天津市南开区2019届高三下学期一模考试数学(文)试题(含答案)

⎪ 2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一)
数 学 试 卷（文史类）
2019.03
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分，考试时间 120
分钟．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页．
祝各位考生考试顺利！
第 Ⅰ 卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 参考公式：
· 锥体的体积公式 V 圆柱=Sh ，其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的
高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合 A={x |–2≤x ≤2}，B={x |，那么 A ∩B=（
）．
（A ）{x |–2≤x ≤1} （B ）{x |–2≤x ＜1} （C ）{x |x ＜–2} （D ）{x |x ≤2}
⎧2x + y ≥
0， ⎪⎪
x + 2 y - 2 ≥ 0， （2）设变量 x ，y 满足约束条件 ⎨
x ≤ 0， 则目标函数 z=x –y
⎪⎩ y ≤
3， 的最大值为（
）．
（A ）1
（B ）–1
（C ） 3
2
（D ）–3
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 3，则输出的
i=（ ）．
（A ）4
（B ）5
（C ）6
（D ）
7
（4）设 a ，b ∈R ，则“a ＜b ”是“(a –b )a 2＜0”的（
）．
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
π
（5）函数 y=2sin ( 3
–2x )（x ∈[0，π]）为增函数的区间是（
）．
（A ）[0， 5π
12 ] （B ）[0， π
2 ]
（C ）[
5π 12 11π ， 12
] （D ）[ 11π 12 ，π] （6）函数 f (x )是奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，f (–3)=0，则不等式 xf (x )＜0 的解
集为（
）．
（A ）(–3，0)∪(3，+∞) （B ）(–∞，–3)∪(0，3) （C ）(–∞，–3)∪(3，+∞)
（D ）(–3，0)∪(0，3)
（7）过双曲线 x
a 2 - y 2
b 2
= 1（a ＞0，b ＞0）的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线于
A ，
B 两点，若 B 为线段 F A 的中点，且 OB ⊥F A （O 为坐标原点），则双曲线的离
心率为（ ）．
（A ） （B ） π
（C ）2
（D ） （8）如图，在△ABC 中，∠BAC= ， A D =2 DB ，
3
P 为 CD 上一点，且满足 AP =m AC + 1
2
AB ，
若 AB=2，△ABC 的面积为 2 3 ，则| AP |为 （
）．
（A ）
（B ） （C ）3 （D ） 4
3
2
3
5
2 3
2
2 ⎩
第 Ⅱ 卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共 12 小题，共 110 分．
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．请
将答案填在题中横线上。

（9）已知复数 z=
1 + 3i ，则 z 的实部为
．
3 - i
（10）已知函数 f (x )=(ax 2+x –1)e x +f '(0)，则 f '(0)的值为 ．
（11）如图，正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，E ，F 分别
为线段 AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥 D 1-EDF 的体积是为
．
（12）已知 P 为抛物线 C ：y 2=4 x 上一点，点 M ( ，0)，若|PM |=4 ，则
△POM （O 为坐标原点）的面积为 ．
2x + y （13）已知 x ，y 均为正实数，且 x+3y=2，则
xy
⎧x 2 - 5x + 6，x ≥ 0
的最小值为 ．
（14
）设函数 f (x )= ⎨4x + 4，x < 0.
若函数 g (x )=x+a –f (x )有三个零点，则这三个
零点之和的取值范围是 ．
2 2
三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（15）（本小题满分 13 分）
某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
（Ⅰ）求这 5 天的平均发芽率；
（Ⅱ）从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天，记发芽的种子数分别为 m ，n ，用(m ，n )的形式列出所有的基本事件，并求满足“m ，n ∈[25，30]”的事件 A 的概率．
7
（16）（本小题满分 13 分）
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，B=2C ，sin C= ．
4
（Ⅰ）求 cos A 的值；
（Ⅱ）设 bc=24，求边 a 的长．
（17）（本小题满分 13 分）
如图，在三棱锥 S ABC 中，SA ⊥底面 ABC ，AC=AB=SA=2，AC ⊥AB ，D ，E 分别是
AC ，BC 的中点，F 在 SE 上，且 SF=2FE ．
（Ⅰ）求异面直线 AF 与 DE 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面 SBC ；
（Ⅲ）设 G 为线段 DE 的中点，求直线 AG 与平面 SBC 所成角的余弦值．
S
B
C
F
A
D G
E
（18）（本小题满分13 分）
已知数列{a n}是等差数列，S n 为其前n 项和，且a5=3a2，S7=14a2+7．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；a n=2n–1
（Ⅱ）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为2 的等比数列，求数列{b n(a n+b n)}的前n 项和T n．
2
（19）（本小题满分 14 分）
已知椭圆 C ： x
a 2 + y 2
b 2
= 1（a ＞b ＞0）的离心率为 3
，两焦点与短轴的一个端点的连
线构成的三角形面积为 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设与圆 O ：x 2+y 2= 3
相切的直线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点（O 为坐标原点），
4
求△AOB 面积的最大值．
6
2
（20）（本小题满分 14 分）
已知函数 f (x )= ln x ． x
（Ⅰ）（Ⅰ）求曲线 y=f (x )在点(e ，f (e ))处的切线方程；
1
（Ⅱ）若函数 f (x )在区间(m ，m+ 3
1 + x
)（m ＞0）上存在极值，求实数 m 的取值范围；
（Ⅲ）设 g (x )= a
范围．
[xf (x )–1]，对任意 x ∈(0，1)恒有 g (x )＜2x –2，求实数 a 的取值
6 7 2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一)
数学试卷（文史类）参考答案
2019.03
一、选择题：
二、填空题：
（9）0； （10）0； （11） 1
； 6 （12）2 3 ；
（13） 7
+ ；
（14）( 11 ，6)
2
3
三、解答题：（其他正确解法请比照给分）
（15）解：（Ⅰ）这 5 天的平均发芽率为
23 + 25 + 30 + 26 + 16
100 100 100 100 100 ×100%=24%． ………………5 分 5
（Ⅱ）m ，n 的取值情况有(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，
(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，
(30，16)，(26，16)， 基本事件总数为 10．
………………9 分
则事件 A 包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26)．……10 分
3 所以 P (A )= 10
．
………………13 分
（16）解：（Ⅰ）∵B=2C ，sin C=
，
4 ∴cos B=cos2C=1–2sin 2C= 1
．
………………2 分
8
∵B=2C ，∴C 为锐角，∴cos C ＞0，
∴cos = 3 ． ………………4 分
4
2 2
3 F
A D G
E
P
而 sin
=
3 7 ， ………………6 分
8
9
∴cos A=–cos (B+C )=–(cos B cos C –sin B sin C )=
16
． ………………9 分
（Ⅱ）∵ b sin B 3
= c sin C 而 sin C= ，sin B= 4 8
， ………………10 分
∴b= 2
c ，又 bc=24，∴b=6，c=4，
………………12 分 ∴a 2=b 2+c 2–2bc cos A=25，∴a=5．
………………13 分
（17）解：（Ⅰ）连结 BF ．
在△ABC 中，D ，E 分别是 AC ，BC 的中点， ∴DE ∥AB ，
∴∠FAB 或其补角为异面直线 AF 与 DE 所成角．
……………………2 分
由 AC=AB=SA=2，AC ⊥AB ，E 是 BC 的中点，得 AE= ． ∵SA ⊥底面 ABC ，∴SA ⊥AE ．
在 Rt △SAE 中，SE= ，可得
AF= 2 3 ． ……………………4 分
3
∵SA ⊥底面 ABC ，∴SA ⊥BC ，又 BC ⊥AE ， S
∴BC ⊥平面 SAE ， ∴BC ⊥SE ，
1 ∵EF=
∴BF=
SE= 3 3
． 3
，BE= ，
B
C
∴cos ∠FAB= ，
3
7 3 7 6 6
2 6
2 5 10 即异面直线 AF 与 DE 所成角的余弦值 3
．
……………………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 AE 2=EF 2+AF 2，∴AF ⊥SE ．
∵BC ⊥平面 SAE ，∴BC ⊥AF ． 又 SE ∩BC=E ，∴AF ⊥平面 SBC ． ……………………9 分
（Ⅲ）延长 AG 交 BC 于 P 点，连结 PF ．
由（Ⅱ）知 AF ⊥平面 SBC ，∴PF 为 AP 在平面 SBC 上的投影， ∴∠APF 即为直线 AG 与平面 SBC 所成角． ……………………11 分
∵G 为线段 DE 的中点， ∴CP=2PE ， 又 SF=2FE ，
∴PF= 1 3
SC= 3 ，AP= ，
3
∴cos ∠APF= ，
5
即直线 AG 与平面 SBC 所成角的余弦值为
． ……………………13 分
5
（18）解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差是
d ．由 a 5=3a 2 得 d=2a 1， ………①
由 S 7=14a 2+7 得 d=a 1+1，………② 由①②解得 a 1=1，d=2．
所以数列{a n }的通项公式为 a n =2n –1．
…………………4 分
（Ⅱ）由数列{a n +b n }是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
得 a n +b n =2n –1，即 2n –1+b n =2n –1， 所以 b n =2n –1–2n+1．
…………………6 分所以 b n (a n +b n )=2n –1·(2n –1–2n+1)=4n –1–(2n –1)·2n –1．
…………………7 分 3 2 2 10
y 2 2 2 2 2 ∴P n =40+41+…+4n –1
=
1 - 4n 1 - 4 4n - 1 = 3
． …………………8 分
Q n =1·20+3·21+5·22+…+(2n –3)·2n –2+(2n –1)·2n –1 ……③ 2Q n =1·21+3·22+5·23+…+(2n –3)·2n –1+(2n –1)·2n
……④
③–④得 –Q n =1·20+2·21+2·22+…+2·2n –1–(2n –1)·2n
=(3–2n )·2n –3，
∴Q n =(2n –3)·2n +3．
…………………12 分
∴T n =P n –Q n = 4n - 1 3 –(2n –3)·2n –3= 4 3 –(2n –3)·2n – 10 3
．…………………13 分
（19）解：（Ⅰ）由题设： c =
a
6 ，bc= 3
，解得 a 2=3，b 2=1，
∴椭圆 C 的方程为 x 2
+
2 3 = 1 ． ………………………………3 分
（Ⅱ）设 A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． （1）当 AB ⊥x 轴时，|AB |= 3 ．
………………………………4 分
（2）当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y=kx+m ，
=
3
，得 m 2= 3 (k 2+1)． ………………………………6 分
2
4 把 y=kx+m 代入椭圆方程消去 y ，整理得(3k 2+1)x 2+6kmx+3m 2–3=0，
-6km
有 x 1+x 2= 3k 2 +1 ，x 1x 2= 3(m 2
-1)
3k 2 +1
． ………………………………7 分
2 2 2 2 ⎡ 36k 2m 2
12(m 2 -1)⎤ 得|AB | =(1+k )(x 1–x 2) =(1+k ) ⎢(3k 2
+ 1)2 - 3k 2 +1 ⎥ ⎣ ⎦
=
12(k
+1)(3k + 1- m ) =
3(k + 1)(9k +1) (3k 2 + 1)2 (3k 2 + 1)2
………………………9 分
2 n
3 1 = +
12k 2
= +
12 k 0
3
9k 4 + 6k 2 +1
3
1 （ ≠ ）
9k 2 + + 6
k 2
≤ 3 + 12
2 ⨯
3 + 6
=4，
当且仅当9k 2
= 1 k 2
，即k =± 时等号成立．
………………………………12 分 3
当 k=0 时，|AB |= ．
………………………………13 分
综上所述|AB |max =2，从而△AOB 面积的最大值为
3 ．
……………………14 分
2
（20）解：（Ⅰ）f '(x )= - ln x
x
2
．
……………………1 分 故切线的斜率为 f '(e )= - ，又 f (e )= 2
e 2 e ，
……………………3 分 ∴切线方程为：y – 2 = - 1
(x –e )，即 x+e 2y –3e =0．
……………………4 分
e e 2
（Ⅱ）当 0＜x ＜1 时，f '(x )＞0；当 x ＞1 时，f '(x )＜0，
∴f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 故 f (x )在 x=1 处取得极大值．
………………………6 分
1
∵f (x )在区间(m ，m+ 3 1 )（m ＞0）上存在极值，
2
∴0＜m ＜1 且 m+ 3 ＞1，解得 3
＜m ＜1．
………………………8 分
（Ⅲ）由题可知，a ≠0，且 g (x )= 1 + x
a
ln x ，
∵x ∈(0，1)，∴ln x ＜0，2x –2＞0．
当 a ＜0 时，g (x )＞0，不合题意．
………………………9 分
2a (1 - x ) 当 a ＞0 时，由 g (x )＜2x –2，可得 ln x+ 2a (1 - x )
1 + x
＜0 恒成立．……………10 分
设 h (x )=ln x+ 1 + x
，则 h (x )max ＜0， ………………………11 分
3
求导得：h'(x)= x2 +(2 - 4a)x +1
．x(1 +x)2
设t(x)=x2+(2–4a)x+1，△=16a(a–1)．
①当0＜a≤1 时，△≤0，此时：t(x)≥0，h'(x)≥0，
∴h(x)在(0，1)内单调递增，又h(1)=0，所以h(x)＜
h(1)=0．所以0＜a≤1 符合条件．
②当a＞1 时，△＞0，注意到t(0)=1，t(1)=4(1–a)＜0，
∴存在x0∈(0，1)，使得t(x0)=0，
于是对任意x∈(x0，1)，t(x)＜0，h'(x)＜0．则h(x)在(x0，1)内单调递减，又h(1)=0，所以当x∈(x0，1)时，h(x)＞0，不合要求，
综合①②可得0＜a≤1．………………………14 分。