人教版九年级下(初三下)数学导学案：第28章锐角三角函数(教学资料,补习资料)

C B C
B
A
C
B
A
人教版九年级下数学导学案
第28章锐角三角函数
28．1锐角三角函数
第1课时 正弦函数
目标导航： 【学习目标】
⑴经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

⑵能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】
理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 【学习难点】
当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

【导学过程】 一、自学提纲：
1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ， 求AB
2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ， 求BC
二、合作交流：
问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管， 在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？
思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？ 如果是，是多少？
结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨：
斜边c
对边a
b
C B (2)13
5
3C
B A
(1)
34
C
B A
从上面这两个问题的结论中可知， 在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，
∠A 的对边与斜边的比都等于，是一个固定值； 当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于
，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时， 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么
有什么关系．你能解释一下吗？
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念：
规定：在Rt △BC 中，∠C=90，
∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．
在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= =
． sinA ＝
A a
A c
∠=∠的对边的斜边 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=
；
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．
四、学生展示：
例1 如图，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．
随堂练习 （1）： 做课本练习．
随堂练习 （2）：
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚
A ．43
B ．34
C ．53
D ．54
2．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ）
1
2
2
2
''
''
BC B C AB A B 与a c A
A ．35
B ．45
C ．34
D ．43
3． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2
3
，则边AC 的长是( )
A ．13
B ．3
C ．4
3
D ． 5
4．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ）
A ．
B ．
C ．
五、课堂小结：
在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是 ．
在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的 ， 记作 ，
六、作业设置：
课本 第68页 习题28．1复习巩固第1题、第2题（只做与正弦函数有关的部分）.
七、自我反思：
本节课我的收获: 。

28．1锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
【学习目标】
⑴感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。

⑵逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。

重点、难点： 【学习重点】
理解余弦、正切的概念。

【学习难点】
熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。

【导学过程】 一、自学提纲：
1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？
2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。

已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ）
A ．53
B ．3
C ．255
D ．52
a
b b a 2222.
a b D a b a b ++A
B
C
D E
斜边c
对边a
b
C B
A
3、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，
且AB ＝5，BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ． 4、 在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 确定时， ∠A 的对边与斜边的比是 ， 现在我们要问：
∠A 的邻边与斜边的比呢？
∠A 的对边与邻边的比呢？ 为什么？
二、合作交流： 探究：
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α，
那么与有什么关系？
三、教师点拨： 类似于正弦的情况，
如图在Rt △BC 中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠
A 的对边与邻边的比也分别是确定的．我们
把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=
=； 把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA==．
例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°=
；
当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．
（教师讲解并板书）：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．
对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是A 的函
A ∠的邻边斜边
a
c A A ∠∠的对边的邻边a b
6C
B A
数．同样地，cosA ，tanA 也是A 的函数．
例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC= 6，sinA=，求cosA 、tanB
的值．
四、学生展示：
练习一：完成课本相关练习 练习二： 1.在中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2. 在中，∠C ＝90°，如果cos A=45 那么
的值为（）
A ．35
B ．54
C ．34
D ．43
3、如图：P 是∠的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 则cos α＝_____________. 五、课堂小结：
在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把
锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= =
． sinA ＝
A a
A c
∠=∠的对边的斜边 把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，
记作 ，即 把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，
记作 ，即 六、作业设置：
课本 第68页 习题28．1复习巩固第1题、第2题（只做与余弦、正切有关的部分）．
3
5
a c
七、自我反思：
本节课我的收获:
28．1锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数
【学习目标】
⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【学习重点】
熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【学习难点】
30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程 【导学过程】 一、自学提纲： 一个直角三角形中，
一个锐角正弦是怎么定义的？
一个锐角余弦是怎么定义的？
一个锐角正切是怎么定义的？ 二、合作交流： 思考：
两块三角尺中有几个不同的锐角？ 是多少度？ 你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？． 三、教师点拨： 归纳结果
例3：求下列各式的值．
（1）cos 260°+sin 260°． （2）
-tan45°．
cos 45sin 45︒
︒
例4：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，，A 的度数．
（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB a ．
四、学生展示：
一、课本67页 第1 题
课本67页 第 2题 二、选择题．
1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=3
5
，AB=15，则AC 的长是（ ）．
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 2．下列各式中不正确的是（ ）．
A ．sin 260°+cos 260°=1
B ．sin30°+cos30°=1
C ．sin35°=cos55°
D ．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．
A ．2
B
C
D ．1
4．已知∠A 为锐角，且cosA ≤1
2
，那么（ ）
A ．0°<∠A ≤60°
B ．60°≤∠A<90°
C ．0°<∠A ≤30°
D ．30°≤∠A<90°
5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=1
2
，
cosB= 3
2
，则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．不能确定
6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana 的值为（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
7．当锐角a>60°时，cosa 的值（ ）．
A ．小于12
B ．大于12
C ．大于 3
2
D ．大于1
8．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1：2，则sinA+tanA 等于（ ）．
63332344335453
A ．
9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC ，若梯形的高是， 则∠CAB 等于（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．以上都不对 10．sin 272°+sin 218°的值是（ ）．
A ．1
B ．0
C ．12
D ． 3
2
11．若（ 3 tanA -3）2+│2cosB - 3 │=0，则△ABC （ ）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形
C ．是含有60°的任意三角形
D ．是顶角为钝角的等腰三角形 三、填空题．
12．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______．
13．的值是_______．
14．已知，等腰△ABC 的腰长为4 3 ， 底为30 °， 则底边上的高为______， 周长
为______．
15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB= 5
2
，则cosA=________．
六、作业设置：
课本 第69页 习题
28．1复习巩固第3题
七、自我反思：
本节课我的收获:
28．1锐角三角函数
第4课时 用计算器求锐角三角函数值及锐角
【学习目标】
让学生熟识计算器一些功能键的使用 【学习重点】
运用计算器处理三角函数中的值或角的问题 【学习难点】 知道值求角的处理
31
1..
62
2
2B C D +cos 45sin 301
cos 60tan 452︒-︒
︒+︒
求下列各式的值．
（1）sin30°·cos45°+cos60°; （2）2sin60°-2cos30°·sin45° （3）
; （4）-sin60°（1-sin30°）．
（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°
·tan30° （6）
+cos45°·cos30°
合作交流：
学生去完成课本68页 练习1、2题 学生展示：
用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值 学生去完成课本69页的第4、5题 . 自我反思：
本节课我的收获: 。

28．2．1 解直角三角形
【学习目标】
⑴ 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
⑵ 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
⑶ 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 【学习重点】
直角三角形的解法．
2cos 602sin 302︒︒-sin 45cos3032cos 60︒+︒
-︒
sin 45tan 30tan 60︒
︒-︒
三角函数在解直角三角形中的灵活运用 【导学过程】 一、自学提纲：
1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系
如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.
(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
a 2 +
b 2 =
c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 二、合作交流：
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子
三、教师点拨：
例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形．
例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形．
四、学生展示： 完成课本74页练习 补充题
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________ 其它所有元素的过程，即解直角三角形．
2、在Rt △ABC 中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
a b A b a A c b A c a A ====
cot ;tan ;cos ;sin b a
B a b B c a B c b B =
===cot ;tan ;cos ;sin α∠的对边的邻边
；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=
∠∠=∠=∠=
cot tan cos sin
3、 在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC 的平分线AD=43，解此直角三角形。

4、Rt △ABC 中，若sinA=
，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 5、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 6、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=
，则cosA 的值是（ ） A ．
B ．
C ． 五、课堂小结：
小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
六、作业设置：
课本 第77页 习题28．2复习巩固第1题、第2题．
七、自我反思：
本节课我的收获:
28.2.2 应用举例
第1课时 解直角三角形的简单应用
【学习目标】
1.使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
2. 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识 【学习重点】
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 【学习难点】
实际问题转化成数学模型
4
5
3
5
3545916
.
25
25
D
【导学过程】
一、课前热身：
1.解直角三角形的类型：
已知____________；已知___________________．
2.如图解直角三角形的公式：
（1）三边关系：__________________．
（2）角关系：∠A+∠B＝_____，
（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．
cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．
3.已知，如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长. (结果保留
根号).
二、合作交流：
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足，(如图).现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子？（可用计算器）
28.2.2 应用举例
第2课时利用仰俯角解直角三角形
c
b
a
A
C B
的邻边
的对边
A
A
∠
∠
【学习目标】
⑴使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
【学习重点】
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
【学习难点】
实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、自学提纲：
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理：
(2)锐角之间的关系：
(3)边角之间的关系：
tanA=
二、合作交流：
仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
三、教师点拨：
例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)
斜边
的邻边
A
A
∠
=
cos
斜边
的对边
A
A
∠
=
sin
例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
四、学生展示：
一、课本76页练习第1 、2题
五、课堂小结：
六、作业设置：
课本第78页习题28．2复习巩固第3、4题
七、自我反思：
本节课我的收获:
28.2.2 应用举例
第3课时利用方位角、坡度解直角三角形
【学习目标】
使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
【学习重点】
用三角函数有关知识解决方位角问题
【学习难点】
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、自学提纲：
坡度与坡角
坡面的铅直高度h 和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比）， 一般用i 表示。

即ｉ＝，常写成i=1：m 的形式如i=1:2.5 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
结合图形思考，坡度i 与坡角α之间具有什么关系？
这一关系在实际问题中经常用到。

二、教师点拨：
例5如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行
一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34方向上的B 处.这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？
例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现
在有这样一个问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)
四、学生展示： 完成课本77页练习 补充练习
(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
______，
坡角______度．
2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC 为0.5米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD 的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
l
五、课堂小结：
六、作业设置：
课本第78页习题28．2复习巩固第5、7题
七、自我反思：
本节课我的收获:。