基于FDTD的对称阵子天线仿真

当△ x, △ y, △z不相等时：
min( x, y, z ) 2c
3.1.2 数值色散
考虑一维情形下波动方程： • 将二阶导数表示为差分形式： • 则有关系式： 相速度v=w/k。差分近似后K与w不再是简单的线性关系c=w/k, k与w的非线性关系必然导致相速度与频率有关，因而出现色散， 称之为数值色散 为减小数值色散，对空间离散间隔要求为:Δx<λ/12
FDTD基本原理（续）
Yee把空间任一网格上的E和H的六个分量，如下图放置：
每一个磁场分量由四个 电场分量环绕； 每一个电场分量由四个 磁场分量环绕
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FDTD基本原理（续）
根据这一原则可以写出差分方程：
其余也可同样写出。每个网格点上的场分量的新值依赖于该点在前 一时间步长时刻的值以及该点周围的临近点上另一场量在早半个时 间步长时的值。通过这些运算可以交替算出电场磁场在各个时间步 7 的值。
基于FDTD的对称阵子天线仿真
主要内容
• 一. FDTD基本原理
• 二. 物理模型建立
• 三. 子系统分析
• 四. 程序实现 • 五. 仿真结果分析
一.FDTD基本原理
• 时域有限差分法 (FDTD, Finite-Difference TimeDomain)
– 是1966年K.S.Yee发表在AP上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee网格空间 离散方式 – 核心思想是把带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分形式，在时间轴上 逐步推进求解 – 号称目前计算电磁学界最受关注，最时髦的算法，但还在发展完善之中
该图为半波振子（选取频率为6GHz， 每根天线长12.5mm）在不同频率下 的回波损耗。
由图可看出当频率约为5.8GHz时，
其回波损耗最小，此时天线容抗 感抗相等，总电抗为零，天线处
于谐振状态，辐射能力最强，亦
即与馈源匹配最好。
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输出结果分析（续）
5.2 方向图
仿真完成了λ/L分别为0.5、1、1.5、 2的方向图输出，对比可发现 （1）当电尺寸λ/L≤1时，方向图只 有主瓣没有副瓣，且此时电
将J、M变 换成远场 的E、H
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四 程序实现
主程序
参数定义：
尺寸参数、电磁场常量 激励参数、输出控制参数
初始化：
求解空间网格剖分 煤质参数分布计算 电磁场场量赋初值 图像窗口初始化
时间推算:
MATLAB与C混合编程 后处理： 计算远场方向函数 计算S参数
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五 输出结果分析
5.1 回波损耗S11
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3.5 近场远场外推（续）
• 3.5.2 近场远场变换 用虚拟面上的E、H可计算出电流密度J和磁流密度M，用这 些等效电流磁流即可计算天线的辐射场。 方式一：
虚拟表面 E、H
时域中的 电流磁流 密度
DFT 频域中的 电流磁流 密度
方式二：
虚拟表面 E 、H
将J、M变 换成远场 的E、H
DFT
在选择的观察 点上，对所有 频率计算远场 在选择的频率 点上，对所有 观察角度计算 远场
• 关键的三大要素
– 差分格式 – 解的稳定性 – 吸收边界条件
FDTD基本原理（续）
Maxwell方程组
Maxwell旋度方程可以展开成六个 标量方程
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FDTD基本原理（续）
Yee首先在空间上建立矩形差分网格，在时刻n△t时刻，F(x,y,z)
可以写成
用中心差分取二阶精度 空间离散： 时间离散：
• 频域形式：无反射条件只要求界面两侧介质参数和横向 伸缩因子相等，与频率、入射角及纵向伸缩因子无关。 • 时域形式：CPML中FDTD时域步进公式比常规介质中多了 系数项及卷积项。
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3.3 激励源
• 正弦信号为单频信号，为产生宽带频率下的输出结果， 需采用含有多频率的波形，故采用高斯波形。
时域
二. 物理模型建立
1.自由空间 2.完全匹配层
3.高斯电压源
4.细导线网格剖分 5.近场远场外推
3.1.1数值稳定性条件
• 问题的提出
时间步长△t，空间步长△x, △y, △z必须满足一 定的关系计算场量的数值 会无限的增大，这种增大不是由于误差积累造成 的，而是由于电磁波的传播关系被破坏造成的。 所以△t, △x, △y, △z必须满足一定的关系以保证 稳定性
频率
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3.4 网格剖分技术
细导线半径远小于网格尺寸大小，为减小计算误差，需采 用网格剖分技术
由法拉第定律的积分公式
其中Ez=0，Ex按1/r的规律衰减， 可得步进公式
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3.5 近场远场外推
• 3.5.1 惠更斯等效原理 在散射体周围引入虚拟界面A，设A面外为真空。如果保 持界面A处场E、H的切向分量不变，而令A面内的场为零， 则根据唯一性定理，两种情况在面A以外的场E、H有相同 的分布。
只需一次计算便可获得宽频带内天线的频域特性,可以直观的观察
出天线的谐振频率,形象的给出天线及其附近电磁波的辐射过程,这 种电磁场的可视化结果为天线的设计和改进提供直观的物理依据。 因此FDTD是天线分析和设计的有效工具。
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(a). λ/L=0.5 (b). λ/L=1
尺寸越大，天线增益越高， 方向性越好。 （2）当电尺寸λ/L>1时，由于对称 阵子天线出现反向电流，导 致方向图出现副瓣。
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(c). λ/L=1.5
(d). λ/L=2
总结
时域有限差分法（FDTD)直接从Maxwell方程出发,在时域中模 拟电磁波的传播及其与物体作用的物理过程,由于其简单性、通用 性和高效性的特点得到广泛应用。它可以方便的模拟各种天线，
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3.2.1 吸收边界条件
• 问题的提出： 由于计算机容量的限制，FDTD计算只能在有限 区域进行。为了能模拟开域电磁过程，在计算区 域的截断边界处必须给出吸收边界条件。
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3.2.2 CPML完全匹配层
• 为了提高边界吸收凋落效率，采用CPML完全匹 配层。该理论基于坐标伸缩Maxwell方程导出平 面波在两种坐标伸缩介质分界面的无反射条件。 • 这里只给出结论：
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数值稳定性的条件（续）
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数值稳定性条件是根据电磁原理用数学推导出来的，这里 只给出结论，即保证数值稳定的条件如下：
数值稳定的条件：
t

1 1 1 (x) 2 (y ) 2 (z ) 2
当⊿x= ⊿y= ⊿z的时候， 即：空间步长相等的时候:
t
t

x x 3 3v