2025年中考数学思想方法复习系列 【新定义问题】圆中的新定义问题(原卷版)

圆中的新定义问题
知识方法精讲
1．解新定义题型的方法：
方法一:从定义知识的新情景问题入手
这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。

方法二：从数学理论应用探究问题入手
对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．
方法三：从日常生活中的实际问题入手
对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。

2．解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
3．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．4．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n 是表示1°的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
一．填空题（共2小题）
1．（2021•禄劝县模拟）如图，ABC ∆是正三角形，曲线CDEF ⋯叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD 、弧DE 、弧EF 的圆心依次按A 、B 、C ⋯循环，它们依次相连接．若1AB =，则曲线CDEF 的长是．
2．（2020•成都模拟）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是ABC ∆两边的中点，如果 DE
（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在ABC ∆的内部或边上，则称 DE
为ABC ∆的中内弧，例如，图中 DE
是ABC ∆其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点(0,4)F ，(0,0)O ，(4,0)H ，在FOH ∆中，M ，N 分别是FO ，FH 的中点，FOH ∆的中内弧 MN
所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围是．
二．解答题（共18小题）
3．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为2．点P ，Q 为⊙O 外两点，给出如下定义：若⊙O 上存在点M ，N ，使得以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形为矩形，则称点P ，Q 是⊙O 的“成对关联点”．
（1）如图，点A ，B ，C ，D 横、纵坐标都是整数．在点B ，C ，D 中，与点A 组成⊙O
的“成对关联点”的点是；
（2）点E（t，t）在第一象限，点F与点E关于x轴对称，若点E，F是⊙O的“成对关联点”，直接写出t的取值范围；
（3）点G在y轴上，若直线y＝4上存在点H，使得点G，H是⊙O的“成对关联点”，直接写出点G的纵坐标y G的取值范围．
4．（2021秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d．则称点P为图形W的“倍点”．
（1）如图1，图形W是半径为1的O
．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为；
②在点
1(0,2)
P，
2(3,3)
P，
3(3,0)
P-中，O
的“倍点”是；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，点(1,1)
A-．若点(,3)
E t是正方形ABCD 的“倍点”，求t的值；
（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的O
上存在线段MN 的“倍点”，直接写出所有满足条件的点T组成的图形的面积．
5．（2021秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：若图形M 和图形N 有且只有一个公共点P ，则称点P 是图形M 和图形N 的“关联点”．
已知点(2,0)A ，(0,2)B ，(2,2)C ，D ．
（1）直线l 经过点A ，B 的半径为2，在点A ，C ，D 中直线l 和B 的“关联点”是；
（2）G 为线段OA 中点，Q 为线段DG 上一点（不与点D ，G 重合），若Q 和OAD ∆有“关联点”，求Q 半径r 的取值范围；
（3）T 的圆心为点(0T ，)(0)t t >，半径为t ，直线m 过点A 且不与x 轴重合．若T 和直线m 的“关联点”在直线y x b =+上，请直接写出b 的取值范围．
6．（2021秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴上，以点M 为圆心的圆与x 轴交于(1,0)A ，(4,0)B 两点，对于点P 和M ，给出如下定义：若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ，B 两点且顶点为P ，则称点P 为M 的“图象关联点”．
（1）已知(5,2)E ，5(2F ，4)-，(3,1)G ，5(2
H ，3)，在点E ，F ，G ，H 中，M 的”图象关联点”是；
（2）已知M 的“图象关联点”P 在第一象限，若53OP PM =
，判断OP 与M 的位置关系，并证明；
（3）已知(4,2)C ，(1,2)D ，当M 的“图象关联点”P 在M 外且在四边形ABCD 内时，直接写出抛物线2y ax bx c =++中a 的取值范围．
7．（2021秋•海淀区校级期末）平面内的O 和O 外一点A ，过点A 的直线l 与O 交于B ，
C 两点(B 在A ，C 之间）
，点D 为平面内一点．若以AD 为边的正方形ADEF 的面积等于分别以AB ，AC 为一组邻边的矩形的面积，则称正方形ADEF 为点A 关于O 的“原本正方形”，该正方形的中心称为点A 关于O 的“原本点”．
如图所示，正方形ADEF 的面积等于矩形AMNC 的面积，其中AM AB =，称正方形ADEF 为点A 关于O 的“原本正方形”，该正方形中心点G 称为点A 关于O 的“原本点”．特别的，当点D 恰好在O 上时，称此时正方形的中心G 为点A 关于O 的“单纯原本点”．
（1）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为4，(6,0)A -．
①过点A 的直线l 与x 轴重合，则点A 关于O 的“原本正方形”的边长为；②过点A 的直线l 与x 轴夹角为30︒，则点A 关于O 的“原本点”中，横纵坐标均为整数的点有个．
（2）M 的圆心为(,0)M m ，半径为1．点A 为坐标平面上一点，且MA =，过点A 的直线l 与M 交于B ，C 两点．直线5y x =-+与x ，y 轴分别交于点D 和点E ，若线段DE 上存在点A 关于M 的“原本点”，求m 的取值范围．
（3）N 的圆心为(N n ，0)(0)n >，半径为5
ON ．点H 为坐标平面内一点，过点H 的
直线l 与N 有两个交点，且ON NH =．若直线6y =+上存在点P ，使得点P 为点H 关于N 的“单纯原本点”，直接写出n 的最小值．
8．（2021秋•门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，(0,2)C ，C 的半径为1．如果将线段AB 绕原点O 逆时针旋转(0180)αα︒<<︒后的对应线段A B ''所在的直线与C 相切，且切点在线段A B ''上，那么线段AB 就是C 的“关联线段”，其中满足题意的最小α就是线段AB 与C 的“关联角”．
（1）如图1，如果(2,0)A ，线段OA 是C 的“关联线段”，那么它的“关联角”为
︒．
（2）如图2，如果1(3,3)A -、1(2,3)B -，2(1,1)A 、2(3,2)B ，3(3,0)A 、3(3,2)B -．那么C 的“关联线段”有
（填序号，可多选）．①线段11
A B ②线段22
A B ③线段33A B
（3）如图3，如果(1,0)
D t，线段BD是C
B、(,0)
的“关联线段”，那么t的取值范围是．
（4）如图4，如果点M的横坐标为m，且存在以M为端点，的线段是C
的“关联线段”，那么m的取值范围是．
9．（2021秋•海淀区校级期末）新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若几何图形G 与A 有公共点，则称几何图形G 的叫A 的关联图形，特别地，若A 的关联图形G 为直线，则称该直线为A 的关联直线．如图，M ∠为A 的关联图形，直线l 为A 的关联直线．
（1）已知O 是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：
①直线22y x =+；②直线3y x =-+；③双曲线2y x =
，是O 的关联图形的是（请直
接写出正确的序号）．
（2）如图1，T 的圆心为(1,0)T ，半径为1，直线:l y x b =-+与x 轴交于点N ，若直线l 是T 的关联直线，求点N 的横坐标的取值范围．
（3）如图2，已知点(0,2)B ，(2,0)C ，(0,2)D -，I 经过点C ，I 的关联直线HB 经过点B ，与I 的一个交点为P ；I 的关联直线HD 经过点D ，与I 的一个交点为Q ；直线HB ，HD 交于点H ，若线段PQ 在直线
6x =上且恰为I 的直径，请直接写出点H 横坐标h 的取值范围．
10．（2021秋•工业园区校级期中）在平面直角坐标系内，过T （半径为)r 外一点P 引它的一条切线，切点为Q ，若02PQ r < ，则称点P 是T 的“沙湖点”
．（1）当O 的半径为1时，
①在点(4,0)A ，B ，C 中，O 的“沙湖点”是；②点D 在直线3y x =+上，且点D 是O 的“沙湖点”，求点D 的横坐标d 的取值范围；
（2）M 的圆心为(,0)M m ，半径为2，直线22y x =-与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若直线EF 上的所有点都是M 的“沙湖点”，求m 的取值范围．
11．（2021秋•溧阳市期中）概念认识：
平面内，M 为图形T 上任意一点，N 为O 上任意一点，将M 、N 两点间距离的最小值称为图形T 到O 的“最近距离”，记作()d T O - ．例：如图1，在直线l 上有A 、C 、O 三点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，以点O 为圆心作圆，与l 交于E 、F 两点，若将正方形ABCD 记为图形T ，则C 、E 两点间的距离称为图形T 到 的“最近距离”．数学理解：
（1）在平面内有A 、B 两点，以点A 为圆心，5为半径作A ，将点B 记为图形T ，若()2d T A -= ，则AB =．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，以(0,0)O 为圆心，半径为2作圆．①将点(4,3)C 记为图形T ，则()d T O -= ．
②将一次函数y kx =+的图记为图形T ，若()0d T -> ，求k 的取值范围．推广运用：
（3）在平面直角坐标系中，P 的坐标为(,0)t ，P 的半径为2，
D 、
E 两点的坐标分别为(5,5)、(5,5)-，将DOE ∆记为图形T ，若()1d T P -= ，则t =．
12．（2021•常州一模）在平面直角坐标系xOy 中，O ，A ，B 为O 外两
点，AB =．给出如下定义：平移线段AB ，使平移后的线段A B ''成为O 的弦（点A '，
B '分别为点A ，B 的对应点）
，线段AA '长度的最小值成为线段AB 到O 的“优距离”．
（1）如图1，O 中的弦12P P 、34P P 是由线段AB 平移而得，这两条弦的位置关系是；在点1P ，2P ，3P ，4P 中，连接点A 与点的线段长度等于线段AB 到O 的“优距离”；
（2）若点(0,7)A ，(2,5)B ，线段AA '的长度是线段AB 到O 的“优距离”，则点A '的坐标为；
（3）如图2，若A ，B 是直线6y x =-+上两个动点，记线段AB 到O 的“优距离”为d ，则d 的最小值是；请你在图2中画出d 取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．
13．（2021•建邺区二模）【概念学习】
在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，若O 平移d 个单位后，使某图形上所有点在
O 内或O 上，
则称d 的最小值为O 对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，(3,0)A ，(4,0)B ，则O 对线段AB 的“最近覆盖距离”为3．
【概念理解】
（1）O 对点(3,4)的“最近覆盖距离”为．
（2）如图②，点P 是函数24y x =+图象上一点，且O 对点P 的“最近覆盖距离”为3，则点P 的坐标为
．
【拓展应用】
（3）如图③，若一次函数4y kx =+的图象上存在点C ，使O 对点C 的“最近覆盖距离”为1，求k 的取值范围．
（4）(3,)D m 、(4,1)E m +，且42m -<<，将O 对线段DE 的“最近覆盖距离”记为d ，则d 的取值范围是．14．（2021•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于M 内的一点P ，若在M 外存在点P '，使得2MP MP '=，则称点P 为M 的二倍点．
（1）当O 的半径为2时，
①在1(1,0)T ，2(1,1)T -，3(2T -，32三个点中，是O 的二倍点的是；
②已知一次函数2y kx k =+与y 轴的交点是(0,)A a ，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是O 的二倍点，求a 的取值范围．
（2）已知点(,0)M m ，1(0,)2B -，1(1,)2
C -，M 的半径为2，若线段BC 上存在点P 为M 的二倍点，直接写出m 的取值范围．
15．（2020•雨花区校级一模）在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和正实数k ，给出如下定义：当20ka b +>时，以点P 为圆心，2ka b +为半径的圆，称为点P 的“k 倍雅圆”例如，在图1中，点(1,1)P 的“1倍雅圆”是以点P 为圆心，2为半径的圆．
（1）在点1(3,1)P ，2(1,2)P -中，存在“1倍雅圆”的点是
．该点的“1倍雅圆”的半径为．（2）如图2，点M 是y 轴正半轴上的一个动点，点N 在第一象限内，且满足30MON ∠=︒，试判断直线ON 与点M 的“2倍雅圆”的位置关系，并证明；
（3）如图3，已知点(0,3)A ，(1,0)B -，将直线AB 绕点A 顺时针旋转45︒得到直线l ．①当点C 在直线l 上运动时，若始终存在点C 的“k 倍雅圆”，求k 的取值范围；
②点D 是直线AB 上一点，点D 的“34倍雅圆”的半径为R ，是否存在以点D 为半径的圆与直线l 有且只有1个交点，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2020•丰台区二模）过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆．特别地，半径最小的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆．
在平面直角坐标系xOy 中，点(0,2)P ．
（1）已知点(0,1)A ，(1,1)B ，(2,2)C ，分别以A ，B 为圆心，1为半径作A ，B ，以C 为圆心，2为半径作C ，其中是点P 和x 轴的点线圆的是；
（2）记点P 和x 轴的点线圆为D ，如果D 与直线3y +没有公共点，求D 的半径r 的取值范围；
（3）直接写出点P 和直线(0)y kx k =≠的最小点线圆的圆心的横坐标t 的取值范围．
17．（2020•海淀区一模）A ，B 是C 上的两个点，点P 在C 的内部．若APB ∠为直角，则称APB ∠为AB 关于C 的内直角，特别地，当圆心C 在APB ∠边（含顶点）上时，称APB ∠为AB 关于C 的最佳内直角．如图1，AMB ∠是AB 关于C 的内直角，ANB ∠是AB 关于C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy 中．
（1）如图2，O 的半径为5，(0,5)A -，(4,3)B 是O 上两点．
①已知1(1,0)P ，2(0,3)P ，3(2,1)P -，在1AP B ∠，2AP B ∠，3AP B ∠中，是AB 关于O 的内直角的是；
②若在直线2y x b =+上存在一点P ，使得APB ∠是AB 关于O 的内直角，求b 的取值范围．
（2）点E 是以(,0)T t 为圆心，4为半径的圆上一个动点，T 与x 轴交于点D （点D 在点T 的右边）．现有点(1,0)M ，(0,)N n ，对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使DHE ∠是DE
关于T
的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．
18．（2020•延庆区一模）对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，以r 为半径作P
的内部（或边上），当r最小时，称P
为 ，使得图形M上的所有点都在P
图形M的P点控制圆，此时，P
的半径称为图形M的P点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，其中点(2,2)
B．
r，正方形OABC的A点控制半径为（1）已知点(1,0)
D，正方形OABC的D点控制半径为
1
2r ，请比较大小：1r 2r ；
（2）连接OB ，点F 是线段OB 上的点，直线:l y b =+；若存在正方形OABC 的F 点控制圆与直线l 有两个交点，求b 的取值范围．
19．（2020•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)A ，点B 在x 轴上，以AB 为直径作C ，点P 在y 轴上，且在点A 上方，过点P 作C 的切线PQ ，Q 为切点，如果点Q 在第一象限，则称Q 为点P 的离点．例如，图1中的Q 为点P 的一个离点．
（1）已知点(0,3)P ，Q 为P 的离点．
①如图2，若(0,0)B ，则圆心C 的坐标为
，线段PQ 的长为；
②若(2,0)B ，求线段PQ 的长；（2）已知12PA
，直线:3(0)l y kx k k =++≠．①当1k =时，若直线l 上存在P 的离点Q ，则点Q 纵坐标t 的最大值为；
②记直线:3(0)l y kx k k =++≠．在11x -
的部分为图形G ，如果图形G 上存在P 的离点，直接写出k 的取值范围．
20．（2020•渠县校级一模）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为(0)r r >．给出如下定
义：若平面上一点P 到圆心O 的距离d ，满足1322
r d r ，则称点P 为O 的“随心点”．（1）当O 的半径2r =时，(4,0)A ，(0,3)B ，1(2C ，1)2-，3(2
D -，2)-中，O 的“随心点”是；
（2）若点(6,8)E 是O 的“随心点”，求O 的半径r 的取值范围；
（3）当O 的半径4r =时，直线(0)y x b b =-+≠与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在O 的“随心点”，直接写出b 的取值范围．。