2019大一轮高考总复习文数北师大版课时作业提升14 函

课时作业提升(十四) 函数的单调性与导数
A 组 夯实基础
1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0, 3) C ．(1,4)
D ．(2，＋∞)
解析：选D 因为f (x )＝(x －3)e x ，则f ′(x )＝e x (x －2)，令f ′(x )＞0，得x ＞2，所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．
2．(2018·涪陵月考)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图像大致是( )
解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增．
3．(2018·乐山模拟)f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＜1 B ．a ≤1 C ．a ＜2
D ．a ≤2
解析：选D 由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －a x
，
∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴2x －a
x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立，∵x ∈(1，＋∞)时，2x 2＞2，∴a ≤2.
4．(2018·邯郸模拟)若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则使函数f (x －1)单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( )
A ．(0,1)
B ．[0,2]
C ．(2,3)
D ．(2,4)
解析：选C 由f ′(x )<0⇔x 2－4x ＋3<0，即1<x <3，∴函数f (x )在(1,3)上单调递减．∴函数f (x －1)在(2,4)上单调递减．故D 为充要条件，C 为充分不必要条件．
5．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －3)f ′(x )≤0，则必有( ) A ．f (0)＋f (6)≤2f (3) B ．f (0)＋f (6)＜2f (3) C ．f (0)＋f (6)≥2f (3)
D ．f (0)＋f (6)＞2f (3)
解析：选A 由题意知，当x ≥3时，f ′(x )≤0，所以函数f (x )在[3，＋∞)上单调递减或为常数函数；当x ＜3时，f ′(x )≥0，所以函数f (x )在(－∞，3)上单调递增或为常数函数，
所以f (0)≤f (3)，f (6)≤f (3)，所以f (0)＋f (6)≤2f (3)，故选A ．
6．(2018·吉林模拟)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(0,1)
B ．(－1,0)∪(1，＋∞)
C ．(－∞，－1)∪(－1,0)
D ．(0,1)∪(1，＋∞)
解析：选A 设g (x )＝f (x )
x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2
，因为x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，
所以x ＞0时，g ′(x )＜0所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又f (x )为奇函数，所以g (x )为偶函数．所以g (x )在(－∞，0)上单调递增，且g (－1)＝g (1)＝0，当x ∈(0,1)时，g (x )＞0时，f (x )＞0，当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＜0，f (x )＞0.故选A ．
7．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．
解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增
8．已知函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k >0)的单调递减区间是(0,4)． (1)实数k 的值为________；
(2)若在(0,4)上为减函数，则实数k 的取值范围是________． 解析：(1)f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)＝0，解得k ＝1
3
.
(2)由f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ≤0并结合导函数的图像可知，必有－2(k －1)k ≥4，解得k ≤1
3.
又k >0，故0<k ≤1
3
.
答案：(1)13 (2)0<k ≤1
3
9．(2018·临沂检测)若函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，f ′(x )>1，则不等式f (x )－x >0的解集为________．
解析：令g (x )＝f (x )－x ，∴g ′(x )＝f ′(x )－1.由题意知g ′(x )>0，∴g (x )为增函数．∵g (2)＝f (2)－2＝0，
∴g (x )>0的解集为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)
10．已知函数f (x )＝ln x ＋k
e x
(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))
处的切线与x 轴平行．
(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．
解：(1)由题意得f ′(x )＝1
x
－ln x －k e x ，
又f ′(1)＝1－k
e ＝0，故k ＝1.
(2)由(1)知，f ′(x )＝1
x
－ln x －1e x
.
设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1
x ＜0，
即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．
由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0； 当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．
11．(2018·焦作模拟)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝1
2ax ＋b .
(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；
(2)若φ(x )＝m (x －1)
x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．
解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝1
2a ，a ＝2.
又∵g (1)＝1
2
a ＋
b ＝f (1)＝0，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.
(2)∵φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)
x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数，
∴φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1
x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立，
即x 2－ (2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1
x ，x ∈[1，＋∞)．
∵x ＋1
x ∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.
故实数m 的取值范围是(－∞，2]．
B 组 能力提升
1．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－4
3处取得极值．
(1)确定a 的值；
(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，
因为f (x )在x ＝－4
3处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x
，
故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝1
2x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数； 当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数．
综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数． 2．(2018·衢州模拟)已知函数f (x )＝x －a
x －ln x ，a >0.
(1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)若f (x )>x －x 2在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
由于f ′(x )＝1＋a x 2－1x ＝x 2
－x ＋a
x 2
，
令m (x )＝x 2－x ＋a ，
①当Δ＝1－4a ≤0，即a ≥1
4时，f ′(x )≥0恒成立，
所以函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
②当Δ＝1－4a >0，即0<a <1
4时，由x 2－x ＋a >0，得0<x <1－1－4a 2或x >1＋1－4a 2.
所以
f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1＋1－4a 2，＋∞上是增函数，在
⎝ ⎛⎪⎫1－1－4a 2，
1＋1－4a 2上是减函数．
综上知，当0<a <14时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2，⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1－4a 2，
1＋1－4a 2上是减函数． 当a ≥1
4时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
(2)f (x )>x －x 2，即x 2－a
x
－ln x >0，
因为x ∈(1，＋∞)，所以a <x 3－x ln x .
令g (x )＝x 3－x ln x ，h (x )＝g ′(x )＝3x 2－ln x －1，
h ′(x )＝6x －1x ＝6x 2
－1
x
，
在(1，＋∞)上h ′(x )>0，得h (x )>h (1)＝2，即g ′(x )>0，
故g (x )＝x 3－x ln x 在(1，＋∞)上为增函数，g (x )>g (1)＝1，所以0<a ≤1. 3．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若函数y ＝f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函
数g (x )＝x 3＋x 2·⎣
⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )
x .当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，
减区间为(1，＋∞)；
当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．
(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a
2＝1，即a ＝－2，
∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2
x .
∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2
－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.
∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．
由于g ′(0)＝－2，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.
g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9； 由g ′(3)＞0，得m ＞－37
3.
所以－37
3
＜m ＜－9.
即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－37
3， －9.。