第3章(3.3.1)二元正交随相信号的最佳解调(非相干检测)性能分析

3.3.1 在AGN 中二元正交随相信号的最佳解调（非相干检测）
“二元正交随相信号”的含义解释：
“正交”—— 指发送确知信号的两个波形正交，如2FSK ，ρ=0。

“随相”—— 指接收信号波形的相位是随机的。

信道引入的相移是不可辨识的。

但是幅度增益是已知的。

一． 最佳解调器及判决变量
１．发送信号 2()R e [()], =1,2
c
j f t
m m s t u t e m π= 假定：1）等能量：12E E E ==
2）等概： 1122 ()P S P S ==（） 3）正交： *
1
1220
()() 0T
E
u t u t dt ρ=
=⎰
(注：orthogonal.)
2．接收信号： )()(), =j m r t e u t z t m φα-=+（（注：m φ下标m 似不必要。

） ~[0,2]U φπ，
注：*211
220
()()=|()| ,
1,2T
T
m m m E u t u t dt u t dt m ==⎰⎰ )(t z 为等效低通复高斯噪声
3. 最佳解调器
注：m
|U |m U = 取模。

（不是实判决变量）
复判决变量
判决规则：
12212
, U U U U S >⎧⎨
>⎩1，判发S 判发
判决变量： T
*m 0
U =|()()| 1,2
m
r t u t d t m =⎰， 注：当发第m 个信号，正好经过第m 个匹配滤波器时有
T
T
T
()()[()()]()2()()2m m
m
j m m m j j m
m
r t u t dt e u t z t u t dt
Ee
z t u t dt Ee
N φφφααα-**
--*
=+=+=+⎰
⎰⎰
上式中，0α>是已知的（可以估计的），而m φ（下表m 似可以省略，因为信道不随信号而变）是不可以辨识的。

因 1()u t 与 2()u t 正交，则两匹配滤波器是相互正交的。

二．性能分析b P
步骤： 1）m |U | （即m U ）统计特性 2）在发1()s t 条件下，求b P
1．{}m U 的统计特性
设发1()s t （或1()u t ），在t=kT 时，（注：在1φ为确知的条件下）
1111111
222|2||2||| |U ||| |U |
j j j U Ee N E N e e U N φφφαα--⎧=+=+→⎪⎨=→⎪⎩ ） 将1j e φ并入1N 的相位特性中，而不影响1N 的统计特性。

则111222|2| ~ Rice || ~ Rayleigh U E N U U N U α=+⎧⎨=⎩，（信号噪声的包络），
分布，
（纯噪声的包络），分布
因两匹配滤波器相互正交， 1U 与2
U 是相互独立的复高斯变量（注：独立性来自于噪声的独立性），它们的模1U 与2U 也相互统计独立。

（定义：11~
U U =，22~U U =）。

则1,212()()()p u u p u p u =
所以，在发)(1t s 时：2
2
()
112111
2222222210122()(), 0 Rice () 0 Rayleigh u u u u u p u e I u p u e u βσσβσ
σσ+--
⎧=≥⎪⎨⎪=≥⎩
分布，分布
其中， 12E βα=（1
U 的均值），202EN σ=。

注：T
0()(),1,2m mr mi m N N jN z t u t dt m *
=+==⎰是零均值的复高斯随机变量。

则
其方差为
2T 2
0T T 00T 00T 00T
0T
200
1var()()()2
1()()()()21()()()()2
1()()()()2()()()|()|2m m m m T m m T m m T m m m N E z t u t dt
E z t u t dt z s u s ds E z t z s u t u s dtds
E z t z s u t u s dtds t s u t u s dtds
N u t dt EN σδ*
*
*****
*
==⎡⎤
=⋅⎢
⎥⎣⎦=⎡⎤=⎣⎦=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
2var()var()var()m mr mi N N N σ===
1()
p u 2()
p u 2
m
u
1．求b P
1
1
1
b 121212122
2121121121221
01221
()(|(| ()() (|(|) (|(|() ()[()]u u P P S P S S P S S S P S P S P S S P U U S P S S P S S p u u du du p u p u du du ∞
∞
∞
∞=+====>===⎰
⎰
⎰⎰）（）P ）,）（注：））对称）
，
将在发)(1t s 条件下的1()p u 和2()p u 式代入上式可得
2
2
01
b , =E b P e
γαγγ-== （非相干FSK ）
注：比较正交FSK
1
1erfc 22
eb P Q ===
结论
：=b γγ
等概，等能量，正交的二元随相信号的最佳解调性能仅与输入信噪比
γ有关。

注：对非正交信号（ρ≠0），性能劣于正交信号。

（见图 5-4-6）
图5-4-6 非相干检测的错误概率
3.讨论：
（注：以上求得的实际上是b |P φ（），即给定相位下的误码率，但是式子已经不含相位，故不用再对相位求（统计）平均。

）
1）本节讨论结果也适用于二元正交确知信号（确定相位）的非相干解调，因包络检测器与m φ无关。

如2FSK 两波形正交时（0=ρ）： 最佳解调――“相干解调”； 包络检测――“非相干解调” ２）２FSK 确知信号（相位确定）的“相干解调”
（最佳）与“非相干解调”
性能比较，相差约１dB.。