人教A版高中数学必修五双基限时练1

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双基限时练(一)
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC中，sin A sin B sin C＝a b c.
其中正确的个数是()
A．1B．2
C．3 D．4
解析①②③不正确，④⑤正确．
答案 B
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝() A．4 3 B．2 3
C. 3
D.
3 2
解析由正弦定理，得AC
sin B＝
BC
sin A，即AC＝
BC·sin B
sin A＝
32×sin45°
sin60°
＝2 3.
答案 B
3．在△ABC中，已知b＝2，c＝1，B＝45°，则a等于()
A.6－22
B.6＋22
C.2＋1
D ．3－ 2
解析 由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝sin45°2＝1
2，又b >c ，
∴C ＝30°，从而A ＝180°－(B ＋C )＝105°，∴a ＝b sin A
sin B ，得a ＝6＋22. 答案 B
4．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
解析 利用正弦定理及第一个等式，可得sin A ＝32，A ＝π3，或2π
3，但由第二个等式及B 与C 的范围，知B ＝C ，故△ABC 必为等腰三角形．
答案 B
5．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．30°或150° D ．60°或120°
解析 ∵3a ＝2b sin A ， ∴3sin A ＝2sin B sin A . ∵sin A ≠0，∴sin B ＝32， 又0°<B <180°，∴B ＝60°，或120°. 答案 D
6．在△ABC 中，已知a ：b ：c ＝4：3：5，则2sin A －sin B
sin C ＝________. 解析 设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k (k >0)，由正弦定理，得 2sin A －sin B sin C ＝2×4k －3k
5k ＝1. 答案 1
7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则边c ＝________.
解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝30°， 由c sin C ＝b sin B ，得c ＝b sin C sin B ＝22×1
2
22＝2.
答案 2
8．在△ABC 中，若tan A ＝1
3，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 解析 ∵tan A ＝13，∴sin A ＝110 .
在△ABC 中，AB sin C ＝BC
sin A ， ∴AB ＝BC sin A ·sin C ＝10×12＝10
2. 答案
10
2
9．在△ABC 中，若A ：B ：C ＝1：2：3，则a b c ＝________. 解析 由A ＋B ＋C ＝180°及A ：B ：C ＝1:2:3，知A ＝180°×1
6＝30°，B ＝180°×26＝60°，C ＝180°×36＝90°.
∴a ：b ：c ＝sin30°：sin60°：sin90°＝12：3
2：1＝1：3：2.
答案 1：3：2
10．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.
(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE
.
解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°.
∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋2
4. (2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理，得
AE sin (45°－15°)＝2
sin (90°＋15°)，
故AE ＝2sin30°
sin75°＝2×1
2
6＋24
＝6－ 2.
11．△ABC 三边各不相等，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos A ＝b cos B ，求a ＋b
c 的取值范围．
解 ∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin2A ＝sin2B .
∵2A,2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B ，或A ＋B ＝π
2.
如果A ＝B ，那么a ＝b 不合题意，∴A ＋B ＝π
2. ∴a ＋b c ＝sin A ＋sin B
sin C ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫A ＋π4.
∵a ≠b ，C ＝π2，∴A ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫0，π2，且A ≠π
4，
∴a ＋b
c ∈(1，2)．
12．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝1
3. (1)求sin A ；
(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积． 解 (1)∵sin(C －A )＝1，－π<C －A <π， ∴C －A ＝π
2.
∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＋A ＋π
2＝π，
∴B ＝π2－2A ，∴sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－2A ＝cos2A ＝13. ∴1－2sin 2A ＝1
3. ∴sin 2
A ＝13，∴sin A ＝3
3.
(2)由(1)知，A 为锐角，∴cos A ＝6
3，
sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝6
3，
由正弦定理得AB ＝AC ·sin C
sin B ＝6·6
3
13＝6.
S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×6×6×3
3＝3 2.。