第二章练习讲解及递延永续年金

• 答案：
1 方法一：P=A·(P/A,10%,6)－A·(P/A,10%,2)
=1000(4.355-1.736) =2619
2 方法二： P=A·(P/A,10%,6-2) ×（1＋10%）-2
4 =1000×3.1699×0.8264 =2619.61
问题
0 0 1 1 0 有0 1 0 一1 0 1 项0 1 1 年0 1 0 金0 0 1 ，0 1 0 0 前1 0 31 1 年无流入，后5年每年
内插值法的步骤：
• 1.计算出P/A的值，设其为P/A=α。 0 0 •1 1 20 0 .1 查0 1 普0 1 0 通1 1 年0 1 金0 0 0 现1 0 值1 0 系0 1 0 数1 1 表。沿着n已知所在的行横向
查找，若能恰好找到某一系数值等于α ，则该系数 值所在的列相对应的利率即为所求的利率i。 • 3.若无法找到恰好等于α的系数值，就应在表中行 上找与最接近α的两个左右临界系数值，设为β1、
少应收回多少金额？
已知P=1,000,000 i=6 ％ n=4
求A?
1 A = P/(P/A,6%,4)
2 = 1,000,000/3.465 =288,600.29元
4 已知P、i、n, 求A，A称为资本回收额；
1/(P/A,i,n)称为资本回收系数。
例题
0 0 例1 1 .0 0 某1 0 人1 0 1 拟0 1 购1 0 房1 0 ，0 0 1 开0 1 发0 0 商1 0 1 提1 出两种方案，一是现在一次 性付80万元，另一方案是从现在起每年年初付20万 元，连续支付5年，若目前的银行贷款利率是7%，应
1 性收付款项的折现率(利息率)i。永续年金折
2 现率(利息率)i的计算也很方便。若P、A已知，
则根据公式P=A/i，变形即得i的 计算公式为：
4 i=A/P
对于年金折现率的推算（较复杂）
• 普通年金折现率先计算年金现值系数或年金 0 0 1 1 终0 0 1 值0 1 0 系1 0 数1 1 0 再1 0 0 查0 1 有0 1 0 关0 1 0 的1 1 系数表求i，不能直接求
问题
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
某人拟购房，开发商提出两种方案：一是 现在一次性付80万元；另一方案是5年后 付100万元若目前的银行贷款利率是7%，
41 2 应如何付款？
问题
• 现在一次性付80万元；另一方案是5年后付100万
1 β2（ β1 >α > β2或 β1 <α < β2 ）。读出所
对应的临界利率i1、i2，然后进一步运用内插法。
2 • 4.在内插法下，假定利率i同相关的系数在较小范围 内线形相关，因而可根据临界系数和临界利率计算 4 出，其公式为：
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
第一期初。（m为间隔期） =A·(P/A,i,n)·(P/F,i,m)
1 方法二：是假设递 延期中也进行支付，先求
出(m+n)期的年金现值 ，然后，扣除实际并未
2 支付的递延期(m)的年金现值，即可得出最终
4 结果。 =A·［(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m)］
例题
0 0 •1 1 0 0 某1 0 人1 0 1 年0 1 1 初0 1 存0 0 0 入1 0 1 银0 0 行1 0 1 一1笔现金，从第三年年末 起，每年取出1000元，至第6年年末全部取完， 银行存款利率为10%。要求计算最初时一次存 入银行的款项是多少？
已知F=1,000,000 i=6 ％ n=5
求A?
A = F/(F/A,6%,5)
1 = 1,000,000/5.6371 =177 396.18元
2 已知F、i、n, 求A，A称为偿债基金；
4 1/(F/A,i,n)称为偿债基金系数。
例题
0 0 例1 1 0 .0 某1 0 1 人0 1 0 拟1 1 购0 1 0 房0 0 1 ，0 1 开0 0 1 发0 1 1 商提出两种方案，一是现
（二）永续年金
0 0 •1 1 永0 0 1 续0 1 0 年1 0 金1 1 0 —1 0 0 —0 1 无0 1 0 限0 1 0 期1 1 定额支付的现金
• 永续年金没有终值，没有终止时间。现值可
通过普通年金现值公式导出。
•
公式：
当n
4 21
∞时，
例题
0 0 例1 1 0 .0 某1 0 1 项0 1 0 永1 1 久0 1 0 性0 0 1 奖0 1 学0 0 1 金0 1 1 ，每年计划颁发50000元 奖金。若年复利率为8%，该奖学金的本金应 为（ ）元。 永续年金现值=A/i =50000/8%=625000(元)
1 C．1813.48
D．1423.21
2 P=500×（P/A，10%，5）×（P/F，10%，2） =1565.68 4 答案：B
问题
0 0 某1 1 0 公0 1 0 司1 0 拟1 0 1 购1 0 1 置0 0 一0 1 0 处1 0 0 房1 0 产1 1 ，房主提出三种付款方 案： (1)从现在起，每年年初支付20万元，连续支 付10次，共200 (2)从第5年开始，每年年末支付26万元，连 续支付10次，共260
• • 递延年金终值
• 公式： F=A·(F/A,i,n)
1 •
递延年金的
2 终值大小与递延期无关，故计算方
4 法和普通年金终值相同。
例题
某人从第四年末起，每年年末支付 0 0 1 1 0 0 11 0 01 00 元1 0 1 ，1 0 1 利0 0 率0 1 0 为1 0 0 11 00 %1 1 ，问第七年末共支付利
息多少？
答案：0 1 2 3 4 5 6 7
1 100 100 100 100
2 F=A(F/A,10%,4)
4 ＝100×4.641＝464.1（元）
（一）递延年金现值
方法一：把递延年金视为n期普通年金，求 0 0 1 1 出0 0 1 递0 1 延0 1 0 期1 1 0 的1 0 0 现0 1 值0 1 0 0 ，1 0 1 然1后再将此现值 调整到
年初流入500万元，假设年利率为10%，
现值为（ ）万元。 A．1994.59 B．1565.68 C．1813.48 D．1423.21
41 2
解答
0 0 1 1 0 有0 1 0 一1 0 项1 0 1 年1 0 1 金0 0 ，0 1 0 前1 0 0 31 年0 1 1 无流入，后5年每年年初 流入500万元，假设年利率为10%，现值为 （ ）万元。 A．1994.59 B．1565.68
1 例.现在向银行存入5000元，在利率为多少时，
2 才能保证在今后10年中每年得到750元。 5000=750 *（P/A,i,10） 4 （P/A,i,10）=5000/750=6.667
六、折现率、期间和利率的推算
0 0 1 1 –0 0 (1 0 一1 0 )1 0 折1 1 现0 1 0 率0 0 1 (0 利1 0 0 息1 0 率1 1 )的推算（不用记笔记） –对于一次性收付款项 –根据其复利终值(或现值)的计算公式可得折 现率的计算公式为：i=(F/P)1/n -1因此，若 已知F、P、n，不用查表便可直接计算出一次
年后付120万元，另一方案是从现在起每年末
付20万，连续5年，若目前的银行存款利率是
7%，应如何付款?
方案一的终值： F=120（万元）
方案二的终值： F=20×（F/A,7％,5） =20 × （5.7507） =115.014（万元）
41 2
例题
0 0 例1 1 0 .0 某1 0 1 公0 1 0 司1 1 欲0 1 0 在0 0 1 50 年1 0 0 后1 0 还1 1 款1,000,000元，如利率 为6％，则每年末应等额在银行存入多少金额？
在一次性付80万元，另一方案是从现在起每
年末付20万元，连续支付5年，若目前的银行
贷款利率是7%，应如何付款？
1 方案一的现值：80（万元）
方案二的现值： P=20（P/A,7%,5） =20（4.1002）
4 =82（万元）
2
例题
0 0 例1 1 .0 0 某1 0 投1 0 1 资0 1 项1 0 目1 0 现0 0 1 投0 1 资0 0 额1 0 1 为1 1,000,000元，如企业资本 成本为6％，要求在四年内等额收回投资，每年末至
得的则通过内插法计算。
• 例：某公司于第一年年初借款20000元，每年 年末还本付息额均为4000元，连续9年还清。 问借款利率应为多少？
1 • 依据题意：P=20000，n=9；则 P/A=20000/4000=5= α。由于在n=9的一行上 2 没有找到恰好为5的系数值，故在该行上找两 个最接近5的临界系数值，分别为β1=5.3282、 β2=4.9164；同时读出临界利率为i1=12%、 4 i2=14%。所以：
0 0 1 1 0 方0 1 案0 1 一0 1 的0 1 终1 0 值1 0 ：0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
F5 =800 000（1+7%）5=1 122 080 或F5 =800 000（F/P，7%，5）=1 122 080 方案二的终值：
F5 =1 000 000 所以应选择方案二。
1 (3)从第5年开始，每年年初支付25万元，连
续支付10次，共250
2 假设该公司的资金成本率（即最低报酬率）
4 为10%，你认为该公司应选择哪个方案?
答
• 解析： 0 0 1 1 0 0 方1 0 案1 0 1 （0 1 1 10 ）1 0 0 P0 =1 20 1 00 ×0 1 0 ［1 1 （P/A，10%，9）+1］
1 方案二的现值： P=1000000×（1+7%）-5
=1000000 ×（P/F，7%,5 ）
=1000000 ×（0.713）
=713000＜800000
4 结论：按现值比较，仍是方案2较好
2
例题
0 0 例1 1 0 .0 某1 0 1 人0 1 0 拟1 1 购0 1 0 房0 0 1 ，0 1 开0 0 1 发0 1 1 商提出两种方案，一是5
4 21 ii1211(i2i1)
（二）名义利率与实际利率
• 计息期小于一年的复利计算──终值 0 0 •1 1 如0 0 1 果0 1 0 将1 0 11 1 00 01 元0 0 0 存1 0 1 入0 0 银1 0 1 行1，名义利率为8％，那第
内插值法公式：
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
1
i i (i i ) 1
21
2 1
1 12% 5.32825 (14%12%) 5.32824.9164
2 13.59%
4 注意：期间n的推算其原理和步骤同利率的推算相似。
如何付款？
方案一现值：80万元
1 方案二的现值：
P=20×（P/A,7%,5）×（1+7%）
2 =87.744万元 或 4 P=20×[（P/A,7%,4）+1]=87.744万元
例题
0 0 •1 1 例0 0 1 .0 某1 0 人1 0 1 拟1 0 购1 0 房0 0 1 ，0 1 开0 0 发1 0 1 商1 提出两种方案，一是5年后 一次性付120万元，另一方案是从现在起每年年初付 20万元，连续5年，若目前的银行存款利率是7%，应 如何付款？
=20×（5.759+1） =135.18（万元） 方案（2）
P=26×（P/A，10%，10）（P/F，10%，4） =26×6.145×0.683=109.12 （万元）
1 • 方案（3）
2 P=25×（P/A，10%，10） （P/F，10%，3） =25×6.145×0.751=115.38（万元） 4 因此该公司应该选择第二方案。
方案一终值：
1 F =120
方案一终值：
2 F =20（F/A,7%,5）（1+7%）=123.065
或
4 F2 =20[（F/A,7%,6）-1]=123.066
五、递延年金
• 递延年金——第一次支付发生在第 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 三期或第三期以后的年金。