河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下学期4月测试(一)数学试题

河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下学期4月测试（一）
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知某质点运动的位移y （单位；cm ）与时间t （单位；s ）之间的关系为()()ln 21y t t =+，
则该质点在2s =t 时的瞬时速度为（ ）
A ．15
B ．25
C ．2
D ．4
2．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若23141540a a a a +++=，则16S =（ ） A ．150
B ．160
C ．170
D ．180
3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()g x x f x =⋅'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A ．()f x 有三个极值点
B ．()2f -为函数的极大值
C ．()f x 有一个极大值
D ．()1f -为()f x 的极小值
4．将6
展开式中的项重新排列，则x 的次数为整数的项互不相邻的排法的种数为
（ ） A ．24
B ．36
C ．144
D ．576
5．如图，二面角l αβ--等于120︒，A
B 、是棱l 上两点，BD A
C 、分别在半平面αβ、内，AC l ⊥，B
D l ⊥，且2AB AC BD ===，则CD 的长等于（ ）
A
．B
．C ．4
D ．2
6．1640年法国数学家费马提出了猜想：221()n
n F n =+∈N 是质数，我们称n F 为“费马数”.
设()*2log 1,n n a F n =-∈N ，若18
1292k k k a a a ++++++=-L 92，则k =（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
7．已知函数()1
e x
x f x +=.若过点()1,P m -可以作曲线()y f x =三条切线，则m 的取值范围是（ ） A ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．80,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．14,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．18,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．已知二次函数()f x 有两个不相等的实根,b c ，其中c b >．在函数()f x 图像上横坐标为1x 的点处作曲线()y f x =的切线，切线与x 轴交点的横坐标为2x ；用2x 代替1x ，重复以上的过程得到3x ；一直下去，得到数列{}n x ，
记ln n n n x b a x c ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，且11,n a x c =>，下列说法正确的是（ ）
A ．11
c b
x c -=
- B ．6132
a =
C ．数列{}n a 是等差数列
D ．数列1n n a a ⎧⎫
+⎨⎬⎩
⎭的前n 项和1221n n n S -=-+
二、多选题
9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件12,A A 和3A 表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B 表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（ ）
A ．2()5P
B =
B ．()15|11
P B A =
C ．事件B 与事件1A 相互独立
D ．123,,A A A 是两两互斥的事件
10．已知椭圆()2211221110x y a b a b +=>>的离心率为1e ，双曲线()22
22222210,0x y a b a b -=>>的离心
率为2e ，两曲线有公共焦点1F ，2F ，P 是椭圆与双曲线的一个公共点，1260F PF ∠=︒，以下结论正确的是（ ）
A ．2222
1122a b a b -=-
B ．22
123b b =
C ．
2212
13
144e e += D ．22
1222e e +
的最小值为211．已知()()()2
ln 20220x x x f x ax x x ⎧-->⎪=⎨--+≤⎪⎩
，其图像上能找到A 、B 两个不同点关于原点对称，则称A 、B 为函数()y f x =的一对“友好点”，下列说法正确的是（ ）
A ．()y f x =可能有三对“友好点”
B ．若01a <<，则()y f x =有两对“友好点”
C ．若()y f x =仅有一对“友好点”，则a<0
D ．当a<0时，对任意的1>0x ，总是存在20x <使得()()120f x f x +=
三、填空题
12．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，若12a =，23a =，122n n n a a S +=+，则10S 的值为. 13．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90︒，则图中直线1CD 与平面1AB D 所成角的正弦值为．
14
的椭圆为“黄金椭圆”，若“黄金椭圆”()2222:10x y C a b a b +=>>两个
焦点分别为()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为椭圆C 上的异于顶点的任意一点，点M 是12PF F △的内心，连接PM 并延长交12F F 于点N ，则
PM PN MN
+=.
四、解答题
15．在探究()n a b +的展开式的二项式系数性质时.我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将()21n
x x ++的展开式按x 的降幂排列，将各项系数列表如下（如图2）.
上表图2中第n 行的第m 个数用1D m n -表示，即()21n
x x ++“展开式中m x 的系数为2D n m
n -. (1)类比二项式系数性质11C C C k k k
n n n -+=+表示
()1*1D 121,,N k n k n k n ++≤≤-∈（无需证明）； (2)类比二项式系数求和方法求出三项式()5
232x x --展开式中x 的奇次项系数之和. 16．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且满足2
12n
n a S +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
． (1)求n a ； (2)设()()
11
11n n n b a a +=
++，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若221n m T m -<<- 对一切*
N n
∈
恒成立，求实数m 的取值范围．
17．如图1，已知ABFE 是直角梯形，EF AB ∥，90ABF ∠=o ，60BAE ∠=o ，C 、D 分别为BF 、AE 的中点，5AB =，1EF =，将直角梯形ABFE 沿CD 翻折，使得二面角F DC B --的大小为60o ，如图2所示，设N 为BC 的中点.
(1)证明：FN AD ⊥； (2)若M 为AE 上一点，且AM
AE
λ=，则当λ为何值时，直线BM 与平面ADE 所成角的余弦
18．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为()2,0F ，左､右顶点分别为12,A A ，且D 为
C 上不与12,A A 重合的一点，直线12DA DA ､的斜率之积为3.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)平面一点(),(1)T m n m <且T 不在C 上，过T 的两条直线分别交C 的右支于,A B 两点和
,P Q 两点，若,,,A B Q P 四点在同一圆上，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.
19．已知函数()()e 21R x
f x ax a =--∈．
(1)若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值集合； (2)求证：对*N n ∀≥，都有1
1
1
1
1231
sin sin sin sin 1111e 1
n n n n n n n n n ++++⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++<
⎪
⎪
⎪
⎪
++++-⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
L ．。