高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三上学期第三次阶段性复习过关考试

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三上学期第三次阶段性复习过关考试
数学（理）试题
一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．设集合(){}
01log 2<-=x x M ，集合
{}
2-≥=x x N ，则=⋂N M （ ）
A.
{}22<≤-x x B.{}2-≥x x C.{}2<x x D.{}21<<x x
2．复数满足
i z -=
12
，则z 的共轭复数为（ ）
A. i +1
B. i -1
C.i +-1
D. i --1
3．函数
()()
13lg 132++-=
x x
x x f 的定义域为（ ）
A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．
1,3⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭ 4．在ABC ∆中，2CM MB =，0AN CN +=，则（ ）
A. 21
3
6
MN AB AC
=+ B. 27
3
6
MN AB AC
=+ C.
12
6
3
MN AC AB
-= D.
72
6
3
MN AC AB
-=
5．"2"=a 是“函数
()a
x x f -=在区间[)+∞,2上为增函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．函数
1
1
lg
-=x y 的大致图象为( )
7．设向量()()1,1,3,3-==b a ，若()()
b a b a λλ-⊥+，则实数=λ（ ）
A ．3
B ．1
C ．1±
D ．3±
8．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥-≤+,0,1,
33y y x y x 则y x z +=的最大值为( ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9．已知等比数列
{}n a 中，9102=a a ，则75a a + ( )
A. 有最小值6
B. 有最大值6
C. 有最小值6或最大值6
D.有最大值6
10．已知a 与b
均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题（ ）
其中的真命题是 A.
14
,P P B.
13
,P P C.
23
,P P D.
24
,P P
11．已知函数()()0cos sin 3>+=ωωωx x x f 的零点构成一个公差为2π
的等差数列，把函数()x f 的图像沿x 轴向左平移6π
个单位，得到函数()x g 的图像，关于函数()x g ，下列说法正确的
是( )
A. 在⎥
⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上是增函数 B. 其图像关于直线
4π-=x 对称 C. 函数)(x g 是奇函数 D. 在区间
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡32,6ππ上的值域为[]1,2- 12．⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=，，
2,21
log 2,2)(2x x x x x x f a 的值域为R ，则)22(f 的取值范围是（ ） A ．⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-∞-21, B ．⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-∞-45, C ．
⎪⎭⎫
⎢⎣⎡+∞-,45 D ．
⎪⎭⎫
⎢⎣⎡--21,45 填空题（每小题5分，共20分）
13．已知()2tan =-πθ，则θθcos sin 的值为 .
14．已知数列
{}n a 满足21=a ，n n a a 21=+，n S 为{}n a 前n 项和，若126
=n
S ，则=n .
15．已知函数
()x x x f 1
+
=，当()+∞∈,2x 时，()x f 的值域为 .
16．已知在实数集
R 上的可导函数()x f ,满足()2+x f 是奇函数,且
()
2'1
>x f ,则不等式
()121
->
x x f 的解集是 .
解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若
)2sin ,2cos (A A m -=，)2sin ,2(cos A
A n =，且21=
•n m .
（1）求角A 的大小；
（2）若32=a ，三角形面积3=
S ，求c b +的值
18.（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，841,,a a a 成等比数列，数列{}n a 的前
10项和为45. （1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）若
11
+=
n n n a a b ，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .
19.（本小题满分12分）设函数
().
23cos 3sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=x x x f π (1)求()x f 的单调增区间;
(2)已知ABC ∆的内角分别为,,,C B A 若,
232=⎪⎭
⎫
⎝⎛A f 且ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅的最小值.
20．（本小题满分12分）设()ax
x x x f 221
3123++-=, (1)若()x f 在⎪⎭⎫
⎝⎛∞+，
3
2上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当20<<a 时，()x f 在[]4,1上的最小值为316
-
，求()x f 在该区间上的最大值.
21．（本小题满分12分）设函数()(),
121ln 2
≠--+
=a bx x a x a x f 曲线()x f y =在点()()1,1f 处
的切线斜率为0.
（1）求b ;
（2）若存在
1
0≥x 使得
()10-<
a a
x f ，求a 的取值范围.
22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐
标系，曲线C 的极坐标方程为()0cos 2sin 2>+=a a θθρ；直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-==,222,22t x t y （t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若点P 的极坐标为()π，2，
2
5=+PM PM ，求a 的值.
度高三一轮复习过关考试（三）
高三数学（理）参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
B
B
C
A
C
D
D
C
A
D
D
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13、52
14、6 15、⎪
⎭⎫ ⎝⎛+∞,2
5 16、()2,∞- 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：（1）∵)2sin ,2cos (A
A m -=，)2sin ,2(cos A A n =，且21=
•n m ， 212sin 2cos 22
=+-∴A A ， 即21
cos =-A ，又()π,0∈A ，
∴
3
2π=
A 6分
（2）
3sin 21
==
∆A bc S ABC ，4=∴bc ,
又由余弦定理得：bc c b A bc c b a ++=⋅-+=2
2222cos 2,
()162
=+∴c b ，故4=+c b 12分
18.（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由841,,a a a 成等比数列可得，812
4
a a a ⋅=，即
()()d a a d a 73112
1+=+，d a a d d a a 12
1212
1796+=++∴，
0≠d ，d a 91=∴． 3分
由数列
{}n
a 的前10项和为45，得45
4510110
=+=d a S
，
即454590=+d d ，故3
,31
1==a d ，5分
故数列
{}n
a 的通项公式为
38
+=
n a n ；6分
()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=++==
+9181
998911n n n n a a b n n n 8分
999191919+=+-
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=n n n n 12分 解：（1）()x
x x x x f 2cos 232sin 2123cos 3sin 2+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=π
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+=32sin πx 3分 由
π
π
π
ππ
k x k 22
3
222
+≤
+
≤+-
，得Z k k x k ∈+≤≤+-
,12125ππ
ππ
()
x f 的单调增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++-,12125ππππ， 5分
(2)
233sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛πA A f ，()π,0∈A ，3π=∴A 6分
ABC ∆能覆盖住的最大圆为ABC ∆的内切圆，设其半径为r ，
则有ππ=2
r ，1=r ， 7分
由
()r c b a S ABC ⋅++=
∆21，及A
bc S ABC sin 21
=∆，得()c b a bc ++=2143，
由余弦定理，A bc c b a cos 22
22-+=，得bc c b a -+=2
2
9分
bc bc bc bc c b c b bc 3223
22=+≥-+++=∴
（当且仅当c b =时等号成立）
即12≥bc 11分
[)1
6,,
2AB AC bc ⋅=∈+∞当且仅当c b =时，AB AC ⋅的最小值为6. 12分
20.解：(1)
()a x x x f 2'2++-=，1分 由题意得，()0'>x f 在⎪⎭⎫
⎝⎛∞+，
3
2上能成立，只要()0'max >x f 即0
32'>⎪⎭⎫
⎝⎛f ，即29＋2a ＞0，得a ＞－1
9
，5分
所以，当a ＞－19
时，()x f 在⎪⎭⎫
⎝⎛∞+，
32上存在单调递增区间. 6分 (2)已知0＜a ＜2，()x f 在[1，4]上取到最小值－163
，而()a x x x f 2'2
++-=的图象开口向下，且
对称轴x ＝1
2，∵f ′(1)＝－1＋1＋2a ＝2a ＞0，f′(4)＝－16＋4＋2a ＝2a －12＜0，则必有一点x0∈[1，
4]，使得f′(x0)＝0，此时函数f(x)在[1，x0]上单调递增，在[x0，4]上单调递减，9分 ∵f(1)＝－13＋12＋2a ＝1
6＋2a ＞0，
∴
()=
min x f f(4)＝－13×64＋12×16＋8a ＝－403＋8a ＝－163
⇒a ＝1. 10分
此时，由
()0
2'020=++-=x x x f ⇒
2
0=x 或－1(舍去)，
所以函数f(x)max ＝f(2)＝10
3
. 12分
21.解：（1）
()(1)a
f x a x b
x '=
+--，由题设知 (1)0f '=,解得b 1 3分
(2) f (x)的定义域为(0,),由(Ⅰ)知,
2
1()ln 2a f x a x x x -=+
-，
令()0'=x f ，得11=x ，
a a
x -=
12， 6分
当11a a ≤-时，即
12a ≤
，故当x (1,)时, f '(x) 0 , f (x)在(1,)上单调递增.
所以,存在0
x 1, 使得 0()1a f x a ≤
-能成立，只要(1)1a f a ≤-，即1121a a
a --<
-
所以
2 1
a
2
1; 8分
当11a a >-时，即112a <<，故当x (1, 1a a -)时, f '(x) <0 , x (,1a
a +∞
-)时,()0f x '>, f (x)在(1, 1a a -)上单调递减，f (x)在⎪⎭⎫
⎝⎛+∞-,1a
a 单调递增.所以存在0
x 1,
使得
0()1a f x a ≤
-能成立，只要()11a a
f a a ≤
--，
而
()2()ln 112111a a a a a f a a a a a a
=++>-----，所以不合题意. 10分
(ⅲ) 当1a >时，由
11(1)1221a a a
f a ---=
-=<-，成立.
综上，a 的取值范围为
()
()
2211,-
⋃+∞12分
22.解：（1）由()0cos 2sin 2>+=a a θθρ，得()0cos 2sin 22
>+=a a θρθρρ， 所以曲线C 的直角坐标方程为
ax y y x 222
2+=+， 即
()()112
22+=-+-a y a x ，…………………………………………………………3分 直线l 的普通方程为2+=x y . …………………………………………………………5分
将直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+
-=t
y t x 22,22
2代入
ax y y x 222
2+=+并化简、整理， 得
()
0442232
=++⋅+-a t a t .……………………………………………………6分 因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点。

所以()
()0444223Δ2
>+-+=a a ，解得1≠a . 由根与系数的关系，得
a t t 22321+=+，4421+=a t t . ………………………8分
因为点P 的直角坐标为()0,2-，在直线l 上。

所以
2
522321=+=+=+a t t PN PM ，
解得2=a ，此时满足0>a .且1≠a ， 故
2
=a .…………………………………………………………………………………10分
高考理科数学试题及答案
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目
要
求
的。

1.
31i
i
+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2. 设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的
最小
值是（）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共
有（）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的
S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐
近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
23
10. 若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB
与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．
32 B ．155 C ．105
D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽
到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4f x x x =+-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是．
15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
1
1
n
k k
S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为
F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：
1.
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
2.
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （
） 0.050 0.010 0.001 k
3.841 6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.（12分）
如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所
成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值 20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1） 求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2
C
的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修45：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3
3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
参考答案
1．D 2．C
【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =， 3．B
【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-==-a S ，解得13a =．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．
2211
π310π3663π
22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36⋅=
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
8．B
【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A
【解析】取渐近线b
y x a =，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线距离为
22
23b a b =+ 得224c a =，24e =，2e =．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，）
可知1152MN AB =
=
，1122NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形．
1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
14122172⎛⎫
=+
-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭
，7=AC
则7MQ =
，则MQP △中，2211MP MQ PQ =+= 则PMN △中，222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=⋅⋅
222
52111052
2⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=
=-⋅⋅ 又异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，，则余弦值为10．
11．A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，
则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，
则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．
12．B
【解析】几何法：
如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()
2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，
要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上，
D C
则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又3
23PA PD AD +==⨯
=， 则2
233
24PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≤， 则min 332242
PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， ∴()
03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()
3PA x y
=--，，
()
1PB x y =---，，
()1PC x y =--，，
∴()
222222PA PB PC x y y ⋅+=-+
2
23324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
则其最小值为33242⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，此时0x =，3y =．
13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡
⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭，
()231cos 3cos 4
f x x x =-+-
令cos x t =且[]01t ∈， 21
34
y t t =-++
2
31t ⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
则当3
t =时，()f x 取最大值1． 15．
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．
则3123a a d =+= 414610S a d =+=
求得11a =，1d =，则n a n =，()12
n n n S +=
()()
112222
122311n
k k
S n n n n ==+++
+⨯⨯-+∑
111
111121223
11n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭
122111n n n ⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
16．6
【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】（1）依题得：2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=，
∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=，
l F
N M C B A
O
y
x
∴15cos 17
B =
， （2）由⑴可知8sin 17
B =． ∵2AB
C S =△， ∴1
sin 22ac B ⋅=， ∴18
2217
ac ⋅=， ∴17
2ac =
， ∵15cos 17
B =
， ∴22215217
a c
b a
c +-=，
∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.62=
()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯
0.66=
()()()0.4092P A P B P C == （2） 箱产量50kg <
箱产量50kg ≥
中/华资*源%库旧养殖法 62 38 新养殖法
34
66
由计算可得2K 的观测值为
()2
2
2006266383415.705
10010096104
k ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．
19．【解析】
z
y
x
M 'M
O
F
P
A
B
C
D
E
（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．
∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1
2
EF AD ∥．
又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==
，∴1
2
BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥
（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．
设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，
，，(010)D ，，， (00P ，．
M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，
∴MBM '△为等腰直角三角形．
∵POC △为直角三角形，3
3
OC OP =，∴60PCO ∠=︒． 设MM a '=，3CM a '=
，3
1OM a '=-．∴3100M a ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭
，，． 2
22
231610133BM a a a a ⎛⎫'=++=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭．∴3211OM a '=-=-． ∴2100M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，，2610M ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，， 26112AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116
0y z +
=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，
(001)n =，，．
∴10
cos ,m n m n m n
⋅<>=
=
⋅． ∴二面角M AB D --的余弦值为10
． 20．
【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，
(0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝
⎭，
∴1
2M x y ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，，又M 在椭圆上． ∴2
2
122x += ⎪⎝⎭
，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，
由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，
∴2
13OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．
设直线OQ ：3Q y y x =⋅-， 因为直线l 与OQ l 垂直．
∴3l Q
k y = 故直线l 方程为3()P P Q y x x y y =
-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-，
13
P Q P y y x x -⋅=-， ∴13
P Q P x y y x =-⋅+， ∵33P Q P y y x =+，
∴1(33)13
P P x x x =-++=-， 若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±，
直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-，
直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．
21．
【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．
令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11ax g x a x x
-'=-=， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1x a =
． 当10x a <<时，()0g x '<，()g x 单调减；当1x a
>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭
； 若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭
； 若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，()0g x ≥． 综上，1a =．
⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．
令()22ln h x x x =--，则()1212x h x x x -'=-=，0x >． 令()0h x '=得12x =
， 当102x <<
时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12
x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭
． 因为()
22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
，， 所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，()h x 即()f x '各有一个零点． 设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，，因为()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单调减，
所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当012
x x <<
时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点． 因为，()f x '在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．
所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()()
24220e e e e f x f ---->=+>． 因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则
又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<
，所以()014f x <． 因此，()201e 4
f x -<<
． 22． 【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，
，， 则0||OM OP ρρ==，．
000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩
解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为
()2224x y -+=．()0x ≠
⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．
||OA 为定值．
∴当高最大时，AOB S △面积最大，
如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点
交圆C 于B 点，
此时AOB S △最大
max 1||||2
S AO HB =⋅ ()1||||||2
AO HC BC =+
2=
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：()()()2255334a b a b a b ++=+=≥
1a b ==时取等号．
⑵∵332a b +=
∴()()
222a b a ab b +-+=
∴()()232a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦ ∴()()3
32a b ab a b +-+= ∴()()3
23a b ab a b +-=+ 由均值不等式可得：()()3
2
232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()32
232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()33324a b a b ++-≤ ∴()3124
a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．。