0a <时，()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-
，递减区间为1(a a
+-，)+∞； （3）当0a =时，()0x
f x e =>恒成立，所以()f x 无零点；
当0a ≠时，由()(1)0x f x e ax =+=，得：1
x a
=-，只有一个零点． 【题目点拨】
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与推理、运算能力，属于中档题．
20、（1）2
8x y =；（2）13,44
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解题分析】
（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；
（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4
AB m
k =
，结合点()P m n ,满足()
()2
2
221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.
【题目详解】 （1）设点(),M x y ，
∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴
11y +=，化简得2
8x y =，
∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.
（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ， 设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，
联立()2
8y k x m n x y ⎧=-+⎨=⎩
，化简可得28880x kx km n -+-=， ∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=
，122
n
k k =. 由2
8x y =，求得导函数4
x
y '=
， ∴114x k =，221
1128
x y k ==，2
222228x y k ==，
∴2
22121212121224424
AB
y y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()2
2
221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤， ∴
13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【题目点拨】
本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.
21、(I)证明见解析；(II)
【解题分析】
(I) 过作于，连接，根据勾股定理得到，得到平面，得到证明. (II) 过点作于，证明平面，故为直线与平面所成角，计算夹角得到答案. 【题目详解】
(I)过作于，连接，根据角度的垂直关系易知：
，，，故，
，.
根据余弦定理：，解得，故，
故，，，故平面，平面，
故.
(II)过点作于，
平面，平面，故，，，
故平面，故为直线与平面所成角，
，根据余弦定理：，
故.
【题目点拨】
本题考查了线线垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
k （2）证明见解析
22、（1）1
【解题分析】
（1）求导得到2
2
2
(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得答案.
（2）变形得到-2
(1)1ln x
e e x x x +>--，令函数()1ln h x x x x =--，求导得到函数单调区间得到
22()()1h x h e e --≤=+，2()(0)(1)F x F e ->=+，得到证明.
【题目详解】
（1）2()(1)x f x e e k -'=++，222
(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得1k =.
（2）()()f x g x >得-2(1)1ln x e e x x x ++->-，变形得-2(1)1ln x
e e x x x +>--，
令函数()1ln h x x x x =--，()2ln h x x '=--，令2ln 0x --=解得2x e -=， 当2
(0,)x e -∈时()0h x '>，2
(,)x e -∈+∞时()0h x '<.
∴函数()h x 在2(0,)e -上单调递增，在2(,)e -+∞上单调递减，∴22()()1h x h e e --≤=+，
而函数-2
()(1)x
F x e e =+在区间(0,)+∞上单调递增，∴2
()(0)(1)F x F e ->=+，
∴2()(0)(1)()1ln F x F e h x x x x ->=+≥=--，即2(1)1ln x e e x x x -+>--，
即2(1)1ln x
e e x x x -+-+>-，∴()()
f x
g x >恒成立.
【题目点拨】
本题考查了根据切线求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.。