勾股定理

据说我国著名数学家华罗庚 据说我国著名数学家华罗庚 认为，发射“勾股定理图” 是最 认为，发射“勾股定理图” 好的选择， 好的选择，因为宇宙人如果是 文明人” “文明人”，那么他们一定会识 别这种“语言” 别这种“语言”的！
图中每个小方格代表一个单位面积） 1．观察图1-1（图中每个小方格代表一个单位面积） 观察图1 正方形A中含有 正方形 中含有 9 个 小方格，即A的面积是 小方格， 的面积是
2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 两直角边的平方和等于斜边的平方 是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？ 是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？ 这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证 明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百 到目前为止， 种之多.下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样 种之多 下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样 证明这个命题的． 证明这个命题的．
活动 1
你见过这个图案吗？ 你见过这个图案吗？
这就是本届大会 会徽的图案． 会徽的图案．
你听说过勾股定理吗？ 你听说过勾股定理吗？
这个图案是我国汉代数学 家赵爽在证明勾股定理时用到 被称为“赵爽弦图” 的，被称为“赵爽弦图”．
活动 2
1955年希腊发行 年希腊发行 了一张纪念一位数 学家的邮票， 学家的邮票，图案 是由三个棋盘排列 而成． 而成．你知道图案 所表示的意义吗？ 所表示的意义吗？
思考： 思考：
（4）变式：你还能求出 1、S2、 ）变式：你还能求出S S3之间的关系式吗？ 之间的关系式吗？
我做了… … 我做了 我感受了… … 我感受了 我知道了… … 我知道了
c2=a2+b2
活动 5
小结： 小结：
勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的 又一个特征． 又一个特征． 人类对勾股定理的研究已有近3000 人类对勾股定理的研究已有近3000年的历 3000年的历 史，勾股定理在我国古代数学中占有十分重要 的地位， 的地位，千百年来逐渐形成了一门以勾股定理 及其应用为核心的中国式的几何学． 及其应用为核心的中国式的几何学．
朱实 中黄实 c b a ( b- a) 2 - )
赵爽弦图的证法
S大正方形 = S小正方形 + 4S直角三角形 ab c = (b − a) + 4 ⋅ 2
2 2
朱实 中黄实 b a
c
( b- a) 2 - )
化简得： 化简得： c2 =a2+ b2．
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和 直角三角形两直角边的平方和等 三角形两直角边的平方 于斜边的平方． 于斜边的平方． 如果直角三角形两直角边分别为a、 如果直角三角形两直角边分别为a、 b，斜边为c，那么 ，斜边为 ，
活动 2
相传2500年前，毕达哥拉斯有一 年前， 相传 年前 次在朋友家里做客时， 次在朋友家里做客时，发现朋友家用 砖铺成的地面中反映了直角三角形三 边的某种数量关系． 边的某种数量关系．
我们也来观察 右图中的地面， 右图中的地面，看 看有什么发现？ 看有什么发现？
茫茫太空， 茫茫太空，人类一直在探索地球外的生 我们如何与外星人沟通， 命，我们如何与外星人沟通，我们一直 在思考…… 在思考
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正 方形面积之和等于斜边 上的正方形的面积． 上的正方形的面积．
B
图1-2
C A B
图1-3
4．你能发现直角三 ． 角形三边长度之间 存在什么关系吗？ 存在什么关系吗？ 与同伴交流． 与同伴交流．
A
c a b
C
B
图1-2
C A B
图1-3
a
c
b
a +b = c
2 2
勾股树
活 动 4
例题： 例题： （1）在直角△ABC中，∠A、∠B、∠C所 ）在直角△ 中 、 、 所
对的边分别为a、 、 且 对的边分别为 、b、c且a=3、b=4,则c等于 、 则 等于 多少？ 多少？
B
a
C
c
b A
练习： 练习：
（2）求出下列直角三角形中未知的边． ）求出下列直角三角形中未知的边．
由勾股定理可知： 在Rt△ ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知： △ 中 ° 由勾股定理可知
AC =
AB + BC
2
2
= 1 +2 = 5
2 2
分别以Rt （4）如图 分别以 △ABC ）如图.分别以 三边为边向外作三个正方形， 三边为边向外作三个正方形， C S2 其面积分别用S 其面积分别用 1、S2、S3表 S 3 B A 容易得出S 示，容易得出 1、S2、S3之 S1 间有的关系式 为 S1 = S 2 + S 3 ．
A的面积 B的面积 C的面积 的面积 的面积 的面积 图1-2 图1-3
16 4
9 9
25 13
A
a
c
C
b
B
图1-2
C A B
图1-3
A的边长 B的边长 C的边长 的边长 的边长 的边长 图1-2
4
3
5
你是怎样得到 表中的结果的？ 表中的结果的？与 同伴交流交流． 同伴交流交流．
3．三个正方形A,B,C面 ．三个正方形 面 积之间有什么关系？ 积之间有什么关系？ A C
布置作业： 布置作业：
收集有关勾股定理的证明方法， 收集有关勾股定理的证明方法，下节课 展示、交流． 展示、交流．
早在三千多年前周朝数学家商高就 提出勾三、股四、弦五， 提出勾三、股四、弦五，并在后来被记 载在中国古代著名数学著作《周髀算经》 载在中国古代著名数学著作《周髀算经》 之中，故叫“商高定理” 之中，故叫“商高定理”，一千多年后 西方的毕达哥拉斯证明了此定理. 西方的毕达哥拉斯证明了此定理.因此 又叫“毕达哥拉斯定理” 又叫“毕达哥拉斯定理”，当时毕达哥 拉斯学派为了纪念这一发现， 拉斯学派为了纪念这一发现，杀了一百 头牛庆功，故而还叫“百牛定理” 头牛庆功，故而还叫“百牛定理”，一 个定理有如此多的头衔， 个定理有如此多的头衔，可见勾股定理 的不凡。 的不凡。
活动 3 看左边的图案， 看左边的图案，这个图 案是公元 3 世纪我国汉代的 赵爽在注解《周髀算经》 赵爽在注解《周髀算经》时 给出的，人们称它为“ 给出的，人们称它为“赵爽 弦图” 赵爽根据此图指出： 弦图”．赵爽根据此图指出： 四个全等的直角三角形（红 四个全等的直角三角形（ 色）可以如图围成一个大正 方形，中间的部分是一个小 方形，中间的部分是一个小 黄色）． 正方形 （黄色）．
B
A 10
A
6
C 回答： 回答：
8 C
①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ 在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ ②直角三角形哪条边最长？ 直角三角形哪条边最长？
（3）在长方形 ）在长方形ABCD中，宽AB为1m， 中 为 ， 长BC为2m ，求AC长． 为 长
A 1m B 2m C D
C A
a c
9 9
个单位面积． 个单位面积．
正方形B的面积是 正方形 的面积是 个单位面积． 个单位面积．
b
B
图1-1
你是怎样得到上面的 结果的？ 结果的？与同伴交流 交流． 交流．
正方形C的面积是 正方形 的面积是
18 个单位面积． 个单位面积．
2．观察右边两个图 ． 并填写下表： 并填写下表：
B
a +b = c
2 2
2
a
C
c
b A
勾 股

在中国古代， 在中国古代，人们把弯曲成直角的 手臂的上半部分称为“ 手臂的上半部分称为“勾”，下半部分 称为“股”．我国古代学者把直角三角 称为“ 形较短的直角边称为“ 形较短的直角边称为“勾”，较长的直 角边称为“ 斜边称为“ 角边称为“股”，斜边称为“弦”．所 勾股定理。 以我国古代把此定理称为勾股定理 以我国古代把此定理称为勾股定理。