湖南省衡阳市第八中学高三数学上学期第二次月考试题(

衡阳八中2016年下期高三年级第二次月考试卷
文数/理数（试题卷）
考试范围：函数与导数，立体几何，圆与直线
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次月考试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★
第I卷选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

[文理科] 1.设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，则A∩B=（）
A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}
C．{x|x＜﹣1或x＞4} D．{x|﹣2＜x＜5}
2.下列说法错误的是（）
A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件
B．若p∨q是假命题，则p∧q是假命题
C．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”
D．命题“对任意的x∈R”，2x＞x2”是真命题
3.下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）
A．y=|x| B．y=3-x C．y= D．y=﹣x2+4
4.设两条直线的方程分别为x+y+a=0和 x+y+b=0，已知a、b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为（）
A． B． C． D．
5.方程x2+y2+2ax﹣4y+（a2+a）=0表示一个圆，则a的取值范围是（）
A．[4，+∞）B.（4，+∞）C.（﹣∞，4]D．（﹣∞，4）
6.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）
A． B． C． D．
7.已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m，n，则下列说法正确的是( )
A．若m⊥n，n⊥α，m⊂β，则α⊥β
B．若α∥β，n⊥α，m⊥β，则m∥n
C．若m⊥n，n⊂α，m⊂β，则α⊥β
D．若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n
8.设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）
A．（2，6﹣2） B．（2， +1）
C．（4，8﹣2） D．（0，4﹣2）
9.已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）
A．2 B．6 C．4 D．2
10.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）
A． B． C． D．
11.设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+]
C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]
12.已知函数f（x）=lnx﹣x+﹣1，g（x）=x2﹣2bx+4，若对任意的x1∈（0，2）存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）
A．[，+∞） B．（﹣∞，]
C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）
第II卷非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）[文理科]
13.函数的定义域是
14.已知集合M={f(x)}，有下列命题
①若f(x)=，则f(x)M；
②若f(x)=2x，则f(x)M；
③f(x)M，则y=f(x)的图像关于原点对称；
④f(x)M，则对于任意实数x1,x2(x1x2)，总有﹤0成立；
其中所有正确命题的序号是_______。

(写出所有正确命题的序号)
15.已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，
16.如图，在三棱柱ABC﹣A
1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，
CA=CB=CC1=1，则直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为．
三.解答题（共6题，共70分）
17.(本题满分10分)
[文科]已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示
焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”
（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；
（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．
[理科]已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}，
（1）求A∩B、（∁U A）∪（∁U B）；
（2）若集合M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合A的子集，求实数k的取值范围．
18.（本题满分12分）
[文科]如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．
（1）求证：PD∥面AEC；
（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．
[理科]如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？
（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
19.（本题满分12分）
[文科]已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．
[理科]定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣，
（Ⅰ）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在（0，1]上的单调性；
（Ⅲ）当x∈（0，1]时，函数g（x）=﹣m有零点，试求实数m的取值范围．
已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3=0关于直线4x+2y﹣5=0．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．
①求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；
②在①的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA，QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．
21.（本题满分12分）
[文科]已知函数f (x) ＝ln x＋－1，
（Ⅰ）求函数 f (x)的最小值；
（Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；
（Ⅲ）求证：直线 y＝x不是曲线 y ＝g(x)的切线。

[理科]已知函数．
(Ⅰ)若，求函数的极值；
(Ⅱ)设函数，求函数的单调区间；
(Ⅲ)若存在，使得成立，求的取值范围．
已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”
数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.
已知函数，若且，求实数的取值范围；
已知，且的部分函数值由下表给出，
求证：；
定义集合
请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出
衡阳八中2016年下期高三实验班第二次月考文数/理数参考答案
13.[﹣2，0）∪（0，+∞）
14.②③
15.5﹣4
16.
17.
（文科）
（1）若p为真：
解得m≤﹣1或m≥3
若q为真：则
解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4
若“p且q”是真命题，则
解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4
（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1
由q是s的必要不充分条件，
则可得{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}
即或t≥4
解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4
（理科）
（1）因为全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}={x|﹣2≤x≤3}，所以A∩B={x|1＜x≤3}；
（C U A）∪（C U B）=C U（A∩B）={x|x≤1，或x＞3}；
（2）①当M=∅时，2k﹣1＞2k+1，不存在这样的实数k．
②当M≠∅时，则2k+1＜﹣4或2k﹣1＞1，解得k或k＞1．
18.
（文科）（1）证明：设AC∩BD=O，连接EO，
因为O，E分别是BD，PB的中点，
所以PD∥EO 而PD⊄面AEC，EO⊂面AEC，
所以PD∥面AEC
（2）连接PO，因为PA=PC，
所以AC⊥PO，又四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD
而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，
所以AC⊥面PBD
又AC⊂面AEC，
（理科）
19.
（文科）（1）∵为增函数，
由于x≥2a时，f（x）的对称轴为x=a﹣1；
x＜2a时，f（x）的对称轴为x=a+1，
∴解得﹣1≤a≤1；
（2）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．
①当﹣1≤a≤1时，f（x）在R上是增函数，
关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有3个不相等的实数根．
②当a＞1时，2a＞a+1＞a﹣1，
∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减，
在（2a，+∞）上单调递增，所以当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，
关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，即4a＜t4a＜（a+1）2．
∵a＞1，∴．
设，因为存在a∈[﹣2，2]，
使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，
∴1＜t＜h（a）max．又h（a）在（1，2]递增，所以，∴．③当a＜﹣1时，2a＜a﹣1＜a+1，所以f（x）在（﹣∞，2a）上单调递增，
在（2a，a﹣1）上单调递减，在（a﹣1，+∞）上单调递增，
所以当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，
关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，
即﹣（a﹣1）2＜t4a＜4a．∵a＜﹣1，∴．
设，因为存在a∈[﹣2，2]，
使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，所以1＜t＜g（a）max．又可证在[﹣2，﹣1）上单调递减，
所以，所以．
综上，．
（理科）（Ⅰ）∵f（x）在[﹣1，1]上的奇函数，
∴f（0）=0，
设0＜x≤1，则﹣1≤﹣x＜0，
故f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣）=，
故f（x）=；
（Ⅱ）f（x）在（0，1]上为减函数，证明如下，
∵f（x）==，
且y=2x在（0，1]上是增函数，y=x+在（1，2]上是增函数，
y=在（2，]上是减函数；
∴由复合函数的单调性可知，
f（x）=（0，1]上为减函数．
（Ⅲ）当x∈（0，1]时，函数g（x）=﹣m=4x+1﹣2x﹣m，
故m=4x+1﹣2x=（2x﹣）2+，
∵x∈（0，1]，∴2x∈（1，2]，
∴1＜4x+1﹣2x≤13，
故实数m的取值范围为（1，13]．
20.
（文理科）
（Ⅰ）∵x2+y2﹣4x﹣2y+3=0，
∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．
设圆C的圆心为C（a，b），
又因为圆C与圆D关于直线4x+2y﹣5=0对称，
即圆心D（2，1）与（a，b）关于直线4x+2y﹣5=0对称．
∴，
∴．
∴圆C的方程为x2+y2=2．
（Ⅱ）①因为点P（2，0），M（0，2），所以，
设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，
所以．△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，
故有最大值，最大面积，
此时点Q坐标为点（﹣1，﹣1）．
②直线AB与直线PM垂直，理由如下：
因为过点Q（﹣1，﹣1）作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点，直线QA、QB的倾斜角互补，所以直线QA、QB斜率都存在．
设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为﹣k，所以直线QA的方程：y+1=k（x+1）
⇒（1+k2）x2+2k（k﹣1）x+k2﹣2k﹣1=0，
又因为点Q（﹣1，﹣1）在圆C上，故有，所以，
同理，
，
又，所以有k PM•k AB=﹣1，
故直线AB与直线PM垂直．
21.
（文科）（Ⅰ）函数的定义域为，
当变化时，，的变化情况如下表：
函数在上的极小值为，
所以的最小值为
（Ⅱ）解：函数的定义域为，
由（Ⅰ）得，，所以
所以的单调增区间是，无单调减区间．（Ⅲ）证明：假设直线是曲线的切线．
设切点为，则，即
又，则．
所以，得，与矛盾所以假设不成立，直线不是曲线的切线
（理科）
（Ⅰ）的定义域为．
当时，．
由，解得.当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以当时，函数取得极小值，极小值为；
（Ⅱ），其定义域为．
又．
由可得，在上，在上，所以的递减区间为；递增区间为．
（III）若在上存在一点，使得成立，
即在上存在一点，使得．即在上的最小值小于零．
①当，即时，由（II）可知在上单调递减．
故在上的最小值为，
由，可得．
因为．所以；
②当，即时，
由（II）可知在上单调递减，在上单调递增．
在上最小值为．
因为，所以．
，即不满足题意，舍去．
综上所述:．
22.（文理科）
(Ⅰ)且即在上是增函数，
而在不是增函数，而当是增函数时，
不是增函数时，，综上 .
(Ⅱ) 且，则
，同理，则有
，，又，而，，.
(Ⅲ)
对任意,存在常数，使得，对成立.先证明对成立，假设存在，使得，记.
是二阶比增函数，即是增函数，时，，，
一定可以找到一个，使得，这与对，矛盾.
对成立. 即任意，对成立.
下面证明在上无解:假设存在，使得，一定存在，
，这与上面证明的结果矛盾，在上无解.
综上，对任意，对成立，存在，任意
，
有成立，.。