2020年安徽省阜阳市第八中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2020年安徽省阜阳市第八中学高三数学文上学期期末试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的单调递增区间是
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
参考答案：
D
2. 若、、为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的
是（）
A．（+）+=+
（+） B．（+）·=·+·
C．m（+）=m+m D．（·b）=（·）
参考答案：
D
3. 若双曲线（）的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为
（）
A．2 B．4 C．18 D．36
参考答案：
C
由双曲线的方程，可得一条渐近线的方程为，
所以，解得，所以双曲线的实轴长为，故选C．4. 用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________．以上横线上应填的内容为()
A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.05)，f(0.125)
参考答案：
A
5. 已知集合= （）
A．B．C．D．{—2，0}
参考答案：
C
略
6. 给出下列命题：
(1)已知事件是互斥事件，若，则；
(2)已知事件是互相独立事件，若，则(表示事件的对立事件)；
(3)的二项展开式中，共有4个有理项．
则其中真命题的序号是 ( )．
A．(1)、(2)．B．(1)、(3)． C．(2)、(3)． D．(1)、(2)、(3)．
参考答案：
D
7. 已知函数，且函数的图象如图所示，则点的坐标是
A. B. C. D.
参考答案：
D
由图象可知,所以,又，所以，即
，又，所以，即
，，因为，所以当时，
，选D.
8. 若双曲线虚轴的两个端点和实轴的两个端点构成一个边长为2的正方形的四个顶点，则C的方程为( )
A. B. C.
D.
参考答案：
A 9. 若将函数的图象向左平移个单位后所得图象关于y辅对称，则m的最小值为
(A) (B) (C) ( D)
参考答案：
C
略
10. 设复数满足，其中为虚数单位，则=( )
A． B． C． D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若a>0, b>0, 且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等
于
参考答案：
9
略
12. 写出以下五个命题中所有正确命题的编号
①点A(1,2)关于直线的对称点B的坐标为(3,0)；
②椭圆的两个焦点坐标为；
③已知正方体的棱长等于2, 那么正方体外接球的半径是；
④下图所示的正方体中，异面直线与成的角；
⑤下图所示的正方形
是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形是矩形．
参考答案：
①④
13. 已知三棱锥O －ABC ，∠BOC ＝90°，OA ⊥平面BOC ，其中AB ＝，BC ＝，AC
＝
，O ，A ，B ，C 四点均在球S 的表面上，则球S 的表面积为________．
参考答案： 14π 14. 设
均为大于的自然数，函数
若存在实数，使得
则
的值为 .
参考答案： 4
略
15. α，β是两个平面，
m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β． ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n． ③如果α∥β，m ?α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题是 （填序号）
参考答案：
②③④
【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．
【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；
②如果n∥α，则存在直线l ?α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l ，那么m⊥n．故正确； ③如果α∥β，m ?α，那么m 与β无公共点，则m∥β．故正确
④如果m∥n，α∥β，那么m ，n 与α所成的角和m ，n 与β所成的角均相等．故正确； 故答案为：②③④
16. 定义运算法则如下：
则M ＋N ＝ 。

参考答案：
5
略
17. 已知函数为奇函数，函数
为偶函数，
= ；
参考答案：
-1
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=2，E 是CD 的中点，O 是AE 的中点，以AE 为折痕向上折起，使D 为D′，且D′B=D′C．
（Ⅰ）求证：平面D′AE⊥平面ABCE ； （Ⅱ）求CD′与平面ABD′所成角的正弦值．
参考答案：
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离．
【分析】（I）取BC中点F，连结OF，D′O，D′F，则BC⊥平面D′OF，于是BC⊥OD′，又
OD′⊥AE，于是OD′⊥平面ABCE，故而平面D′AE⊥平面ABCE；
（II）以O为原点建立平面直角坐标系，求出平面ABD′的法向量，则CD′与平面ABD′所成角的正弦值等于|cos＜，＞|．
【解答】解：（I）取BC中点F，连结OF，D′O，D′F，则BC⊥OF，
∵D′B=D′C，∴BC⊥D′F，
又∵OF?平面D′OF，D′F?平面D′OF，OF∩D′F=F，
∴BC⊥平面D′OF，∵D′O?平面D′OF，
∴BC⊥D′O，
∵DA=DE，即D′A=D′E，
∴D′O⊥AE，又∵AE?平面ABCE，BC?平面ABCE，AE与BC相交，
∴D′O⊥平面ABCE，∵D′O?平面D′AE，
∴平面D′AE⊥平面ABCE．
（II）以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（1，﹣1，0），B（1，3，0），C（﹣1，3，0）．D′（0，0，）．
∴=（1，﹣1，﹣），=（1，3，﹣）. =（﹣1，3，﹣）．
设平面ABD′的法向量为=（x，y，z），
则，．
∴，令z=，得x=2，y=0，∴=（2，0，）．||=，||=2.=﹣4．
∴cos＜，＞==﹣．
∴CD′与平面ABD′所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的求解方法，属于中档题．
19. 已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且na n+1=2S n（n∈N*）．
（I）证明数列是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
（II）数列{b n}满足，，对任意n∈N*，都有．若对任意的n∈N*，不等式2n+1b n s n＜3×2n+1b n+λn（n+2）恒成立，试求实数λ的取值范围．
参考答案：
解：（Ⅰ）∵na n+1=2S n，∴（n﹣1）a n=2S n﹣1（n≥2），两式相减得na n+1﹣（n﹣1）a n=2a n，
∴na n+1=（n+1）a n，即（n≥2），由a1=1，可得a2=2，
从而对任意n∈N*，，又，即是首项公比均为1的数列，
所以=1×1n﹣1=1，故数列{a n}的通项公式a n=n（n∈N*）．
（II）在数列{b n}中，由，知数列{b n}是等比数列，且首项、公比均为，
∴数列{b n}的通项公式
故原不等式可化为（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＜0对任意的n∈N*，恒成立，
变形可得λ＞对任意的n∈N*，恒成立，
令f（n）===1﹣=1﹣=1﹣，
由n+6≥7，单调递增且大于0，
∴f（n）单调递增，且当n→+∞时，f（n）→1，且f（n）＜1，故λ≥1
故实数λ的取值范围是[1，+∞）
略
20. 已知数列{a n}是公差为d的等差数列，a1=3，a3=9．
（Ⅰ）公差d= ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）
（Ⅱ）数列{b n}满足（n=1,2,3…），求数列{b n}的前n项和S n．
参考答案：
（Ⅰ）解：公差 3. ……………………………………2分
（Ⅱ）解：因为等差数列的公差，，
所以．
所以．
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以. …………………………………… 5分
21. 已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：
，．
其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．
若对于任意的，总有，则称集合具有性质．
（I ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；（II ）对任何具有性质的集合，证明：；
（III ）判断和的大小关系，并证明你的结论．
参考答案：
解析：（I ）集合不具有性质．
集合具有性质，其相应的集合和是，
．
（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．
因为，所以；
又因为当时，时，，所以当时，
．
从而，集合中元素的个数最多为，
即．
（III）解：，证明如下：
（1）对于，根据定义，，，且，从而．
如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．
故与也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而
与中也不至少有一个不成立，
故与也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
由（1）（2）可知，．
22. 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
．已知甲、乙两地相距100千米
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
参考答案：
解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗没（升）。

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得
令得当时，是减函数；
当时，是增函数。

∴当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值。

答汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

略。