利用高斯--波涅公式所能解决的问题

高斯—波涅公式的应用
邢家省，王拥军
（北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191）
摘要:考虑曲面上高斯—波涅公式的应用问题，对有关结果给予直接的证明，并列举了一些实例.
关键词: 高斯—波涅公式，高斯曲率，测地曲率
中图分类号: O186. 11 文献标识码: A
The Application of the Gauss–Bonnet Formula
Xing Jiasheng Wang Y ongjun
(Department of Mathematics, LMIB of the Ministry of Education, Beihang
University ,Beijing 100191，China)
Abstract:Using the Gauss–Bonnet t heorem， we give a direct proof of some relevant results and listed some examples.
Keywords:Gauss–Bonnet formula , Gauss curvature,
geodesic curvature
高斯—波涅公式是微分几何中的重要定理[14]
-
，它描述了曲面上多边形的内角和
与曲面的高斯曲率及边界曲线上的测地曲率之间的关系.对该定理的证明和推广引起了
人们持续不断的兴趣，定理结果的应用也被人们发掘出来[14]
-
.我们对常见的能解决
的问题结果给出整理，给予直接的证明，列举了一些实例，丰富高斯—波涅公式的应用.微分几何中其它相关问题的研究可见文献[5-12].
收稿日期：
基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171013），
北京航空航天大学教改项目基金资助
作者简介：邢家省（1964--）男，河南泌阳人,博士，副教授,研究方向：偏微分方程、微分几何.
1. 光滑边界单连通区域上的Gauss-Bonnet 公式的应用
设曲面:(,)S
r r u v =
是3C 类正则曲面. 曲面S 上的高斯曲率为K ，曲面上
的曲线的测地曲率为g k ，曲面上的面积微元为d A ，曲线的弧长微分为ds .区域
D 的边界记为D ∂.
定理1(Gauss-Bonnet 公式)[14]
- 设区域D 是曲面S 上的一个单连通区域，如果D
∂是一条光滑曲线，
则有
2g D
D
K dA k ds π∂+
=⎰⎰
⎰
， （1）
推论1
[14]
- 设区域
D 是曲面S 上的一个单连通区域，如果D ∂是一条光滑曲
线，并且D ∂是曲面上的测地线，即曲线D ∂上的测地曲率0g k =，
则有2D
KdA π=⎰⎰ .
推论2
[14]
- 设曲面S 是一个单连通的封闭曲面，则有
4S
K dA π=⎰⎰
.
证明 用一条光滑的封闭曲线C 把曲面S 分成两个部分1S 和2S ， 利用定理1，有
1
1
2g S S K dA k ds π∂+=⎰⎰⎰
， 2
2
2g S S K dA k ds π∂+
=⎰⎰
⎰
，
由于1S ∂和2S ∂的定向相反，1
2
||g S g S k k =-，
把上两式相加后，得到4S
K dA π=⎰⎰.
例1
[14]
- 设S 是半径为R 的球面，此时有2
1K R
=
，
自然成立4S
K dA π=⎰⎰ .
例2 设S 是椭球面
2222
2
2
1x y z a
b
c
+
+
=，曲面上的高斯曲率为K ，求S
KdA ⎰⎰.
解 由于椭球面S 是一个封闭地曲面，利用推论2，则有4S
K dA π=⎰⎰ .
推论3
[14]
- 在高斯曲率非正的单连通曲面上, 不存在光滑的闭测地线.
证明 设曲面S 是一高斯曲率非正的单连通曲面, 若其上存在一条光滑的闭测地线
C , 则C 的测地曲率0g
k =, 设C 在曲面S 所围的区域为D ，
由Gauss-Bonnet 公式(1)，知2D
KdA π=⎰⎰，这与
S
上的高斯曲率0K ≤ 矛盾.
注 推论3 中必须要求C 所围成的区域是单连通的, 否则命题不成立. 例如在旋转单叶双曲面上(它的高斯曲率0K < )存在着一条光滑闭测地线, 即曲面上的最小纬圆.
2 分段光滑边界单连通区域上的Gauss-Bonnet 公式的应用
定理2 (Gauss-Bonnet 公式) [14]
- 设C 是有向曲面S 上的一条由n 段光滑的曲线
组成的简单封闭曲线, 它由n
段光滑曲线1,,n C C 所组成, 而这些光滑曲线段在交接处
的外角为(1,,)i i n θ= ， 曲线C 所包围的区域D 是曲面S 上的一个单连通区域，
那么成立
1
1
2i
n
n
g i
D
C i i K dA k ds θ
π==+
+
=∑∑⎰⎰⎰
，
1
2n
g i
D
D
i K dA k ds θ
π∂=+
+
=∑⎰⎰
⎰
, （2）
若用(1,,)i i n α= 表示这些光滑曲线段在交接处的内角，则有
1
()2n
g i D
D
i K dA k ds π
απ∂=+
+
-=∑⎰⎰
⎰
， （3）
推论4
[14]
- 如果曲线C 中每段光滑曲线i C 是测地线, 则在由测地线段所围成的单连通测地
n
边形区域D 中, 成立如下公式
1
2n
i
D
i K dA θ
π=+
=∑⎰⎰
； （4）
若用i α表示测地
n
边形的外角i θ 所对应的内角, 则有
1
(2)n
i
D
i n K dA α
π==-+
∑⎰⎰
， （5 ）
例3 当曲面S 是平面时, 因为0K = , 于是(5 )式即平面几何中多边形内角之和的公式. 如当 3n =时就得到: 三角形三内角之和等于π. 推论5[14]
- 如果D ∂是曲面S 上的一个测地三角形, 即三条测地线所围成的三角
形，
则有 3
1
i D
i K dA απ==+
∑⎰⎰
， （6）
例4
[14]
- 若曲面S 上的高斯曲率是常数K ，则曲面S 上的一个测地三角形∆三内
角之和为
123KdA KA αααππ∆
++=+
=+⎰⎰
，
其中A 是这个测地三角形∆的面积.
进而, 当S 是正常曲率曲面(如球面) 时, 0K > , 所在正常曲率曲面上的测地三角形三内角之和大于π; 而当S 是负常曲率曲面(如伪球面) 时, 0K <, 所以在负常曲率曲面上的测地三角形三内角之和小于π.
例5
[14]
-在单位球面上若两条大圆相交于南北极且相交处的内角为α, 试求其所围
区域的面积.
解 由1K =，利用（5）式，得 2(22)()D
KdA D απσ=-+
=⎰⎰
，
于是所围面积为2α
推论6
[14]
- 设D 是曲面S 上的一个四边形区域，其内角为(1,2,3,4)i i α=，边界
D ∂由光滑四边(1,2,3,4)i C i =构成，
则有4
4
1
1
2i
g i
D
C i i K dA k ds α
π==+=
-∑
∑⎰⎰⎰
定理3
[14]
- 设有定了向的封闭曲面S ，且 S 能被剖分成几个四边形，而且各顶点正
好聚集四个四边形，则成立 0S
K dA =⎰⎰.
证明 设曲面S 被剖分成n 个四边形(1,2,,)i D i n = ，曲面四边形i D 的边界由四边
(1,2,3,4)ij C j =组成，内角为(1,2,3,4)ij j α=，利用推论6，可得
4
4
11
2i
ij
g ij
D C j j K dA k ds α
π==+
=
-∑∑⎰⎰⎰
，(1,2,,)i n = ，
由条件可知4
11
0ij
n
g C i j k ds ===∑
∑⎰
，4
1
1
2n
ij
i j n α
π===∑
∑，
于是有1
0i
n
D i K dA ==∑
⎰⎰
，即成立 0S
K dA =⎰⎰.
例6 设环面∑
：((sin )cos ,(sin )sin ,cos )r b a b a a ϕθϕθϕ=++ ，
其中a b <是正常数，参数0,2θϕπ
≤≤。

直接计算知
||||(sin )
r r a b a θϕϕ⨯=
=+
，
22
sin (sin )
LN M K EG F
a b a ϕ
ϕ-=
=
-+， 2
22sin 2()
2(sin )
LG M F NE b a H EG F a b a ϕ
ϕ-++=
=
-+， 对环面∑具有定理上的条件， 利用定理3，可得到0K dA ∑
=⎰⎰，
直接验证22220
sin 0KdA K d d d ππ
ππ
ϕθϕϕθ∑
=
=
=⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
.
例7
[14]
- 证明：在高斯曲率非正的单连通曲面上, 不能有两条测地线交于两点.
证明 设曲面S 是一高斯曲率非正的单连通曲面,
若其上存在两条测地线交于两点，设内角为12,αα，所围区域为D ，
利用公式1
(2)n
i D
i n K dA απ==-+
∑⎰⎰
，当2n =时，
则有120D
KdA αα=+>⎰⎰，
（若120=0αα=或，这与过一点及一个方向的测地线的唯一性矛盾.） 这与S 上的高斯曲率0K ≤ 矛盾.
注：在曲面S 的高斯曲率为正的单连通曲面, 可以存在两条测地线交于两点.例如 球面上的任两个大圆，都是测地线，相交于两点.
. 例8
[4]
设曲面S 上的高斯曲率是正函数，且S 单连通的封闭曲面，证明曲面S 上的任何
两个闭测地线至少有一个交点.
证明 用反证法.假若曲面S 上的存在两条不相交的封闭测地线1C 和2C ，
设1C 和2C 所围曲面上的区域为D ，用一条曲线段3C 将曲线1C 和2C 连接起来，
可看成一个四边形，其中3C 被正向、方向各利用一次，利用推论6的结果，可得
4
1
2220i
D
i K dA α
πππ==
-=-=∑⎰⎰
，
而这与高斯曲率0K >矛盾，所以原结论成立.
例9
[13]
-利用高斯—波涅公式证明：若曲面S 上存在两族夹角为定角的测地线，则它的
高斯曲率处处为零，从而曲面为可展曲面.
证明 在曲面上任取由两组测地线所围的曲边四边形D ，由条件知，此种四边形的内角
和为4
1
2,i i απ==∑利用公式1
(2)n
i D
i n K dA απ==-+
∑⎰⎰
，
当4n =时，则得0D
K dA =⎰⎰，于是必有
0K =.
假若存在某点P
，有()0K P ≠，
不妨设
()0K P >，存在P 的一个邻域G ，在G 上，
0K >；
在G 内取一个四边是测地线弧段四边形D ， 显然0D
K dA >⎰⎰，矛盾.
故此曲面上的高斯曲率处处为零.
定理4[3]
( Jacobi, 1842 ) 设 ()r r s =
是曲率处处不为零的空间正则闭曲线,
其中s 为弧长参数,如果它的主法线球面标线11()()r r s s β==
是单位球面S 上的一
条简单光滑闭曲线. 则这条主法线的球面标线必定平分S 的面积.
证明 设
1s 是1
1
1
:()C r r s = 的弧长参数, g
k
是C 作为S 上曲线的测地曲率, D 是
S 上由C 围成的区域之一.
我们首先证明1
(arctan
)
g d ds
k ds
k ds τ
= .
由Frenet 公式, 得
11
1
11
()
dr d d ds
ds
k ds ds ds ds ds βββτγ===-+
，
故有
1
ds ds =
，
因为11()r s
在球面S 上, 故沿C , S 的单位法向量1()()n
r s s β==
，
于是
1111(,(),())g k n r s r s '''= 22
11
()()
((),,)d s d s s ds ds βββ=
3
1
(()())(
)ds k s k s ds ττ''=-+1
(arctan
)
d ds
ds
k ds τ
=
，
因此111
(arctan
)
g C C
d ds
k ds ds ds
k ds τ
=
⎰⎰
(arctan
)0C
d
ds ds
k
τ
=
=⎰
，( 因为C 是闭曲线).
再由Gauss-Bonnet 公式得( 因为球面 S 的总曲率1K ≡ )
1()22g D
D
C
S D dA K dA k ds ππ=
=
=-
=⎰⎰
⎰⎰
⎰
，
即区域D 的面积为2π, 又因为S 的面积为4π ， 故 C 平分S 的面积.
参考文献：
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