2019年广东省梅州市华桥中学高二数学理测试题含解析

2019年广东省梅州市华桥中学高二数学理测试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合A={0,2,3}，B={x|x=ab,a,b∈A}，且a≠b，则B的子集的个数是 ( ）A．4 B．8 C．16 D．15
参考答案：
A
2. 已知, , 且, 则等于 ( )
A．－1 B．－
9 C．9 D．1
参考答案：
A
3. 对于常数m、n，“”是“方程的曲线是椭圆”的（）条件
A.充分不必要B．必要不充分
C.充分必要D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
由方程的曲线是椭圆可得，所以“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件
4. 如果命题“ p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，那么（）
A. p与q都是假命题
B. p与q都是真命题
C. p与的真假不同
D. p与q的真假不同
参考答案：
D
略
5. 在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
B
略
6. 我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），
统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）
A．600 B．400 C．300 D．200
参考答案：
D
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】由已恬得考试成绩在70分到110分之间的人数为600，落在90分到110分之间的人数为300人，由此能求出数学考试成绩不低于110分的学生人数．
【解答】解：∵我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），
统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，
∴考试成绩在70分到110分之间的人数为1000×=600，
则落在90分到110分之间的人数为300人，
故数学考试成绩不低于110分的学生人数约为500﹣300=200．
7. 三棱锥S﹣ABC中，∠ASB=∠ASC=90°，∠BSC=60°，SA=SB=SC=2，点G是△ABC的重心，则||等于（）
A．4 B．C．D．
参考答案：
D
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则SD⊥BC，AD⊥BC．由题意，AS⊥平
面SBC，SA=2，SD=，AG=2GD=，cos∠SAD=．利用余弦定理可得||．
【解答】解：如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则SD⊥BC，AD⊥BC．
由题意，AS⊥平面SBC，SA=2，SD=，AG=2GD=，cos∠SAD=．
由余弦定理可得||==，
故选D．
8. 在中，，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
9. 命题”对任意,都有”的否定是 .
,使;
10. 给出以下一个算法的程序框图（如图所示）：
该程序框图的功能是（）
A．求出a, b, c三数中的最大数 B．求出a, b, c三数中的最小数C．将a, b, c 按从小到大排列 D．将a, b, c 按从大到小排列参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=____________.
参考答案：
略
12. 曲线在点(0,1)处的切线方程为__________.
参考答案：
分析】
利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。

【详解】，
当时其值为，
故所求的切线方程为，即。

【点睛】曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
13. 已知，若与夹角为锐角，则实数的取值范围为
．
参考答案：
14. 关于x的方程有实根时，k的取值范围是．
参考答案：
[0,1]
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】可化为函数y=1﹣kx与函数y=的图象有交点，作图象求解
【解答】解：关于x的方程有实根?函数y=1﹣kx与函数y=的图象有交点，
函数y=的图象是圆（x﹣2）2+y2=1（y≥0）的部分，函数y=1﹣kx 过定点（0，1），
其图象如下：结合图象可得k的取值范围是[0,1]．
故答案为：[0,1]
【点评】本题考查了函数与方程思想、数形结合的思想应用，属于中档题．
15. 已知m＞0，n＞0，向量=（m，1，﹣3）与=（1，n，2）垂直，则mn的最大值
为．
参考答案：
9
【考点】空间向量的数量积运算．
【分析】由已知得=m+n﹣6=0，从而m+n=6，由此利用均值定理能求出mn的最大值．【解答】解：∵m＞0，n＞0，向量=（m，1，﹣3）与=（1，n，2）垂直，
∴=m+n﹣6=0，即m+n=6，
∴mn≤（）2=9，
当且仅当m=n=3时，取等号，
∴mn的最大值为9．
故答案为：9．
16. 若函数在上只有一个零点，则的取值范围
为．
参考答案：
17. 已知函数（且），若有最小值，则实数a的取值范围是______________.
参考答案：
【分析】
分析要使函数（且）有最小值，则最小值为，结合图像，列出满足条件的不等式，即可得到数的取值范围.
【详解】函数（且）有最小值，根据题意可知最小值为，图像如图所示：
或，解得：或；
则实数的取值范围是
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，熟练掌握初等函数的图像是解题的关系，有一定的综合性，属于中档题。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）2013年某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额（单位：万元）与日产量的函数关系式
已知每日的利润，且当时，．
（1）求的值；
（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
参考答案：
（Ⅰ）由题意可得：， (2)
分
∵时，
∴. …………… 4分解得.
……………6分
（Ⅱ）当时，，所以
当且仅当，即时取得等号．……………10分
当时，．
所以当时，取得最大值．……………11分
答：当日产量为吨时，每日的利润可以达到最大值万元． (12)
分
略
19. (本小题满分12分)△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60°，
∠ADC＝150°，求AC的长及△ABC的面积。

参考答案：
解：在△ABC中，∠BAD＝150°－60°＝90°，
∴。

……………………3分
在△ACD中，…………6分
………………………………………………………………8分
……………………………………12分
略
20. 已知圆C经过点A（2，0）、B（1，﹣），且圆心C在直线y=x上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．
参考答案：
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；
（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可．
【解答】解：（1）AB的中点坐标（，），AB的斜率为．可得AB垂直平分线为x+6y=0，与x﹣y=0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，
所以圆C的方程为x2+y2=4；
（2）直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过（1，），
∴直线l的方程为y﹣=k（x﹣1），即y=kx+﹣k，
则圆心（0，0）到直线的距离d=，又圆的半径r=2，截得的弦长为2，
则有，
解得：k=﹣，
则直线l的方程为y=﹣x+．
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．
直线l的方程：x=1或y=﹣x+．
21. 已知椭圆G： =1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a 的值，再根据b2=a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，
解得a=，又b2=a2﹣c2=4，
所以椭圆G的方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，
由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0==﹣，
y0=x0+m=，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k=，
解得m=2．
此时方程①为4x2+12x=0．
解得x1=﹣3，x2=0，
所以y1=﹣1，y2=2，
所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．
到直线AB：y=x+2距离d=，
所以△PAB的面积s=|AB|d=．
22. 已知实数a满足a＞0且a≠1．命题P：函数y=log a（x+1）在（0，+∞）内单调递减；命题Q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果“P∨Q”为真且
“P∧Q”为假，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题．
【分析】当P为真命题时，根据对数型函数单调性的规律得到0＜a＜1；根据一元二次方
程根的判别式，得到当Q为真命题时，或．因为“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，说明命题P、Q中一个为真，另一个为假，最后据此进行分类讨论，可得a的取值范围．
【解答】解：先看命题P
∵函数y=log a（x+1）在（0，+∞）内单调递减，a＞0，a≠1，
∴命题P为真时?0＜a＜1…（2分）
再看命题Q
当命题Q为真时，二次函数对应的一元二次方程根的判别式满足
△=（2a﹣3）2﹣4＞0?或…（4分）
由“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，知P、Q有且只有一个正确．…（6分）
（1）当P正确且Q不正确?…（9分）
（2）当P不正确且Q正确，?…（12分）
综上所述，a取值范围是…（14分）
【点评】本题以函数的单调性和二次函数零点的问题为载体，考查了命题真假的判断与应用，属于中档题．。