八年级数学下三角形的证明集训课堂测素质线段垂直平分线、角平分线的性质和判定习题北师大版
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AB＋BC＝13 cm，△ABC 的周长 C2＝AB＋BC＋AC＝19 cm， ∴AC＝6 cm.∴AE＝12AC＝12×6＝3(cm)．
9 如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF， 若∠DBC＝50°，则∠ABC＝____1_0_0__°.
10 【教材P31例3改编】【2021·长沙】如图，在△ABC中， ∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂 足为E，若BC＝4，DE＝1.6，线段 AB 的垂直平分线上， ∴MA＝MB＝2MC. ∵∠C＝90°，∴在 Rt△ ACM 中，AC2＋MC2＝MA2， 即 3＋MC2＝4MC2，解得 MC＝1. ∴MB＝2MC＝2.∴BC＝3. 在 Rt△ ABC 中，由勾股定理得 AB＝ AC2＋BC2＝ 3＋9＝2 3.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月21日星期一下午10时6分59秒22:06:5922.3.21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那
些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午10时6分22.3.2122:06March 21, 2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022年3月21日星期一10时6分59秒22:06:5921 March
2022
谢谢观赏
You made my day!
13 已知点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB于E， PF⊥AC于F.有下列结论： ①PE＝PF；②AE＝AF；③∠APE＝∠APF； ④AE>PE. 其中一定成立的有___①__②__③___(填序号)．
14 (10分)【中考·绥化】如图，A，B，C为某公园的三个 景点，景点A和景点B之间有一条笔直的小路，现要在 小路上建一个凉亭P，使景点B、景点C到凉亭P的距离 之和等于景点B到景点A的距离，请用直尺和圆规在所 给图中作出点P.(要求：不写作法和证明，只保留作图 痕迹)
5 如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，且 AE＝BE.若 DE＝12AD＝ 1.5 cm，则 BC＝( D ) A．3 cm B．7.5 cm C．6 cm D．4.5 cm
6 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分 线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平 行线AD与BC间的距离为( D ) A．1 B．2 C．3 D．4
∵∠ABQ＝∠PBD，∴∠BPD＝∠AQP. ∵∠BPD＝∠APQ，∴∠APQ＝∠AQP. 在△APM 和△AQM 中，∠ ∠AAPMQP＝＝∠∠AAQMPQ，，
AM＝AM， ∴△APM≌△AQM(AAS)．∴AP＝AQ.
16 (12 分)如图，已知在△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平 分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 N.若 AC＝ 3，MB＝2MC， 求 AB 的长．
北师版 八年级下
第一章
三角形的证明
集训课堂 测素质
线段垂直平分线、角平分线的性质和判定
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1B 2B 3A 4D
5D 6D 7B 8A
答案呈现
9 100 10 2.4 11 2a＋3b 12 115°
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13 ①②③
17
14
15
16
答案呈现
B．30
C．45
D．60
8 【中考·恩施州】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平 分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm， 则AE的长为( A ) A．3 cm B．6 cm C．12 cm D．16 cm
【点拨】 ∵DE 是 AC 的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD. ∵△ABD 的周长 C1＝AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝
11 【中考·益阳】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ 36°，DE是线段AC的垂直平分线．若BE＝a，AE＝b， 则用含a，b的式子表示△ABC的周长为_2_a_＋__3_b__．
12 如图，O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边AB， BC，CA的距离OE，OD，OF相等，若∠A＝50°，则 ∠BOC＝____11_5_°__．
17 (14分)【2021·北京石景山模拟】(1)如图①，BD平分 ∠ABC，DE⊥AB于点E，△ABC的面积等于90， AB＝18，BC＝12，求DE的长；
解：如图①，过点D作DF⊥BC于点F. ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB， ∴DE＝DF.
∵AB＝18，BC＝12， ∴S△ ABC＝S△ ABD＋S△ BCD＝12×18·DE＋12×12·DF＝ 12DE·(18＋12)＝15·DE. ∵△ABC 的面积等于 90，∴15·DE＝90. ∴DE＝6.
(2)利用(1)题的方法解答：如图②，已知∠1＝∠2，求证： AABC＝BCDD.
证明：如图②，过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，DN⊥AC 于 点 N，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，则 S△ABD＝12AB·DM＝ 12BD·AE，S△ACD＝12AC·DN＝12CD·AE. ∵∠1＝∠2，∴DM＝DN. ∴SS△△ AABCDD＝AABC＝BCDD.
1 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线 OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为( B ) A．1 B．2 C．3 D．4
2 【教材P23习题T1变式】【2020·益阳】如图，在△ABC 中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若 ∠A＝50°，则∠B的度数为( B ) A．25° B．30° C．35° D．40°
解：如图，点P即为所求的点．
15 (12分)【中考·福建】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°， AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD， AC于P，Q两点，并证明AP＝AQ.(要求：尺规作图， 保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，BQ就是∠ABC的平分线．
证明：如图，作AM⊥PQ于点M，则∠AMP＝∠AMQ＝90°. ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∴∠BPD＋∠PBD＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠AQP＋∠ABQ＝90°.
3 在正方形网格中，∠ACB的位置如图所示，到∠ACB 两边距离相等的点是( A ) A．点M B．点N C．点P D．点Q
4 △ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A， ∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列说 法中不正确的是( D ) A．点O一定在△ABC的内部 B．∠C的平分线一定经过点O C．点O到△ABC三边的距离一定相等 D．点O到△ABC三个顶点的距离一定相等
7 【中考·枣庄】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点
A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，
N，再分别以点 M，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画 弧，两弧交于点 P，射线 AP 交边 BC 于点 D，若 CD＝4，
AB＝15，则△ABD 的面积是( B )
A．15
9 如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF， 若∠DBC＝50°，则∠ABC＝____1_0_0__°.
10 【教材P31例3改编】【2021·长沙】如图，在△ABC中， ∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂 足为E，若BC＝4，DE＝1.6，线段 AB 的垂直平分线上， ∴MA＝MB＝2MC. ∵∠C＝90°，∴在 Rt△ ACM 中，AC2＋MC2＝MA2， 即 3＋MC2＝4MC2，解得 MC＝1. ∴MB＝2MC＝2.∴BC＝3. 在 Rt△ ABC 中，由勾股定理得 AB＝ AC2＋BC2＝ 3＋9＝2 3.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月21日星期一下午10时6分59秒22:06:5922.3.21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那
些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午10时6分22.3.2122:06March 21, 2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022年3月21日星期一10时6分59秒22:06:5921 March
2022
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You made my day!
13 已知点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB于E， PF⊥AC于F.有下列结论： ①PE＝PF；②AE＝AF；③∠APE＝∠APF； ④AE>PE. 其中一定成立的有___①__②__③___(填序号)．
14 (10分)【中考·绥化】如图，A，B，C为某公园的三个 景点，景点A和景点B之间有一条笔直的小路，现要在 小路上建一个凉亭P，使景点B、景点C到凉亭P的距离 之和等于景点B到景点A的距离，请用直尺和圆规在所 给图中作出点P.(要求：不写作法和证明，只保留作图 痕迹)
5 如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，且 AE＝BE.若 DE＝12AD＝ 1.5 cm，则 BC＝( D ) A．3 cm B．7.5 cm C．6 cm D．4.5 cm
6 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分 线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平 行线AD与BC间的距离为( D ) A．1 B．2 C．3 D．4
∵∠ABQ＝∠PBD，∴∠BPD＝∠AQP. ∵∠BPD＝∠APQ，∴∠APQ＝∠AQP. 在△APM 和△AQM 中，∠ ∠AAPMQP＝＝∠∠AAQMPQ，，
AM＝AM， ∴△APM≌△AQM(AAS)．∴AP＝AQ.
16 (12 分)如图，已知在△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平 分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 N.若 AC＝ 3，MB＝2MC， 求 AB 的长．
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三角形的证明
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线段垂直平分线、角平分线的性质和判定
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1B 2B 3A 4D
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9 100 10 2.4 11 2a＋3b 12 115°
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B．30
C．45
D．60
8 【中考·恩施州】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平 分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm， 则AE的长为( A ) A．3 cm B．6 cm C．12 cm D．16 cm
【点拨】 ∵DE 是 AC 的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD. ∵△ABD 的周长 C1＝AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝
11 【中考·益阳】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ 36°，DE是线段AC的垂直平分线．若BE＝a，AE＝b， 则用含a，b的式子表示△ABC的周长为_2_a_＋__3_b__．
12 如图，O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边AB， BC，CA的距离OE，OD，OF相等，若∠A＝50°，则 ∠BOC＝____11_5_°__．
17 (14分)【2021·北京石景山模拟】(1)如图①，BD平分 ∠ABC，DE⊥AB于点E，△ABC的面积等于90， AB＝18，BC＝12，求DE的长；
解：如图①，过点D作DF⊥BC于点F. ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB， ∴DE＝DF.
∵AB＝18，BC＝12， ∴S△ ABC＝S△ ABD＋S△ BCD＝12×18·DE＋12×12·DF＝ 12DE·(18＋12)＝15·DE. ∵△ABC 的面积等于 90，∴15·DE＝90. ∴DE＝6.
(2)利用(1)题的方法解答：如图②，已知∠1＝∠2，求证： AABC＝BCDD.
证明：如图②，过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，DN⊥AC 于 点 N，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，则 S△ABD＝12AB·DM＝ 12BD·AE，S△ACD＝12AC·DN＝12CD·AE. ∵∠1＝∠2，∴DM＝DN. ∴SS△△ AABCDD＝AABC＝BCDD.
1 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线 OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为( B ) A．1 B．2 C．3 D．4
2 【教材P23习题T1变式】【2020·益阳】如图，在△ABC 中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若 ∠A＝50°，则∠B的度数为( B ) A．25° B．30° C．35° D．40°
解：如图，点P即为所求的点．
15 (12分)【中考·福建】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°， AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD， AC于P，Q两点，并证明AP＝AQ.(要求：尺规作图， 保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，BQ就是∠ABC的平分线．
证明：如图，作AM⊥PQ于点M，则∠AMP＝∠AMQ＝90°. ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∴∠BPD＋∠PBD＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠AQP＋∠ABQ＝90°.
3 在正方形网格中，∠ACB的位置如图所示，到∠ACB 两边距离相等的点是( A ) A．点M B．点N C．点P D．点Q
4 △ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A， ∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列说 法中不正确的是( D ) A．点O一定在△ABC的内部 B．∠C的平分线一定经过点O C．点O到△ABC三边的距离一定相等 D．点O到△ABC三个顶点的距离一定相等
7 【中考·枣庄】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点
A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，
N，再分别以点 M，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画 弧，两弧交于点 P，射线 AP 交边 BC 于点 D，若 CD＝4，
AB＝15，则△ABD 的面积是( B )
A．15