2020-2021学年周口市沈丘县九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年周口市沈丘县九年级(上)期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列各式中，一定是二次根式的是()
A. √a
B. √a
b
C. √a2
D. √c+1
2.若x2−4x+p=(x+q)2，那么p、q的值分别是()
A. p=4，q=2
B. p=4，q=−2
C. p=−4，q=2
D. p=−4，q=−2
3.若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中
高数”.若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是()
A. 1
2B. 2
3
C. 2
5
D. 3
5
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，CD⊥AB于D，
则CD的长是()
A. 6
B. 32
5
C. 24
5
D. 18
5
5.一元二次方程方程x2−5mx+18=0的两个实根是直角三角形的两直角边长，则这个三角形的
面积为()
A. 5
B. 9
C. 18
D. 不能确定
6.关于二次函数y=2x2+4x−1，下列说法正确的是()
A. 图象与y轴的交点坐标为(0,1)
B. y的最小值为−3
C. 当x<0时，y的值随x值的大而减小
D. 图象的对称轴在y轴的右侧
7.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()
A. ∠1=∠2
B. ∠BAD=∠BCD
C. AB=CD
D. AC=BC
8.若k是整数，且关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x+3=0有实数根，则k的最大值为()
A. 1
B. 0
C. −1
D. −2
9.二次函数y=x2−ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x=1，
下列结论不正确的是()
A. a=2
B. 顶点的坐标为(1,−4)
C. 当−1<x<3时，y>0
D. 当x>3时，y随着x的增大而增大
10.如图，已知AD//BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC=()
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.若|x+√7|+√y−2=0，则x y=______．
12.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且|c−2|+(a−5)2=0，则b的取值范围是______．
13.把抛物线y=3x2−1向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为______．
14.某十字路口汽车能够行驶的方向有左转、右转还有直行．假设所有的汽车经过这个十字路口时，
所行驶的这三种方向可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，在这三种方向中，它们行驶的方向相同的概率为______．
15.如图，⊙O的半径为2，两抛物线关于x轴对称，则图中阴影部分的面积
为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
16.化简3x−2
x2−x−2+(1−1
x+1
)÷(1+1
x−1
)，再从−2，−1，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值．
17.初三学生晓岚、红樱为了解本校初二学生每周上网的时间，各自在本校进行了抽样调查．晓岚
从全体400名初二学生中随机抽取了50名学生，调查了他们每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为1.5小时；红樱调查了初二电脑兴趣班50名学生每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为2.5小时．晓岚与红樱整理各自样本数据，如下表所示．
(每组可含最低值，不含最高值)
请根据上述信息，回答下列问题：
(1)你认为哪位学生抽取的样本具有代表性？
答：______ ；估计该校全体初二学生平均每周上网时间为______ 小时；
(2)根据具有代表性的样本，把上图中的频数分布直方图补画完整；
(3)在具有代表性的样本中，中位数所在的时间段是______ 小时/周；
(4)专家建议每周上网2小时以上(含2小时)的同学应适当减少上网的时间，根据具有代表性的样
本估计，该校全体初二学生中有多少名同学应适当减少上网的时间？
18.(1)求出方程ax2+bx=0(a、b、c为常数，且a≠0，b2−4ac≥0)的两个解x1、x2，并计算出
两个解的和与积，填入表中．
(2)观察方程表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程系数之间的关系有什么规律？写出你的结
论．
(3)已知实数a、b满足a2+2a−2=0，b2+2b−2=0，且a≠b，求b
a +a
b
的值．
19.如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东
40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距102海里，问乙船的航速是多少？
20.如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，
垂足为G，点E在劣弧AB⏜上，连接CE．
(1)求证：CE平分∠AEB；
(2)连接BC，若BC//AE，且CG=4，AB=6，求BE的长．
21.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场
调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系y=−20x+2600．
(1)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定
价？
(2)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w(元)，
那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=20，D为BC上一点，
BD=5.点P以每秒2个单位从点A出发沿AC向终点C运动，同时点Q以
每秒1个单位从点D出发，沿BC运动，当点P到达终点时，P、Q同时
停止运动．当点P不与点A重合时，过点P作PE⊥AB于点E，连结PQ，以PE、PQ为邻边作▱PEFQ.
设▱PEFQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．
(1)填空：AB的长为______．
(2)当PQ//AB时，求t的值；
(3)求S与t之间的函数关系式．
23.已知点A(−1,0)，点B(4,0)，点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°.抛物线y=ax2+bx+c经过
A、B、C三点，且顶点为M．
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
(2)在抛物线及对称轴上分别取点D、H，若以B、A、D、H为顶点的四边形为平行四边形，求出此时
点D的坐标．
(3)在抛物线上是否存在点N，使得△BCN的面积等于4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存
在，请说明理由．
参考答案及解析
1.答案：C
解析：解：A、当a<0时，二次根式无意义，故错误；
<0时，二次根式无意义，故错误；
B、当a
b
C、a取任何实数时，a2≥0.故正确；
D、当c<−1时，被开方数c+1<0，二次根式无意义，故错误．
正确的是C，故选C．
含二次根号的式子，如果一定是二次根式，则不论字母取何值，被开方数一定是非负数．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.答案：B
解析：解：∵x2−4x+p=(x+q)2=x2+2qx+q2
∴2q=−4，p=q2，
∴q=−2，p=4，
故选：B．
因为x2−4x+p=(x+q)2=x2+2qx+q2，所以根据等式的基本性质可知：2q=−4，p=q2，即可求解．
本题主要考查了多项式相等的条件，即对应项系数相同，对条件的理解是解决本题的关键．
3.答案：C
解析：
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与7组成“中高数”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：列表得：
∵共有30种等可能的结果，与7组成“中高数”的有12种情况，
∴与7组成“中高数”的概率是：12
30=2
5
．
故选C．
4.答案：C
解析：解：∵∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=√AB2−AC2=6，
△ABC的面积=1
2×AB×CD=1
2
×AC×BC，即1
2
×10×CD=1
2
×8×6，
解得，CD=24
5
，
故选：C．
根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．5.答案：B
解析：解：设直角三角形的两直角边长分别为a、b，是方程x2−5mx+18=0的两个实根，
则ab=18，
所以三角形的面积为1
2
ab=9．
故选：B．
直接利用根与系数的关系得出两直角边长的乘积为18，再乘1
2
即是三角形的面积．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=
−b
a ，x1x2=c
a
．
6.答案：B
解析：解：∵y=2x2+4x−1=2(x+1)2−3，
∴当x=0时，y=−1，故选项A错误，
当x=−1时，y取得最小值，此时y=−3，故选项B正确，
当x<−1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
该函数的对称轴是直线x=−1，故选项D错误，
故选：B．
根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7.答案：D
解析：解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠1=∠2，故A正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，故B正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，故C正确；
D、AC=BC错误，
故选：D．
根据平行四边形对边相等，对角相等，对边平行，可得AB//CD，进而得到∠1=∠2，因此A、B、C 正确．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等且平行，对角相等．
8.答案：B
解析：解：根据题意得k−1≠0且△=(−2)2−4(k−1)×3≥0，
解得k≤4
且k≠1，
3
∴整数k的最大值为0．
故选：B．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k−1≠0且△=(−2)2−4(k−1)×3≥0，然后求出k 的范围，从而得到整数k的最大值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
9.答案：C
解析：解：∵二次函数y=x2−ax+b对称轴为直线x=1，
=1，得a=2，故选项A正确；
∴−−a
2×1
∵该函数图象过点(−1,0)，
∴0=1−2×(−1)+b，得b=−3，
∴y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴该抛物线的顶点坐标为(1,−4)，故选项B正确；
∵二次函数y=x2−ax+b对称轴为直线x=1，过点(−1,0)，
∴该函数过点(3,0)，
∴当−1<x<3时，y<0，故选项C不正确；
∴当x>1时，y随x的增大而增大，故选项D正确；
故选：C．
根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
10.答案：B
解析：试题分析：根据平行线的性质：两条直线平行，内错角相等及角平分线的性质，三角形内角和定理解答．
解：∵AD//BC，
∴∠ADB=∠B=30°，
再根据角平分线的概念，得：∠BDE=∠ADB=30°，
再根据两条直线平行，内错角相等得：∠DEC=∠ADE=60°，
故选：B．
11.答案：7
解析：【试题解析】
解：∵|x+√7|+√y−2=0，
∴x+√7=0，√y−2=0，
∴x=−√7，y=2，
则x y=(−√7)2=7．
故答案为：7．
直接利用非负数的性质得出x，y的值，即可代入得出答案．
此题主要考查了非负数的性质以及二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键．
12.答案：3<b<7
解析：解：根据题意得：c−2=0，a−5=0，
解得c=2，a=5．
根据三角形的三边关系：5−2<b<5+2，
即3<b<7，
故答案是：3<b<7．
根据非负数的性质得c−2=0，a−5=0，再根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列不等式求解即可．
本题主要考查了利用非负数的性质和三角形的三边关系求解．几个表示非负数的算式的和等于0，则每一个运算式都等于0．
13.答案：y=3x2+1
解析：解：把抛物线y=3x2−1向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为：y=3x2+1．
故答案为：y=3x2+1．
直接利用二次函数图象的平移规律进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
14.答案：1
3
解析：解：画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：
这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中它们行驶的方向相同的有3种，
所以它们行驶的方向相同的概率=3
9=1
3
．
列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口行驶的方向相同情况占总情况的多少即可．
此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．
15.答案：2π
解析：解：如图所示：图中阴影部分的面积为半圆面积，
∵⊙O的半径为2，
∴图中阴影部分的面积为：1
2
π×22=2π．
故答案为：2π．
根据二次函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．
此题主要考查了二次函数对称性以及圆的面积公式，正确转化阴影部分面积是解题关键．
16.答案：解：原式=3x−2
(x−2)(x+1)+x
x+1
×x−1
x
=
3x−2
(x−2)(x+1)
+
(x−1)(x−2)
(x+1)(x−2)
=x2
x2−x−2
，
当x=−1，0，1，2都无意义，
故x=−2，原式=4
4+2−2
=1．
解析：直接利用分式的混合运算法则分别化简进而把符合题意的数据代入求出答案．此题主要考查了分式的化简求值，正确运用分式的混合运算法则是解题关键．
17.答案：晓岚；1.5；1～2
解析：答：(1)晓岚；1.5小时；
(2)
(3)中位数所在的时间段是1～2小时/周；
(4)该校全体初二学生中有400×18
50
=144名同学应适当减少上网的时间．
(1)红缨抽取的样本太片面，电脑爱好者上网时间一定多，所以不具代表性，所以估计该校全体初二学生平均每周上网时间为1.5小时；
(2)结合频数分布中晓岚的统计，把频数分布直方图补画完整；
(3)根据中位数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数；
=64名同学应(4)每周上网2小时以上(含2小时)的同学有8人，所以该校全体初二学生中有320×8
40
适当减少上网的时间．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
18.答案：
解析：试题分析：(1)能够熟练运用直接开平方法、因式分解法解方程，再进一步求两根之和与两根之积；
(2)根据(1)中的第四行的结论，推广到一般进行总结即可．
(3)根据已知得出a、b是方程x2+2x−2=0(a≠0)的两个根，则a+b=−2，ab=−2，再代入b
a
+
a b =a2+b2
ab
=(a+b)2−2ab
ab
计算即可．
19.答案：解：∵∠BAC=180°−40°−50°=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC2+AB2=BC2，
∵AC=16×3=48(海里)，BC=102海里，
∴AB=√BC2−AC2=√1022−482=90海里，
∵乙船航行时间为3小时，
∴乙船行驶速度为90÷3=30(海里/时)．
答：乙船的航速是30海里/时．
解析：先根据方位角的定义证得△ABC是直角三角形，再求出AC的长度，根据勾股定理求得AB的长，然后根据乙船的航行时间即可解题．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理的应用，理解方位角的定义证得△ABC是直角三角形是解题的关键．
20.答案：(1)证明：∵CD⊥AB，CD是直径，
∴AC⏜=BC⏜．
∴∠AEC=∠BEC；
∴CE平分∠AEB；
(2)解：∵CD⊥AB，CD是直径，AB=6，
∴BG=AG=3，∠BGC=90°，
在Rt△BGC中，∵CG=4，BG=3，
∴BC=5，
∵BC//AE，
∴∠AEC=∠BCE．
又∠AEC=∠BEC，
∴∠BCE=∠BEC
∴BE=BC=5．
解析：本题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理、等腰三角形的判断及平行线的性质；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
(1)根据垂径定理得到AC⏜=BC⏜，然后根据圆周角定理得到∠AEC=∠BEC，从而得出结论；
(2)利用垂径定理得到BG=AG=3，∠BGC=90°，则利用勾股定理可计算出BC=5，由平行线的性质得到∠AEC=∠BCE，然后证明∠BCE=∠BEC，从而得到BE的长．
21.答案：解：(1)(x−50)(−20x+2600)=24000，
解得，x1=70，x2=110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
(2)由题意可得，w=(x−50)(−20x+2600)=−20(x−90)2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，(x−50)÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x=65时，w取得最大值，此时w=19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
解析：(1)根据题意列方程，解方程即可得到结论；
(2)根据题意列函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
22.答案：20√2
解析：解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√202+202=20√2，
故答案为20√2；
(2)t秒时，AP=2t，BQ=5+t，
当AP=BQ时，PQ//AB，
即2t=5+t，
解得：t=5；
(3)①当0<t≤5时，如图1，延长QF交AB于点G，
在Rt △APE 中，AE =APcosA =2t ⋅cos45°=√2t =PE ， 在Rt △BQG 中，同理可得：QG =BG =√22
(5+t)， 则EG =AB −AE −BG =20√2−√2t −√22
(5+t)=35√22−3√22t ， S =PE ⋅EG =√2t ×(35√22−3√22t)=−3t 2+35t ；
②当5<t ≤10时，如图2，
设线段QF 交AB 于点G ，
由①知，EG =35√2
2−3√22t ，AE =√2t =PE ，QG =BG =√22(5+t)， 则GF =QF −QG =PE −QG =√2t −√22
(5+t)， S =S ▱PEFQ −S △EGF =PE ⋅EG −12×GE ×GF =12×EG ⋅(2PE −GF)=−94t 2+452t +175
4；
故S 与t 之间的函数关系式S ={−3t 2+35t(0<t ≤5)−94t 2+452t +1754
(5<t ≤10)． (1)在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB =√AC 2+BC 2，即可求解；
(2)t 秒时，AP =2t ，BQ =5+t ，当AP =BQ 时，PQ//AB ，即2t =5+t ，即可求解；
(3)当0<t ≤5时，▱PEFQ 与△ABC 重叠部分的面积即为▱PEFQ 的面积；当5<t ≤10时，S =S ▱PEFQ −S △EGF ，再利用面积公式即可求解．
本题四边形综合题，考查了平行四边形的性质、勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数等知识，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．
23.答案：解：
(1)∵∠ACB =90°，
∴∠ACO +∠OCB =∠OBC +∠OCB =90°，
∴∠ACO =∠OBC ，且∠AOC =∠COB ，
∴△AOC∽△COB ，
∴AO CO =CO BO ，
∵A(−1,0)，B(4,0)，
∴OA =1，OB =4，
∴OC 2=OA ⋅OB =4，即OC =2，
∴C(0,2)，
把A 、B 、C 三点坐标代入抛物线解析式可得{a −b +c =016a +4b +c =0c =2，解得{a =−12b =32c =2
，
∴抛物线解析式为y =−12x 2+32x +2；
(2)当AB 为对角线时，
∵A 、B 关于对称轴对称，D 在抛物线，H 在对称轴上，
∴AB 为四边形AHBD 的对角线，
∴D 点为抛物线的顶点坐标，
∵y =−12x 2+32x +2=−12(x −32)2+258，
∴D 点坐标为(32,258)；
当AB 为边时，则有AB//DH ，且AB =DH ，
设D(x,−12x 2+32x +2)，则DH =|x −32|，
∵A(−1,0)，B(4,0)，
∴AB =5，
∴|x −32
|=5，解得x =132或x =−72， 此时点D 的坐标为(132,−758)或(−72,−752)；
综上可知D 点坐标为(32,258)或(132,−758)或(−72,−752)；
(3)如图，过N 作NM//y 轴，交BC 于点M ，
∵B(4,0)，C(0,2)，
∴可设直线BC解析式为y=kx+2，
把B点坐标代入可得0=4k+2，解得k=−1
2
，
∴直线BC解析式为y=−1
2
x+2，
设N(x,−1
2x2+3
2
x+2)，则M(x,−1
2
x+2)，
∴MN=|−1
2x2+3
2
x+2−(−1
2
x+2)|=|−1
2
x2+2x|，
∴S△BCN=1
2MN⋅OB=1
2
×4|−1
2
x2+2x|=2|−1
2
x2+2x|=|−x2+4x|，
当S△BCN=4时，则有|−x2+4x|=4，解得x=2或x=2+√2或x=2−√2，
∴存在满足条件的点N，这样的点有三个．
解析：(1)由△AOC∽△COB可求得OC的长，可求得C点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(2)当AB为对角线时，由A、B关于对称轴对称可知，AB为平行四边形的对角线，可知满足条件的D点坐标抛物线的顶点，利用(1)中所求抛物线解析式可求得D点坐标；当AB为边时，则可知AB=HD，设出D点坐标，则可得到关于D点坐标的方程，可求得D点坐标；
(3)过N作NM//y轴，交BC于点M，由B、C坐标可求得直线BC的解析式，设出N点坐标，则可表示出M点坐标，从而可表示出MN的长，则可表示出△BCN的面积，由条件可求得D点坐标．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积及方程思想等知识．在(1)中求得C点坐标是解题的关键，在(2)中确定出D点的位置是解题的关键，在(3)用N点坐标表示出△BCN的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。