高中数学 正弦定理全套学案 新人教A版必修5

§1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 学习过程
一、课前准备
试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直
角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，
AB =c ，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c
==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C
==．
(
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，
有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B
=， 同理可得sin sin c b C B
=， 从而sin sin a b A B =sin c C
=．
类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
sin sin a b A B =sin c C
=．
试试：
（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．
A ．sin sin a A b
B = B .cos cos a A b B =
C . sin sin a B b A =
D .cos cos a B b A =
（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；
（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C
． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B
=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b
=；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．
※ 典型例题
例1. 在ABC ∆中，已知45A =o ，60B =o ，42a =cm ，解三角形．
变式：在ABC ∆中，已知45B =o ，60C =o ，12a =cm ，解三角形．
例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===o 中，求和．
变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆==o 中，求和．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正弦定理：
sin sin a b A B =sin c C
= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，
还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.
3．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．
※ 知识拓展 a b =2c R ==，其中2R 为外接圆直径.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a
=，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形
C ．直角三角形
D ．等边三角形
2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，
则a ∶b ∶c 等于（ ）.
A ．1∶1∶4
B ．1∶1∶2
C ．1∶1
D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.
A. A B >
B. A B <
C. A ≥B
D. A 、B 的大小关系不能确定
4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．
5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =
sin sin sin a b c A B C
++++= ．
1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．
2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．
§1.1.2 余弦定理
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．
复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形．
思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？
二、新课导学
※ 探究新知
问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . ∵AC =u u u r ， ∴AC AC •=u u u r u u u r
同理可得： 2222cos a b c bc A =+-，
2222cos c a b ab C =+-．
新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．
思考：这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
从余弦定理，又可得到以下推论：
222
cos 2b c a A bc
+-=， ， ．
[理解定理]
（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
（2）余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角．
试试：
（1）△ABC 中，a =2c =，150B =o ，求b ．
（2）△ABC 中，2a =，b ，1c =，求A ．
※ 典型例题
例1. 在△ABC 中，已知a =b =，45B =o ，求,A C 和c ．
变式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cos C＝
9
10
，则BC＝________．
例2. 在△ABC中，已知三边长3
a=，4
b=，c=，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC中，若222
a b c bc
=++，求角A．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围：
① 已知三边，求三角；
② 已知两边及它们的夹角，求第三边．
※ 知识拓展
在△ABC 中，
若222a b c +=，则角C 是直角；
若222a b c +<，则角C 是钝角； 222C 是锐角．
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知a c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（ ）.
2
2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）. A ．60o B ．75o C ．120o D ．150o
3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）.
A x <x ＜5
C ． 2＜x
D ＜x ＜5 4. 在△ABC 中，|AB u u r |＝3，|AC u u u r |＝2，AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为60°，则|AB u u u r －AC u u u r |＝________．
5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足
222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．
1. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝
1314，求最大角的余弦值．
2. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC u u u r u u u r 的值.
§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）
1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；
2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．
复习1：在解三角形时
已知三边求角，用 定理；
已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理．
复习2：在△ABC 中，已知 A ＝6
π，a ＝，b ＝
二、新课导学
※ 学习探究
探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.
① A ＝
6
π，a ＝25，b ＝
② A ＝6
π，a ，b ＝；
③ A ＝6π，a ＝50，b ＝
思考：解的个数情况为何会发生变化？
新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．
已知边a,b和∠A
有两个解
仅有一个解
无解
CH=bsinA<a<b
a=CH=bsinA
a<CH=bsinA
试试：
1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？
2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？
※典型例题
例1. 在∆ABC中，已知80
a=，100
b=，45
A
∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC中，若1
a=，
1
2
c=，40
C
∠=︒，则符合题意的b的值有_____个．
例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求
sin sin sin a b c A B C
++++的值．
变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 2
ab C =C ．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；
2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；
3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；
4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．
※ 知识拓展
在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解；
②当A 为锐角时，
如果a ≥b ，那么只有一解；
如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若sin a b A >，则有两解；
（2）若sin a b A =，则只有一解；
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3
A B =，则a b b +的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 53
2. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）.
A ．135°
B ．90°
C ．120°
D ．150°
3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．由增加长度决定
4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ．
5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ．
1. 在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．
2. 在∆ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足
222
1
sin
24
a b c
ab C
+-
=，求角C．
§1.2应用举例—①测量距离
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题
复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝2，c＝A为 .
复习2：在△ABC中，sin A＝sin sin
cos cos
B C
B C
+
+
，判断三角形的形状.
二、新课导学
※典型例题
例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51︒，∠ACB=75︒. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).
提问1：∆ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题
题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，
再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，
应用正弦定理算出AB边.
新知1：基线
在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线.
例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.
分析：这是例1的变式题，研究的是两个的点之间的距离测量问题.
首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.
根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC，
再利用余弦定理可以计算出AB的距离.
变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA =60°.
练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
2．基线的选取：
测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45︒的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA =5cm ，则球的半径等于（ ）.
A ．5cm
B ．
C ．1)cm
D ．6cm
2. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向
移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B
在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.
A ．0.5小时
B ．1小时
C ．1.5小时
D ．2小时
3. 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，
则ABC ∆的形状（ ）.
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
4.在ABC ∆中，已知4a =，6b =，120C =o ，则sin A 的值是 ．
5. 一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60o ，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15o ，这时船与灯塔的距离为 km ．
1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，的C、D两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.
2. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距30︒方向；测得灯塔B与A
相距75︒方向. 船由A向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西60︒方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？
§1.2应用举例—②测量高度
1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；
2. 测量中的有关名称.
复习1：在∆ABC中，cos5
cos3
A b
B a
==，则∆ABC的形状是怎样？
复习2：在∆ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若::
a b c=1:1:3，求A:B:C 的值.
二、新课导学
※学习探究
新知：坡度、仰角、俯角、方位角
方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；
坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；
仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.
探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.
分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，
要求AB，先求AE
在ACE
∆中，可测得角，关键求AC
在ACD
∆中，可测得角，线段，又有α
故可求得AC
※典型例题
例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=5440'
︒，在塔底C处测得A处的俯角β=501'
︒. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)
例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15︒的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25︒的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD.
问题1：
欲求出CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
问题2：
在∆BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？
变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.
三、总结提升
※ 学习小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.
※ 知识拓展
在湖面上高h 处，测得云之仰角为α，湖中云之影的俯角为β，则云高为sin()sin()
h αβαβ+-g .
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在∆ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ）.
A ．sin a b A >
B ．sin a b A =
C ．sin a b A <
D ．sin a b A ≥
2. 在∆ABC 中，AB =3，BC AC =4，则边AC 上的高为（ ）.
A B C ．32
D ．3. D 、C 、B 在地面同一直线上，DC =100米，从D 、C 两地测得A 的仰角分别为30o 和45o ，则A 点离地面的高AB 等于（ ）米．
A ．100
B ．
C ．501)
D ．501)
4. 在地面上C 点，测得一塔塔顶A 和塔基B 的仰角分别是60︒和30︒，已知塔基B 高出地面20m ，则塔身AB 的高为_________m ．
5. 在∆ABC 中，b =2a =，且三角形有两解，则A 的取值范围是 ．
1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？
2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，
在A 侧山顶的仰角是30°，求山高.
§1.2应用举例—③测量角度
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.
复习1：在ABC △中，已知2c =，3C π=，且1sin 2ab C =a b ，.
复习2：设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A =60o ，3c =，求
a c
的值.
二、新课导学
※ 典型例题
例1. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒，距离精确到0.01n mile)
分析：
首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC，
然后用余弦定理算出AC边，
再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB.
例2. 某巡逻艇在A处发现北偏东45︒相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
※动手试试
练1. 甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.
练2. 某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；
2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
※ 知识拓展
已知∆ABC 的三边长均为有理数，A =3θ，B =2θ，则cos5θ是有理数，还是无理数？ 因为5C πθ=-，由余弦定理知
222
cos 2a b c C ab
+-=为有理数， 所以cos5cos(5)cos C θπθ=--=-为有理数.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为（ ）.
A ．α>β
B ．α=β
C ．α+β=90o
D ．α+β=180o
2. 已知两线段2a =，b =a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（ ）.
A ．(,)63ππ
B ．(0,]6π
C ．(0,)2π
D ．(0,]4
π
3. 关于x 的方程2sin 2sin sin 0A x B x C ++=g g 有相等实根，且A 、B 、C 是∆的三个内角，则三角形的三边a b c 、、满足（ ）.
A ．b ac =
B ．a bc =
C ．c ab =
D ．2b ac =
4. △ABC 中，已知a :b :c =(+1) :(-1): ，则此三角形中最大角的度数为 .
5. 在三角形中，已知:A ，a ，b 给出下列说法:
(1)若A ≥90°，且a ≤b ，则此三角形不存在
(2)若A ≥90°，则此三角形最多有一解
(3)若A ＜90°，且a =b sin A ，则此三角形为直角三角形，且B =90°
(4)当A ＜90°，a <b 时三角形一定存在
(5)当A ＜90°，且b sin A <a <b 时，三角形有两解
其中正确说法的序号是 .
1. 我舰在敌岛A 南偏西50︒相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10︒的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？
2.
§1.2应用举例—④解三角形
1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；
2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；
3. 能证明三角形中的简单的恒等式．
复习1：在∆ABC 中
（1）若1,120a b B ===︒，则A 等于 ．
（2）若a =2b =，150C =︒，则c = _____．
复习2：
在ABC
∆中，a=2
b=，150
C=︒，则高BD= ，三角形面积= ．
二、新课导学
※学习探究
探究：在∆ABC中，边BC上的高分别记为h
a
，那么它如何用已知边和角表示？
h
a
=b sin C=c sin B
根据以前学过的三角形面积公式S=1
2 ah，
代入可以推导出下面的三角形面积公式，S=1
2
ab sin C，
或S= ，
同理S= ．
新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．
※典型例题
例1. 在∆ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）：（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5︒；
（2）已知B=62.7︒，C=65.8︒，b=3.16cm；
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，
c=38.7cm．
变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）
例2. 在∆ABC中，求证：
（1）
2222
22
sin sin
sin
a b A B
c C
++
=；
（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+ab cos C）．
小结：证明三角形中恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．
※动手试试
练1. 在∆ABC中，已知28
a cm
=，33
c cm
=，45
B=o，则∆ABC的面积是．
练2. 在∆ABC中，求证：
22
(cos cos)
c a B b A a b
-=-．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 三角形面积公式：
S =12
ab sin C = = ． 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．
※ 知识拓展
三角形面积S =， 这里1()p a b c =++，这就是著名的海伦公式．
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在ABC ∆中，2,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（ ）.
A. 32
2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35
，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.
A. 3和5
B. 4和6
C. 6和8
D. 5和7 3. 在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆一定是（ ）三角形．
A. 等腰
B. 直角
C. 等边
D. 等腰直角
4. ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 ．
5. 已知三角形的三边的长分别为54a cm =，61b cm =，71c cm =，
则∆ABC 的面积是 ．
2. 已知在∆ABC 中，∠B =30︒，b =6，c a 及∆ABC 的面积S ．
2. 在△ABC 中，若
sin sin sin (cos cos )A B C A B +=⋅+，试判断△ABC 的形状.
§1.2应用举例（练习）
1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题；
2．三角形的面积及有关恒等式．
复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题来解决．
复习2：基本解题思路是：
①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）；
②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中；
③确定用哪个定理转化，哪个定理求解；
④进行作答，并注意近似计算的要求．
二、新课导学
※典型例题
例1. 某观测站C在目标A的南偏西25o方向，从A出发有一条南偏东35o走向的公路，在C 处测得与C相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，求此人在D处距A还有多远？
例2. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得
顶端A的仰角为2θ，再继续前进
至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和
建筑物AE的高．
例3. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADC
AB的长．
※动手试试
练1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？
练2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？
三、总结提升
※学习小结
1. 解三角形应用题的基本思路，方法；
2．应用举例中测量问题的强化.
※知识拓展
秦九韶“三斜求积”公式：
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 某人向正东方向走x km后，向右转150o，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好
km，则x等于（）.
A． D．3
o o，则塔高为（）米．2.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60
A ．
2003 B C ．4003
D
3. 在∆ABC 中，60A ∠=︒，16AC =，面积为BC 的长度为（ ）.
A ．25
B ．51
C ．．49
4. 从200米高的山顶A 处测得地面上某两个景点B 、C 的俯角分别是30º和45º，且∠BAC ＝45º，则这两个景点B 、C 之间的距离 ．
5. 一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45︒，则货轮的速度 ．
1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2米地面上，另一端在沿堤上
2.8米的地方，求堤对地面的倾斜角.
2. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m 1-），n ＝（cos A ，sin A ）. 若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，求角B .
第一章 解三角形（复习）
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．
复习1： 正弦定理和余弦定理
（1）用正弦定理：
①知两角及一边解三角形；
②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．
（2）用余弦定理：
①知三边求三角；
②知道两边及这两边的夹角解三角形．
复习2：应用举例
① 距离问题，②高度问题，
③ 角度问题，④计算问题．
练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．
二、新课导学
※ 典型例题
例1. 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2
B =，求角
C 的大小及△ABC 最短边的长．
例2. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30o ，相距10海里C 处的乙
北
船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1o）？
例3. 在∆ABC中，设tan2
,
tan
A c b
B b
-
=求A的值．
※动手试试
练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40 min后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C点，求P、C间的距离．
练2. 在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 应用正、余弦定理解三角形；
2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；
3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．
※ 知识拓展
设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（ ）.
A ．9
B ．18
C ．9
D ．2.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（ ）.
A ． 60°
B ． 90°
C ．150°
D ．120°
3. 在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（ ）.
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．不确定的
4. 在△ABC 中，a =b =1cos 3
C =，则ABC S =△_______ 5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，则A =___ ____.
1. 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若
1cos cos sin sin 2
B C B C -=． （1）求A ；
（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积．
2. 在△ABC中，,,
a b c分别为角A、B、C的对边，2228 5 bc
a c b
-=-，a=3，△ABC的面积为6，
（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c.
§2.1数列的概念与简单表示法(1)
学习目标
1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；
2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P28 ~ P30 ，找出疑惑之处）
复习1：函数，当x依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？
复习2：函数y=7x+9，当x依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？
二、新课导学
※学习探究
探究任务：数列的概念
⒈数列的定义：的一列数叫做数列.
⒉数列的项：数列中的都叫做这个数列的项.
反思：
⑴如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？
⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？
3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a L L ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.
4. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项
与n 之间的关系可以用 来表
示，那么 就叫做这个数列的通项公式. 反思：
⑴所有数列都能写出其通项公式？
⑵一个数列的通项公式是唯一？
⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？
5．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；
2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列.
※ 典型例题
例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
⑴ 1，－12，13
，－1
4；
⑵ 1， 0， 1， 0.。