2018年高中数学北师大版必修五达标练习：模块综合检测

模块综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n 可能是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1
D ．2n －
1
解析：选C.取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 2．若a ＜1，b ＞1，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a ＞1b B ．b a ＞1
C ．a 2＜b 2
D ．ab ＜a ＋b
解析：选D.利用特值法，令a ＝－2，b ＝2，则1a ＜1b ，A 错；b
a ＜0，B 错；a 2＝
b 2，C 错．
3．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2
D ．1<m <3
解析：选A.因为f (x )＝－x 2＋mx －1有正值， 所以Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.
4．等差数列{a n }满足a 24＋a 2
7＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( )
A ．－9
B ．－15
C ．15
D ．±15
解析：选D.因为a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9，
所以a 4＋a 7＝±3，所以a 1＋a 10＝±3， 所以S 10＝10（a 1＋a 10）2
＝±15.
5．若log a 5<log a 2，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1
a >0的解集为( ) A.⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x ⎪
⎪a <x <1a B ．⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪1a <x <a C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪x >1a 或x <a D ．⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪x <1a 或x >a 解析：选A.由log a 5<log a 2知0<a <1，所以a <1
a ；
不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0⇔(x －a )⎝⎛⎭
⎫x －1
a <0，
解得a <x <1
a
.
6．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( ) A ．5 2 B ．5 3 C ．2 5
D ．3 5
解析：选A.依题意，知三角形的最大边为b .由于A ＝30°，根据正弦定理b sin B ＝a
sin A ，得b
＝a sin B sin A ＝5sin 135°sin 30°
＝5 2. 7．在坐标平面上，不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )
A. 2 B ．32
C.32
2
D ．2
解析：选B.由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B 、C 两点横坐标分别为－1、1
2，A 、D
两点纵坐标分别为1，－1.所以S △ABC ＝12
×2×⎪⎪⎪⎪12－（－1）＝32.
8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( ) A ．小于10 g B ．大于10 g C ．大于等于10 g
D ．小于等于10 g
解析：选B.设左、右臂长分别为t 1，t 2(t 1≠t 2)，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝ 5⎝⎛⎭⎫
t 1t 2
＋t 2t 1
>5×2＝10，即大于10 g.
9．已知钝角三角形ABC 的面积是1
2，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )
A ．5
B ． 5
C ．2
D ．1
当B ＝3π
4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC ＝5，
此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；
当B ＝π
4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，
此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.
10．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( ) A.a （1＋γ）（1＋γ）5－1万元 B ．aγ（1＋γ）5（1＋γ）5－1万元
C.aγ（1＋γ）5（1＋γ）4－1
万元 D ．aγ
（1＋γ）5
万元
解析：选B.设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，所以x ＝aγ（1＋γ）5
（1＋γ）5－1
.
11．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实
数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭
⎫－23，3
5 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－35∪⎝⎛⎭⎫2
3，＋∞ C.⎝⎛⎭
⎫－35，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭
⎫3
5，＋∞ 解析：选C.直线3x －5y ＋6＝0和直线2x ＋3y －15＝0的斜率分别为k 1＝35，k 2＝－2
3，且两
直线的交点坐标为(3，3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线z ＝ax ＋y 经过点(3，3)时，z 取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a <35，解得－35<a <2
3
，故选C.
12．在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0，1)．若a 3＋a 5＝5，a 2·a 6＝4，b n ＝log 2a n ，
数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S n
n 取最大值时，n 的值为( )
A ．8
B ．9
C ．8或9
D ．17
解析：选C.因为a 2·a 6＝a 3·a 5＝4，且a 3＋a 5＝5， 所以a 3，a 5是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根． 又因为等比数列{a n }各项均为正数且q ∈(0，1)， 所以a 3＝4，a 5＝1. 所以q 2＝a 5a 3＝14，所以q ＝1
2
.
所以a n ＝4·⎝⎛⎭
⎫12n －3
，
所以b n ＝log 2a n ＝5－n .
所以S n ＝（9－n ）·n 2，所以S n n ＝9－n
2.
T n ＝S 11＋S 22＋…＋S n n ＝1
4(－n 2＋17n )
＝14⎣⎡⎦
⎤－⎝⎛⎭⎫n －1722＋2894. 所以当n ＝8或9时，T n 取得最大值． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________． 解析：因为{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －
1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n
＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，解得q ＝1，a n ＝2， 所以S n ＝2n . 答案：2n
14.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为________海里．
解析：如图，连接AC ，由题意知，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝60°，所以△ABC
为等边三角形，则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13. 答案：13
15．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确不等式的编号)．
①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1
b
≥2.
解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤（a ＋b ）2
4＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，
故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥（a ＋b ）24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b a ＋b
2＝
1＋a 2b ＋b
2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确． 答案：①③④
16．在△ABC 中，AC →·AB →＝|BC →
|＝2，则△ABC 面积的最大值为________． 解析：设角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ， 由题意得bc cos A ＝a ＝2，即cos A ＝2bc ，
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －4
2bc ，
即cos A ≥1－2
bc ＝1－cos A ，
所以cos A ≥1
2，又A ∈(0，π)，
所以0＜A ≤π
3
.
S ＝12bc sin A ＝1cos A sin A ＝tan A ≤ 3. 答案： 3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1
2和2.
(1)求a ，b 的值； (2)解不等式ax 2＋bx －1>0.
解：(1)因为方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1
2和2.
由根与系数的关系，得⎩
⎨⎧－12＋2＝－b a
，－12×2＝2a
，
解得a ＝－2，b ＝3.
(2)易知ax 2＋bx －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得1
2
<x <1.所以不等式ax 2＋bx －1>0的解集为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪12<x <1. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π
3，sin B
＝3sin C . (1)求tan C 的值；
(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．
解：(1)因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，故sin ⎝⎛⎭⎫2π3－C ＝3sin C ，所以32cos C ＋1
2sin C ＝3sin
C ， 即
3 2cos C ＝52sin C ，得tan C ＝3
5. (2)由
b sin B ＝c
sin C
，sin B ＝3sin C ，得b ＝3c . 在△ABC 中，由余弦定理，得
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ＝9c 2＋c 2－2×(3c )×c ×1
2＝7c 2，又因为a ＝7，所以c ＝1，b ＝3，
所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝33
4
.
19．(本小题满分12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？
解：设种植甲种蔬菜x 吨，乙种蔬菜y 吨，利润为z 元，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5y ≤360，
4x ＋5y ≤200，
3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，
目标函数为：z ＝700x ＋1 200y ，
作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x ＋1 200y ＝0，即7x ＋12y ＝0，
平移直线，当直线过A 点时目标函数取最大值．
解方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得x ＝20，y ＝24. 所以点A 的坐标为(20，24)．所以z max ＝700×20＋1 200×24＝42 800.
即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图像过点(0，1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.
解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1，所以m ＝3. (2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)． 由x 2－4x ＋3＞0，得x ＜1或x ＞3， 所以函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 因为log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数， 所以0＜x 2－4x ＋3≤3， 所以0≤x ＜1或3＜x ≤4，
所以不等式的解集为{x |0≤x ＜1或3＜x ≤4}．
21．(本小题满分12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，b 1＋12b 2
＋13b 3＋…＋1
n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N ＋)． (1)求a n 与b n 的表达式；
(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式． 解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N ＋)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 当n ≥2时，1
n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，
所以b n ＝n (n ∈N ＋)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，
因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋
1，
所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋
1.
故T n ＝(n －1)2n ＋
1＋2(n ∈N ＋)．
22．(本小题满分12分)为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示．
(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)
(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．
解：(1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N ＋)，
所以y ＝25n －n [6＋（2n ＋4）]
2－36＝－n 2＋20n －36
＝－(n －10)2＋64，当n ＝10时，y 的最大值为64万元．
(2)年平均盈利为y n ＝－n 2
＋20n －36n ＝－n －36
n
＋20＝－⎝⎛⎭⎫n ＋36n ＋20≤－2× n ×36
n
＋
20＝8(当且仅当n ＝36
n ，即n ＝6时取“＝”号)．
故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．。