【精选】八年级数学全等三角形(提升篇)(Word版 含解析)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝42, ∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚，连结BE.
(1) 求证：△ACD≌△BCE；
(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长.
(3) 连接OE，直接写出线段OE的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422
-
【解析】
试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE
≌；
()2首先过点C作CH BQ
⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45
DAC
∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ 的长．
()3OE BQ
⊥时，OE取得最小值.
试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，
∴AC=BC,DC=EC,45
ACB DCE
∠=∠=，
45
ACD DCB ECB DCB
∴∠+∠=∠+∠=，
∴∠ACD=∠BCE；
在△ACD和△BCE中，
,
AC BC
ACD BCE
DC EC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
(SAS)
ACD BCE
∴≌；
()2首先过点C作CH BQ
⊥于H，
(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ，
∵△ABC 是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，
45DAC ∴∠=，
ACD BCE ≌，
45PBC DAC ∴∠=∠=，
∴在Rt BHC 中,2242422
CH BC =⨯=⨯=， 54PC CQ CH ===，，
3PH QH ∴==，
6.PQ ∴=
()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值.
最小值为：42 2.OE =-
2．在ABC ∆中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点,B C 重合），以AD 为腰作等腰直角DAF ∆，使90DAF ∠=︒，连接CF ．
（1）观察猜想
如图1，当点D 在线段BC 上时，
①BC 与CF 的位置关系为__________；
②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________（提示：可证DAB FAC ∆≅∆）
（2）数学思考
如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
（3）拓展延伸
如图3，当点D 在线段BC 的延长线时，将DAF ∆沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE CF 、
，若4,CD BC AC ==CE 的长．（提示：做AH BC ⊥于H ，做EM BD ⊥于M ）
【答案】（1）①BC ⊥CF ；②BC ＝CF ＋DC ；（2）C ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC ，证明详见解析；（3
）【解析】
【分析】
（1）①根据正方形的性质得，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC （SAS ）；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质可得到=CF BD ，ACF ABD ∠=∠ ，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；
（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，证明ADH DEM △≌△ ，推出3EM DH == ，2DM AH == ，推出3CM EM == ，即可解决问题．
【详解】
（1）①正方形ADEF 中，AD AF =
∵90BAC DAF ==︒∠∠
∴BAD CAF ∠=∠
在△DAB 与△FAC 中
AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()DAB FAC SAS △≌△
∴B ACF ∠=∠
∴90ACB ACF +=︒∠∠ ，即BC CF ⊥ ；
②∵DAB FAC △≌△
∴=CF BD
∵BC BD CD =+
∴BC CF CD =+
（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC
证明：∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形
∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，
∴∠BAD ＝∠CAF
在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DAB ≌△FAC （SAS ）
∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF
∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，
∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°
∴∠ABD ＝180°－45°＝135°
∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°
∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°，
∴CF ⊥BC
∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF
∴DC ＝CF ＋BC
（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，
∵90BAC ∠=︒
，AB AV ==
∴1422
BC AH BH CH BC =
=====， ∴114CD BC == ∴3DH CH CD =+=
∵四边形ADEF 是正方形
∴90AD DE ADE ==︒，∠
∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥，，
∴四边形CMEN 是矩形
∴NE CM EM CN ==，
∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠
∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠
∴ADH DEM =∠∠
在△ADH 和△DEM 中
ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADH DEM △≌△
∴32EM DH DM AH ====，
∴3CM EM ==
∴CE ==
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．
3．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．
（1）求证：BG＝CF；
（2）请你判断BE+CF与
EF的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）BE+CF＞EF，证明详见解析
【解析】
【分析】
（1）先利用ASA判定△BGD≅CFD，从而得出BG=CF；
（2）利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得到EG=EF，两边之和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．
【详解】
解：（1）∵BG∥AC，
∴∠DBG＝∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD
又∵∠BDG＝∠CDF，
在△BGD与△CFD中，
∵
DBG DCF BD CD
BDG CDF ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG＝CF．
（2）BE+CF＞EF．
∵△BGD ≌△CFD ，
∴GD ＝FD ，BG ＝CF ．
又∵DE ⊥FG ，
∴EG ＝EF （垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG 中，BE +BG ＞EG ，
即BE +CF ＞EF ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ．
4．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，4cm AC BC ==，点D 是斜边AB 的中点．点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动，点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动，规定当点E 到终点C 时停止运动．设运动的时间为x 秒，连接DE 、DF ．
（1）填空：ABC S ∆=______2cm ；
（2）当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时，求证：DE DF =；
（3）若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动，在点E 、点F 运动过程中，如果存在某个时间x ，使得ADF ∆的面积是BDE ∆面积的两倍，请你求出时间x 的值．
【答案】（1）8;(2)见解析；（3）
45或4. 【解析】
【分析】
（1）直接可求△ABC 的面积；
（2）连接CD ，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD ，且BE=CF ，即可证△CDF ≌△BDE ，可得DE=DF ；
（3）分△ADF 的面积是△BDE 的面积的两倍和△BDE 与△ADF 的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x 的值．
【详解】
解：（1）∵S △ABC =
12⨯AC×BC ∴S △ABC =12
×4×4=8（cm 2）
故答案为：8
（2）如图：连接CD
∵AC=BC，D是AB中点
∴CD平分∠ACB
又∵∠ACB=90°
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°
∴CD=BD
依题意得：BE=CF
∴在△CDF与△BDE中
BE CF
B DCA
BD CD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△CDF≌△BDE（SAS）
∴DE=DF
（3）如图：过点D作DM⊥
BC于点M，DN⊥AC于点N，
∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°
∴△ADN≌△BDM（AAS）
∴DN=DM
当S△ADF=2S△BDE．
∴
1
2
×AF×DN=2×
1
2
×BE×DM
∴|4-3x|=2x
∴x1=4，x2=
4
5
综上所述：x=
4
5
或4
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，利用分类思想解决问题是本题的关键．
5．已知4
AB cm
=，3
AC BD cm
==.点P在AB上以1/
cm s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为()
t s．
（1）如图①，AC AB
⊥，BD AB
⊥，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1
t=时，ACP
△与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图②，将图①中的“AC AB
⊥，BD AB
⊥”为改“60
CAB DBA
∠=∠=︒”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/
xcm s，是否存在实数x，使得ACP
△与BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，
1
1
t
x
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
3
2
t
x
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出
∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
【详解】
解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，
又∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
AP BQ
A B
AC BP
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
34t
t xt
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
解得
1
1
t
x
=
⎧
⎨
=
⎩
，
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
3
4
xt
t t
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得
2
3
2
t
x
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
综上所述，存在
1
1
t
x
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
3
2
t
x
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
使得△ACP与△BPQ全等．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．
6．如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为()
6,0、()
0,6，P为线段AB上的一点．
（1）如图1，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，且保持
AM ON
=，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间的位置关系与数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD OP
⊥，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且PEA BDO
=∠
∠，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）OD=AE，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OP ．只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题；
（2）作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．由△DBO ≌△GOA ，推出OD=AG ，∠BDO=∠G ，再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题；
【详解】
（1）结论：PM=PN ，PM ⊥PN ．理由如下：
如图1中，连接OP ．
∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6），
∴OB=OA=6，∠AOB=90°，
∵P 为AB 的中点，
∴OP=
12
AB=PB=PA ，OP ⊥AB ，∠PON=∠PAM=45°， ∴∠OPA=90°，
在△PON 和△PAM 中， ON AM PON PAM OP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△PON ≌△PAM （SAS ），
∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ，
∴∠NPM=∠OPA=90°，
∴PM ⊥PN ，PM=PN ．
（2）结论：OD=AE ．理由如下：
如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．
∵BD ⊥OP ，
∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，
∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，
∴∠AOG=∠DBO ，
∵OB=OA ，
∴△DBO ≌△GOA ，
∴OD=AG ，∠BDO=∠G ，
∵∠BDO=∠PEA ，
∴∠G=∠AEP ，
在△PAE 和△PAG 中，
AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△PAE ≌△PAG （AAS ），
∴AE=AG ，
【点睛】
考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
7．如图1，在长方形ABCD 中，AB=CD=5 cm ， BC=12 cm ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为ts ．
（1）PC=___cm ；(用含t 的式子表示)
（2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？．
（3）如图2，当点P 从点B 开始运动，此时点Q 从点C 出发，以vcm/s 的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样的v 值，使得某时刻△ABP 与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）()122t -；（2）3t =；（3）存在，2v =或53
v =
【解析】
【分析】
（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC 的长减去BP 的长即可得到PC 的长； （2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP ，列方程求解即得；
（3）先分两种情况：当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ；或当BA=CQ ，PB=PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别列方程计算出t 的值，进而计算出v 的值．
【详解】
解：（1）当点P 以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动时间为ts 时2BP tcm =
∵12BC cm =
∴()122PC BC BP t cm =-=-
故答案为：()122t -
（2）∵ABP DCP ∆≅∆
∴2122t t =-
解得3t =．
（3）存在，理由如下：
①当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ，
∴PC=AB=5
∴BP=BC-PC=12-5=7
∵2BP tcm =
∴2t=7
解得t=3.5
∴CQ=BP=7，则3.5v=7
解得2v =．
②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ∆≅∆
∵12BC cm = ∴162
BP CP BC cm ==
= ∵2BP tcm =
∴26t =
解得3t =
∴3CQ vcm = ∵5AB CQ cm ==
∴35v = 解得53
v =． 综上所述，当2v =或53v =
时，ABP ∆与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．
8．（1）在等边三角形ABC 中，
①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点，且AE CD =，BD 与EC 交于点F ，则BFE ∠的度数是___________度；
②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时BFE ∠的度数是____________度；
（2）如图③，在ABC ∆中，AC BC =，ACB ∠是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，若ACB α∠=，求BFE ∠的大小（用含法α的代数式表示）．
【答案】（1）60；（2）60；（3）BFE α∠=
【解析】
【分析】
（1）①只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD ，推出
∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°；
②只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，即可推出
∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°；
（2）只要证明△AEC ≌△CDB ，可得∠E=∠D ，即可推出
∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.
【详解】
解：（1）①如图①中，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=CB ，∠A=∠BCD=60°，
∵AE=CD ，
∴△ACE ≌△CBD ，
∴∠ACE=∠CBD ，
∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．
故答案为60；
②如图②，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，
∴∠CAE=∠BCD=′120°
∵AE=CD，
∴△ACE≌△CBD，
∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．
故答案为60；
（2）如图③中，
图③
点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴=，
OC OA
∴∠=∠=
OAC ACOα
=-，
∴∠=∠︒
180
EAC DCBα
=，AE CD
AC BC
=，
∴∆≅∆，
AEC CDB
∴∠=∠，
E D
∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=．
BFE D DCF E ECA OACα
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
9．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE⊥AC，连结
DF 交射线 AC 于点 G
(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；
(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。

(3)聪明的斯扬同学通过测量发现，当点 D 在线段 AB 上时，EG 的长始终等于 AC 的一半，他想当点D 运动到图 2 的情况时，EG 的长是否发生变化?若改变，说明理由；若不变，求出 EG 的长。

【答案】（1）4
3
；（2）见详解；（3）不变.
【解析】
【分析】
（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．当DF⊥AB时，通过解直角△BDF求得x的值，易得t 的值；
（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，构建全等三角形：△DHG≌△FCG，结合全等三角形的对应边相等的性质和图中相关线段间的和差关系求得DG=GF；
（3）过F作FH⊥AC，可证△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再证△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解题．
【详解】
解：（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．
当DF⊥AB时，∵∠B=60°，
∴∠DFB=30°，
∴BF=2BD，即4+x=2（4-x），
解得x=4
3
，
故t=4
3
；
（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，则∠DHG=∠FCG．
∵△ABC是等边三角形，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD=DH．
又AD=CF，
∴DH=FC．
∵在△DHG与△FCG中，
DGH FGC
DHG FCG
DH FC
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△DHG≌△FCG（AAS），
∴DG=GF；
（3）如图2，过F作FH⊥AC，
在△ADE和△CFH中，
90
AED FHC
A FCH
AD CF
∠∠︒
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝＝
＝
＝
，
∴△ADE≌△CFH（AAS），
∴DE=FH，AE=CH，
∴AC=EH，
在△GDE和△GFH中，
DEG FHG
DGE FGH
DE FH
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴△GDE≌△GFH（AAS），
∴EG=GH，
∴EG=
1
2
EH=
1
2
AC．
【点睛】
本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△GDE≌△GFH是解题的关键．
10．已知：4590
ABC A ACB
∆∠=∠=
，，，点D是AC延长线上一点，且22
AD=，，M是线段CD上一个动点，连接BM，延长MB到H，使得HB MB
=，以
点B 为中心，将线段BH 逆时针旋转45，得到线段BQ ，连接AQ ．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：ABQ AMB ∠=∠；
（3）点N 是射线AC 上一点，且点N 是点M 关于点D 的对称点，连接BN ，如果QA BN =， 求线段AB 的长．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）22AB =
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以补全图形；
（2）根据三角形外角的性质即可证明；
（3）作QE ⊥AB ，根据AAS 证得QEB BCM ≅，根据HL 证得
Rt QEA Rt BCN ≅，设法证得2AB CD =，设AC BC x ==，则2AB x =，2CD x =，结合已知22AD =+，构建方程即可求解. 【详解】
（1）补全图形如下图所示：
（2）解：∵∠ABH 是
ABM 的一个外角，
∴ ABH BAM AMB ∠=∠+∠
∵ABH HBQ ABQ ∠=∠+∠ 又∵45HBQ BAM ∠=∠=︒
∴ ABQ AMB ∠=∠
（3）过Q 作QE ⊥AB ，垂足为E ， 如下图：
∵⊥QE AB
∴90QEB BCM ∠=∠=︒， 在QEB 和BCM 中，QEB BCM QBE BMC QB BM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ QEB BCM ≅(AAS)
∴EB CM =，QE BC =，
在Rt QEA 和Rt BCN 中
∵QE BC =，
Q A BN = ∴Rt QEA Rt BCN ≅ (HL)
∴AE CN CM MD DN ==++
∵点N 是点M 关于点D 的对称点，
∴MD DN =
∴22AE CM MD EB MD =+=+
∴ ()2222AB AE EB EB MD EB MD CD =+=+=+=
设AC BC x ==，则2AB x =，2CD x =， 又∵22AD =
，2 AD AC CD x x =+= ∴2222
x x += 解得：2x =
∴ 22AB =【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键．。