广东高三高中数学期末考试带答案解析

广东高三高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.复数z 满足z （l ﹣i ）=﹣1﹣i ，则|z+1|=（ ） A ．0 B ．1
C ．
D ．2
2.已知U=R ，函数y=ln （1﹣x ）的定义域为M ，集合N={x|x 2﹣x ＜0}．则下列结论正确的是（ ） A ．M∩N=N B ．M∩（∁U N ）=∅ C ．M ∪N=U D ．M ⊆（∁U N ）
3.已知a ，b 都是实数，那么“＞
”是“lna ＞lnb”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.设变量x ，y 满足，则2x+3y 的最大值为（ ） A ．20
B ．35
C ．45
D ．55
5.己知x 0=是函数f （x ）=sin （2x+φ）的一个极大值点，则f （x ）的一个单调递减区间是（ ） A ．（
，
）
B ．（
，
）
C ．（
，π）
D ．（
，π）
6.已知F 1，F 2分别是双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C 上存在点P 使
∠F 1PF 2=90°，且满足2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，那么双曲线C 的离心率为（ ） A ．
+1
B ．2
C ．
D ．
7.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8.已知tanx=，则sin 2（+x ）=（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9.执行如图所示的程序框图，输出的z 值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10.某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）
A ．13π
B ．16π
C ．25π
D ．27π
11.给出下列函数： ①f （x ）=xsinx ； ②f （x ）=e x +x ； ③f （x ）=ln （﹣x ）； ∃a ＞0，使f （x ）dx=0的函数是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
12.设直线y=t 与曲线C ：y=x （x ﹣3）2的三个交点分别为A （a ，t ），B （b ，t ），C （c ，t ），且a ＜b ＜c ．现给出如下结论：
①abc 的取值范围是（0，4）；②a 2+b 2+c 2为定值；③c ﹣a 有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
二、填空题
1.（
﹣
）5的展开式的常数项为 （用数字作答）．
2.已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为 ．
3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，M 是BC 的中点，BM=2，AM=c ﹣b ，△ABC 面积的最大值为 ．
三、解答题
1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =3S n ﹣2（n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ．
2.未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，
度量其内径的茎叶图如图所示（单位：μm ）．
（I ）计算平均值μ与标准差σ
（Ⅱ）假设这台3D 打印设备打印出品的零件内径Z 服从正态分布N （μ，σ）；该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件．度量其内径分别为（单位：μm ）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P （μ﹣2σ＜Z ＜μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．
3.如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 丄侧面ABB 1A 1，AC=AA 1=AB ，∠AA 1C 1=60°，AB ⊥AA 1，H
为棱CC 1的中点，D 在棱BB 1上，且A 1D 丄平面AB 1H ．
（Ⅰ）求证：D 为BB 1的中点；
（Ⅱ）求二面角C 1﹣A 1D ﹣A 的余弦值．
4.已知椭圆：
+
=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2，0），且焦距为2，直线l 交椭圆于E 、F 两点（E 、F 与
A 点不重合），且满足AE ⊥AF ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）O 为坐标原点，若点P 满足2=+，求直线AP 的斜率的取值范围．
5.设常数λ＞0，a ＞0，函数f （x ）=
﹣alnx ．
（1）当a=λ时，若f （x ）最小值为0，求λ的值；
（2）对任意给定的正实数λ，a ，证明：存在实数x 0，当x ＞x 0时，f （x ）＞0．
6.如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，BA 、CD 的延长线交于点P ，且AB=AD ，BP=2BC
（Ⅰ）求证：PD=2AB ；
（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB 的长．
7.已知直线l 的方程为y=x+4，圆C 的参数方程为
（θ为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极
轴．建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l 与圆C 的交点的极坐标；
（Ⅱ）若P 为圆C 上的动点．求P 到直线l 的距离d 的最大值．
8.己知函数f （x ）=|x ﹣2|+a ，g （x ）=|x+4|，其中a ∈R ． （Ⅰ）解不等式f （x ）＜g （x ）+a ；
（Ⅱ）任意x ∈R ，f （x ）+g （x ）＞a 2恒成立，求a 的取值范围．
广东高三高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.复数z满足z（l﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=（）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【解析】根据复数的运算性质计算即可．
解：∵z（l﹣i）=﹣1﹣i，
∴z（1﹣i）（1+i）=﹣（1+i）2，
∴2z=﹣2i，
∴z=﹣i，
∴z+1=1﹣i，
则|z+1|=，
故选：C．
【考点】复数求模．
2.已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）
A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）
【答案】A
【解析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．
解：由1﹣x＞0，解得：x＜1，
故函数y=ln（1﹣x）的定义域为M=（﹣∞，1），
由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，
故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），
∴M∩N=N，
故选：A．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
3.已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案．
解：∵lna＞lnb⇒a＞b＞0⇒＞，是必要条件，
而＞，如a=1，b=0则lna＞lnb不成立，不是充分条件，
故选：B．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
4.设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）
A．20B．35C．45D．55
【答案】D
【解析】先画出满足约束条件的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．
解：满足约束条件的平面区域如下图所示：
令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大
作直线l：2x+3y=0
把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，
由可得x=5，y=15，此时z=55
故选D
【考点】简单线性规划．
5.己知x 0=是函数f （x ）=sin （2x+φ）的一个极大值点，则f （x ）的一个单调递减区间是（ ） A ．（
，
）
B ．（
，
）
C ．（
，π）
D ．（
，π）
【答案】B
【解析】由极值点可得φ=﹣，解2kπ+
＜2x ﹣
＜2kπ+
可得函数f （x ）的单调递减区间，结合选项可得．
解：∵x 0=是函数f （x ）=sin （2x+φ）的一个极大值点， ∴sin （2×+φ）=1，∴2×
+φ=2kπ+
，解得φ=2kπ﹣，k ∈Z ，
不妨取φ=﹣，此时f （x ）=sin （2x ﹣
） 令2kπ+
＜2x ﹣
＜2kπ+
可得kπ+
＜x ＜kπ+
，
∴函数f （x ）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k ∈Z ，
结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，
），
故选：B ．
【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的图象．
6.已知F 1，F 2分别是双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C 上存在点P 使
∠F 1PF 2=90°，且满足2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，那么双曲线C 的离心率为（ ） A ．
+1
B ．2
C ．
D ．
【答案】A
【解析】由已知得∠F 1PF 2=90°，∠PF 1F 2=30°，∠PF 2F 1=60°，设|PF 2|=x ，则|PF 1|=，|F 1F 2|=2x ，由此能求出
双曲线C 的离心率．
解：如图，∵∠F 1PF 2=90°，且满足2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1， ∴∠F 1PF 2=90°，∠PF 1F 2=30°，∠PF 2F 1=60°， 设|PF 2|=x ，则|PF 1|=，|F 1F 2|=2x ， ∴2a=，2c=2x ， ∴双曲线C 的离心率e=
=
．
故选：A．
【考点】双曲线的简单性质．
7.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假
设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到
李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）=P（B）=，p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知
信息的概率．
解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，
由题意P（A）==，P（B）=，
∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：
p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）
==．
故选：C．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
8.已知tanx=，则sin2（+x）=（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
解：tanx=，则sin2（+x）===+
=+=+=，
故选：D．
【考点】二倍角的正弦．
9.执行如图所示的程序框图，输出的z值为（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘循环变量a值，并输出满足条件的累乘积关于2的对数值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量的值
的变化情况进行分析，不难给出答案．
解：执行循环体前，S=1，a=0，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×20=20，a=1，
当S=2°，a=1，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×21=21，a=2
当S=21，a=2，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=21×22=23，a=3
当S=23，a=3，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=23×23=26，a=4
当S=26，a=4，满足退出循环的条件，
则z==6
故输出结果为6
故选：D
【考点】程序框图．
10.某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）
A．13πB．16πC．25πD．27π
【答案】C
【解析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．
解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．
则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．
故选C．
【考点】由三视图求面积、体积．
11.给出下列函数：
①f（x）=xsinx；
②f（x）=e x+x；
③f（x）=ln（﹣x）；
∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【解析】①求出f（x）dx的积分，结合函数的图象得出存在a＞0，使f（x）dx=0成立；
②求出（e x+x）dx=0时a的值，得出命题不成立；
③根据f（x）是定义域上的奇函数，积分的上下限互为相反数，得出定积分值为0，满足条件．
解：对于①，f（x）=xsinx，
∵（sinx﹣xcosx）′=xsinx，
∴xsinxdx=（sinx﹣xcosx）=2sina﹣2acosa，
令2sina﹣2acosa=0，
∴sina=acosa，
又cosa≠0，∴tana=a；
画出函数y=tanx与y=x的部分图象，如图所示；
在（0，）内，两函数的图象有交点，
即存在a＞0，使f（x）dx=0成立，①满足条件；
对于②，f（x）=e x+x，（e x+x）dx=（e x+x2）=e a﹣e﹣a；
令e a﹣e﹣a=0，解得a=0，不满足条件；
对于③，f（x）=ln（﹣x）是定义域R上的奇函数，
且积分的上下限互为相反数，
所以定积分值为0，满足条件；
综上，∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是①③．
故选：B．
【考点】特称命题．
12.设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：
①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】作出f（x）=x（x﹣3）2的函数图象，判断t的范围，根据f（x）的变化率判断c﹣a的变化情况，构造函数g（x）=x（x﹣3）2﹣t，根据根与系数的关系得出abc，a2+b2+c2，c﹣a的值进行判断．
解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．
当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，
当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．
作出函数f（x）的图象如图所示：
∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．
令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．
∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．
由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，
∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．
故①，②正确，
故选：C．
【考点】函数的图象．
二、填空题
1.（
﹣
）5的展开式的常数项为 （用数字作答）．
【答案】-10 【解析】在（﹣
）5展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求出r 的值，即可求出展开式的常数项． 解：由于（
﹣）5展开式的通项公式为T r+1=
（﹣1）r
，
令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式的常数项是﹣10， 故答案为：﹣10．
【考点】二项式系数的性质．
2.已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为 ． 【答案】﹣
【解析】求出+λ和的坐标，根据向量垂直列出方程解出λ． 解：+λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（+λ）=0，即3（1+λ）+8λ=0，解得λ=﹣
．
故答案为﹣
．
【考点】平面向量数量积的运算．
3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，M 是BC 的中点，BM=2，AM=c ﹣b ，△ABC 面积的最大值为 ． 【答案】2
【解析】在△ABM 和△ABC 中分别使用余弦定理得出bc 的关系，求出cosA ，sinA ，代入面积公式求出最大值． 解：在△ABM 中，由余弦定理得： cosB=
=
．
在△ABC 中，由余弦定理得： cosB==
． ∴
=．
即b 2+c 2=4bc ﹣8． ∵cosA==
，∴sinA=
=
．
∴S=
sinA=bc
=
．
∴当bc=8时，S 取得最大值2．
故答案为2．
【考点】余弦定理．
三、解答题
1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =3S n ﹣2（n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ． 【答案】（1）（2）
【解析】（1）通过a n =3S n ﹣2与a n ﹣1=3S n ﹣1﹣2（n≥2）作差、整理可知a n =﹣a n ﹣1（n≥2），进而可知数列{a n }是首项为1、公比为﹣的等比数列，计算即得结论； （2）通过（1）可知na n =（﹣1）n ﹣1
，进而利用错位相减法计算即得结论．
解：（1）∵a n =3S n ﹣2，
∴a n ﹣1=3S n ﹣1﹣2（n≥2）， 两式相减得：a n ﹣a n ﹣1=3a n ， 整理得：a n =﹣a n ﹣1（n≥2）， 又∵a 1=3S 1﹣2，即a 1=1，
∴数列{a n }是首项为1、公比为﹣的等比数列， ∴其通项公式a n =（﹣1）n
﹣1
；
（2）由（1）可知na n =（﹣1）n ﹣1
，
∴T n =11+（﹣1）2+…+（﹣1）n ﹣2
（n ﹣1）
+（﹣1）n
﹣1
， ∴﹣T n =1（﹣1）
+2
+…+（﹣1）n ﹣1
（n ﹣1）
+（﹣1）n n ， 错位相减得：T n =1+[﹣+
﹣
+…+（﹣1）n
﹣1
]﹣（﹣1）n n
=1+﹣（﹣1）n n
=+（﹣1）n
﹣1
，
∴T n =[+（﹣1）n
﹣1
]=+（﹣1）n
﹣1
．
【考点】数列的求和；数列递推式．
2.未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示（单位：μm ）．
（I ）计算平均值μ与标准差σ
（Ⅱ）假设这台3D 打印设备打印出品的零件内径Z 服从正态分布N （μ，σ）；该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件．度量其内径分别为（单位：μm ）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P （μ﹣2σ＜Z ＜μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．
【答案】（Ⅰ）105μm ，σ=6；（Ⅱ）需要进一步调试，理由见解析 【解析】（I ）利用茎叶图，即可计算平均值μ与标准差σ （Ⅱ）根据3σ原则，即可得出结论． 解：（I ）平均值μ==105μm
方差=
=36，标准差σ=6
（Ⅱ）需要进一步调试，Z 服从正态分布N （105，36），
P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9974，∴内径在（87，123）之外的概率为0.0026， 而86∉（87，123），根据3σ原则，若机器异常，需要进一步调试．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
3.如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 丄侧面ABB 1A 1，AC=AA 1=AB ，∠AA 1C 1=60°，AB ⊥AA 1，H
为棱CC 1的中点，D 在棱BB 1上，且A 1D 丄平面AB 1H ．
（Ⅰ）求证：D 为BB 1的中点；
（Ⅱ）求二面角C 1﹣A 1D ﹣A 的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）建立坐标系，求出向量坐标，利用线面垂直的性质建立方程关系即可证明D 为BB 1的中点； （Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C 1﹣A 1D ﹣A 的余弦值．
（Ⅰ）证明：连接AC 1，
∵AC=AA 1，∠AA 1C 1=60°，
∴三角形ACC 1是正三角形，
∵H 是CC 1的中点，
∴AH ⊥CC 1，从而AH ⊥AA 1，
∵侧面AA 1C 1C 丄侧面ABB 1A 1，面AA 1C 1C∩侧面ABB 1A 1=AA 1，AH ⊂平面AA 1C 1C ，
∴AH ⊥ABB 1A 1，
以A 为原点，建立空间直角坐标系如图，
设AB=，则AA 1=2，
则A （0，2，0），B 1（，2，0），D （，t ，0），
则=（，2，0），=（，t ﹣2，0），
∵A 1D 丄平面AB 1H ．AB 1⊂丄平面AB 1H ．
∴A 1D 丄AB 1，
则×=（，2，0）×（，t ﹣2，0）=2+2（t ﹣2）=2t ﹣2=0，得t=1，
即D （，1，0），
∴D 为BB 1的中点；
（2）C 1（0，1，），=（，﹣1，0），=（0，﹣1，），
设平面C 1A 1D 的法向量为=（x ，y ，z ），
则由×=x ﹣y=0），×=﹣y+z=0，得
， 令x=3，则y=3，z=，=（3，3，），
显然平面A 1DA 的法向量为==（0，0，
）， 则cos ＜，＞===，
即二面角C 1﹣A 1D ﹣A 的余弦值是．
【考点】二面角的平面角及求法．
4.已知椭圆：+=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2，0），且焦距为2，直线l 交椭圆于E 、F 两点（E 、F 与A 点不重合），且满足AE ⊥AF ．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）O 为坐标原点，若点P 满足2
=+，求直线AP 的斜率的取值范围． 【答案】（Ⅰ）+=1；（Ⅱ）[﹣，]．
【解析】（Ⅰ）由题意可得a=2，c=1，由a ，b ，c 的关系可得b ，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线AE 的方程为y=k （x ﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得E 的坐标，由两直线垂直可得F 的坐标，再由直线的斜率公式，结合基本不等式即可得到斜率的最值，进而得到所求范围．
解：（Ⅰ）由题意可得a=2，2c=2，即c=1，
b==，
则椭圆的标准方程为+=1；
（Ⅱ）设直线AE 的方程为y=k （x ﹣2），
代入椭圆方程，可得（3+4k 2）x 2﹣16k 2x+16k 2﹣12=0，
由2+x E =，可得x E =
， y E =k （x E ﹣2）=
， 由于AE ⊥AF ，只要将上式的k 换为﹣，
可得x F =
，y F =， 由2=+，可得P 为EF 的中点，
即有P （，
）， 则直线AP 的斜率为t=
=， 当k=0时，t=0；
当k≠0时，t=，
再令s=﹣k ，可得t=，
当s=0时，t=0；当s ＞0时，t=
≤=， 当且仅当4s=
时，取得最大值； 当s ＜0时，t=≥﹣，
综上可得直线AP 的斜率的取值范围是[﹣
，]． 【考点】椭圆的简单性质．
5.设常数λ＞0，a ＞0，函数f （x ）=﹣alnx ．
（1）当a=λ时，若f （x ）最小值为0，求λ的值；
（2）对任意给定的正实数λ，a ，证明：存在实数x 0，当x ＞x 0时，f （x ）＞0．
【答案】（1）．（2）证明见解析
【解析】（1）当a=λ时，函数f （x ）=
﹣（x ＞0）．f′（x ）=，分别解出f′（x ）＞0，f′（x ）＜0，研究其单调性，即可得出最小值．
（2）函数f （x ）=x ﹣﹣alnx ＞x ﹣λ﹣alnx ．令u （x ）=x ﹣λ﹣alnx ．利用导数研究其单调性即可得出．
（1）解：当a=λ时，函数f （x ）=﹣alnx=﹣
（x ＞0）． f′（x ）=﹣=
， ∵λ＞0，x ＞0，∴4x 2+9λx+3λ2＞0，4x （λ+x ）2＞0．
∴当x ＞λ时，f′（x ）＞0，此时函数f （x ）单调递增；
当0＜x ＜λ时，f′（x ）＜0，此时函数f （x ）单调递减．
∴当x=λ时，函数f （x ）取得极小值，即最小值，
∴f （（λ）=
=0，解得λ=． （2）证明：函数f （x ）=
﹣alnx=﹣alnx=x ﹣﹣alnx ＞x ﹣λ﹣alnx ． 令u （x ）=x ﹣λ﹣alnx ．
u′（x ）=1﹣=，可知：当x ＞a 时，u′（x ）＞0，函数u （x ）单调递增，x→+∞，u （x ）→+∞． 一定存在x 0＞0，使得当x ＞x 0时，u （x 0）＞0，
∴存在实数x 0，当x ＞x 0时，f （x ）＞u （x ）＞u （x 0）＞0．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
6.如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，BA 、CD 的延长线交于点P ，且AB=AD ，BP=2BC
（Ⅰ）求证：PD=2AB ；
（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB 的长．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）证明：△APD ∽△CPB ，利用AB=AD ，BP=2BC ，证明PD=2AB ；
（Ⅱ）利用割线定理求AB 的长．
（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴∠PAD=∠PCB ， ∴∠APD=∠CPB ， ∴△APD ∽△CPB ，
∴=，
∵BP=2BC ∴PD=2AD ， ∴AB=AD ， ∴PD=2AB ；
（Ⅱ）解：由题意，BP=2BC=4，设AB=t ，由割线定理得PD PC=PA PB ，
∴2t×5=（4﹣t ）×4
∴t=，即AB=．
【考点】与圆有关的比例线段．
7.已知直线l 的方程为y=x+4，圆C 的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴．建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l 与圆C 的交点的极坐标；
（Ⅱ）若P 为圆C 上的动点．求P 到直线l 的距离d 的最大值．
【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）+2．
【解析】（I ）由圆C 的参数方程为
（θ为参数），利用cos 2θ+sin 2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用可得极坐标．
（II ）圆心（0，2）到直线l 的距离为d 1，可得P 到直线l 的距离d 的最大值为d 1+r ．
解：（I ）由圆C 的参数方程为
（θ为参数），利用cos 2θ+sin 2θ=1化为：x 2+（y ﹣2）2=4，联立，解得
或． 可得极坐标分别为：
，． （II ）圆心（0，2）到直线l 的距离=，
∴P 到直线l 的距离d 的最大值为+r=+2．
【考点】参数方程化成普通方程．
8.己知函数f （x ）=|x ﹣2|+a ，g （x ）=|x+4|，其中a ∈R ．
（Ⅰ）解不等式f （x ）＜g （x ）+a ；
（Ⅱ）任意x ∈R ，f （x ）+g （x ）＞a 2恒成立，求a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（﹣1，+∞）；（Ⅱ）（﹣2，3）
【解析】（Ⅰ）问题转化为解不等式|x ﹣2|＜|x+4|，两边平方，解出即可；
（Ⅱ）f （x ）+g （x ）＞a 2可化为a 2﹣a ＜|x ﹣2|+|x+4|，根据绝对值的性质，求出|x ﹣2|+|x+4|的最小值，从而求出a 的范围．
解：（Ⅰ）不等式f （x ）＜g （x ）+a 即|x ﹣2|＜|x+4|，
两边平方得：x2﹣4x+4＜x2+8x+16，解得：x＞﹣1，∴原不等式的解集是（﹣1，+∞）；
（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，又|x﹣2|+|x+4|≥|（x﹣2）﹣（x+4）|=6，
∴a2﹣a＜6，解得：﹣2＜a＜3，
∴a的范围是（﹣2，3）．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．。