广西桂林十八中高二数学上学期期中试题 文 新人教A版

桂林十八中13-14学年度12级高二上学期段考试卷
数 学（文）
注意：①本试卷共2页，答题卡2页，满分150分，考试时间120分钟；
②请将所有答案填写在答题卡上，选择题用2B 铅笔填涂，填空题或大题用黑色水
性笔书写，否则不得分；
一.选择题:
1.不等式2x x >的解集是（ ）
A ．(0)-∞，
B ．(01)，
C ．(1)+∞，
D ．(0)(1)-∞+∞U ，，
2.设,,a b c R ∈,且a b >,则（ ） A ．ac bc > B ．11
a b
< C ．22a b > D ．33a b >
3.“3x >”是“2
4x >”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ） A ．2
B ．3
C ．2
D ．1
5.下列结论正确的是（ ） A.当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x +
≥； B.当0x >
2+
≥； C.当2x ≥时，1x x +的最小值为2； D.当02x <≤时，1
x x
-无最大值；
6.已知变量x ，y 满足约束条件1
110 x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值为（ ）
A.3
B.1
C.－5
D.－6
7.如图所示,程序据图(算法流程图)的输出结果为（ ） A ．3
4 B ．16 C ．
1112 D ．2524
8.为了得到函数sin 3y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像， 只需把函数sin 6y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像（ ） A.向左平移4π个长度单位 B.向右平移4
π
个长度单位 C.向左平移
2π个长度单位 D.向右平移2
π
个长度单位
9.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( ) A ．16 B ．13 C ．2
3
D ．1
10.关于x 的不等式22280x ax a --<(0a >)的解集为
12(,)x x ,
且2115x x -=,则a =（ ）
A ．52
B ．72
C ．154
D ．152
图 2
1俯视图
侧视图
正视图
2
1
11.等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=, 则3132310log log log a a a +++=L ( )
A.12
B.10
C.8
D.32log 5+ 12.在△ABC 中,2
2
bc b a =-,且80B A -=o
,则内角C 的余弦值为( ) A.1 B.
23 C.12 D.1
3
二.填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分.
13.已知向量a r 和向量b r 的夹角为30o
，||2a =r ，||3b =r ，则向量a r 和向量b r 的数量积
a b ⋅=r r
_________.
(文科试卷第1页)
14.在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=____________________.
15.在数列{}n a 中，若11a =，()1231n n a a n +=+≥，则该数列的通项
5a =________________.
16.若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.
三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长,宽各为多少时, 菜园的面积最大.最大面积是多少?
18.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4
B =． ⑴求b 的值； ⑵求sin
C 的值．
19.已知等差数列{}n a ，公差d 不为零，11a =，且2514,,a a a 成等比数列; ⑴求数列{}n a 的通项公式; ⑵设数列{}n b 满足1
1
n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .
20.如图,直棱柱
111ABC A B C -中,,D E 分别是1,AB BB 的中
点,12
22
AA AC CB AB ====. ⑴证明:DC DE ⊥;
⑵求三棱锥1C A DE -的体积.
21.已知函数：123)(2
--=mx x x f ,4
7)(-
=x x g ． ⑴解不等式()2f x ≥-;
⑵若对任意的[]0,2x ∈,()()f x g x ≥,求m 的取值范围.
22.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+,其中20a ≠. ⑴若22a =,求1a 及n a ; ⑵若21a >-,求证:1()2
n n n
S a a ≤+,并给出等号成立的充要条件.
(文科试卷第2页)
桂林十八中13-14学年度12级高二上学期段考试卷(答案)
二.填空题
提示:
10.()()22
28240x ax a x a x a --=+-<,故12x a =-,24x a =;
12.
由
22
bc b a =-结合正弦定理,得
()()2211
sin sin sin sin 1cos 21cos 222
B C B A B A =-=--- ()()()()()1
cos 2cos 2sin sin sin sin 2
A B A B A B A B B A =
-=-+-=+-, 由()sin sin A B C +=,得()sin sin B B A =-,由于80B A -=o ,故
100B =o ,20A =o ,60C =o .
16.
1335155x y xy y x
+=⇒
+=,
()1331249
3434555555x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭
.
三.解答题
17.解:设矩形的长宽分别为,x y ,则有()236x y +=,18x y +=,
面积2
2
9812x y S xy +⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭
,当且仅当9x y ==时取“＝”,
故当长宽都为9m 时,面积最大为812m .
18.解:⑴由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，得2
2
2
1
23223104
b =+-⨯⨯⨯=，
∴b =
⑵方法1：由余弦定理，得222
cos 2a b c C ab +-=
，==
∵C 是△ABC
的内角，∴sin C ==
. 方法2：∵1cos 4B =
，且B 是ABC ∆
的内角，∴sin B ==． 根据正弦定理，sin sin b c B C
=
，得3sin sin 8c B C b ===．
19.解：⑴由2514,,a a a 成等比数列得，25214()a a a =⋅，即2
(14)(1)(113)d d d +=++,
解得，2d =或0d =（舍）, 12(1)21n a n n =+-=-,
⑵(理科)由⑴1
3)12(--=⋅=n n n n n b a c
123)12(35331--++⨯+⨯+=n n n S Λ,
3
1)31(3213)12()333(213)12(23)12(3)32(3533313112132--⨯-
--=+++---=-+-++⨯+⨯+⨯=---n n
n n n n
n n n n S n n S ΛΛ
23)1(2+-=n n , 所以13)1(+-=n
n n S .
⑵(文科)()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪-⋅+-+⎝⎭
,故
12111111
1111123235212122121
n n n S b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=
-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L .
20.⑴由AC CB AB ==
,知CD AB ⊥,又1CD AA ⊥,故11CD A ABB ⊥面, 11DE A ABB ⊂面,故DC DE ⊥;
⑵(理科)设12AA a =,故可得1
AD =,DE =,13A E a =,故
22211A E A D DE =+,
故1A D DE ⊥,又由⑴得DC DE ⊥,故1DE A DC ⊥面,故所求角的平面角为
ECD ∠,
故sin DE ECD CE ∠===
.
⑵(文科)由⑴知11CD A ABB ⊥面,又1A DE ∆为直角三角形(理科已证)
故111111
13232
C A DE V C
D A D D
E -=⋅⋅⋅⋅==.
21.解:⑴()2f x ≥-可化为2
3210x mx -+≥,()
243m ∆=-,
①当0∆≤时,即m ≤≤时,不等式的解为R;
②当0∆>时,即m <m >,1x =,2x =,
不等式的解为x <x >;
⑵(理科)4
7
||1232
-
≥--x mx x ，对任意的)2,1(-∈x 恒成立, ①当20<<x 时，043)12(32≥++-x m x ，即1243
3+≥+
m x
x 在20<<x 时恒成立; 因为343
3≥+x x ，当2
1=x 时等号成立．所以123+≥m ，即1≤m ; ②当01<<-x 时，04
3
||)12(||32
≥+
-+x m x ，即m x x 21||43||3-≥+在01<<-x 时恒成立，
因为343
3≥+
x x ，当2
1-=x 时等号成立．
所以m 213-≥，即1-≥m ;
③当0=x 时，R m ∈．综上所述，实数m 的取值范围是]1,1[-．
⑵(文科)4
7
||1232
-
≥--x mx x ，对任意的[]0,2x ∈恒成立, ①当02x <≤时，043)12(32≥++-x m x ，即1243
3+≥+
m x
x 在20<<x 时恒成立; 因为343
3≥+x x ，当2
1=x 时等号成立．所以123+≥m ，即1≤m ; ②当0=x 时，R m ∈．综上所述，实数m 的取值范围是(],1-∞．
22.解:⑴121n n S a S a +=+ ………①,
当1n =时代入①,得2211S a S a =+,解得11a =;
由①得211n n S a S a -=+,两式相减得12n n a a a +=(2n ≥),故1
2n n
a a a +=,故{}n a 为公比为2的等比数列,
故1
2n n a -=(对1n =也满足);
⑵当1n =或2时,显然1()2
n n n
S a a =
+,等号成立. 设3n ≥,21a >-且20a ≠,由(1)知,11a =,1
2n n a a -=,所以要证的不等式化为:
()()21122221132
n n n
a a a a n --++++≤
+≥L 即证:()()2222211122n
n n a a a a n +++++≤+≥L 当21a =时,上面不等式的等号成立.
当211a -<<时,21r a -与21n r
a --,(1,2,3,,1r n =-L )同为负; 当21a >时, 21r a -与21n r
a --,(1,2,3,,1r n =-L )同为正; 因此当21a >-且21a ≠时,总有 (21r a -)(21n r
a --)>0,即
2221r n r n a a a -+<+,(1,2,3,,1r n =-L ).
上面不等式对r 从1到1n -求和得,()2
222
22()(1)1n r
n a a a n a -+++<-+L ;
由此得()2
22221
112n
n n a a a a +++++<
+L ; 综上,当21a >-且20a ≠时,有1()2
n n n
S a a ≤+,当且仅当1,2n =或21a =时等号
成立.。