高中数学新学案同步 必修2 北师大版 第二章 解析几何初步 1.5 第2课时

|－k－5| 5 所以 2 ＝5，解得 k＝0 或12. k ＋1
所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.
但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等.
跟踪训练2
(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的
直线方程；
解答
(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2的距离为5，求两直
线方程.
解 依题意，两直线的斜率都存在， 设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0， l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0. 因为l1与l2的距离为5，
思考
两条平行直线间的距离
直线 l 1 ： x ＋ y － 1 ＝ 0 上有 A (1,0) ， B (0,1) ， C ( － 1,2) 三点，直线
l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多 少？有什么规律吗？ 答案 点A，B，C到直线l2的距离分别为 2， 2， 2 .规律是当两直线 平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.
梳理 两平行线间的距离 (1)定义：夹在两平行线间的 公垂线段 的长. (2)图示：
(3)求法：转化为点到直线的距离. (4) 公式：两条平行直线 l1 ： Ax＋ By ＋ C1 ＝ 0 与 l2 ： Ax＋ By ＋ C2 ＝ 0 之间的 |C1－C2| 距离d＝ 2 . 2 A ＋B
[思考辨析 判断正误]
∴m＝2，即6x＋2y－1＝0.
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
由两平行线间的距离公式，得
|－1＋6| 5 10 2 2＝ 40＝ 4 . 6 ＋2
解析 答案
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等， 2x－y＋1＝0 ． 则直线l的方程为______________ 解析 设直线l的方程为2x－y＋C＝0，
到垂足的坐标，再利用两点间的距离求出点P(x0，y0)与垂足的距离，
|Ax0＋By0＋C| 即为点P(x0，y0)到直线l的距离d＝ . 2 2 A ＋B
思考2 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用，①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，
|By0＋C| C C 即 y＝－ B，d＝y0＋ B＝ |B| ，适合公式.
解析
答案
(2)已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的
2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0 方程为____________________________.
解析
答案
类型二 两平行线间的距离
(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离 10 为_______. 4 6 m 解析 由题意，得3＝ 1 ， 例2
第二章 1.5
平面直角坐标系中的距离公式
第2课时 点到直线的距离公式
学习目标
1.了解点到直线距离公式的推导方法.
2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等
问题.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
点到直线的距离
思考1 如何求点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离？ 答案 先求出过点P(x0，y0)的直线l的垂线的方程，通过联立方程组得
跟踪训练1 (1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范 1 31 ， 3 3 围是_________.
|4×4－3a| 解析 由题意知， 2 2≤3， 4 ＋－3 1 31 解得3≤a≤ 3 ，
故a
1 31 ， 的取值范围为 . 3 3
③x＝3. 解
|2－3| 由点到直线的距离公式，得d＝ 1 ＝1.
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x＝3可化为x－3＝0，
解答
(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程.
解答
反思与感悟 (1)利用点到直线的距离公式时应注意的三个问题： ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式. ②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用. ③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直 线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. (2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.
C C ②当 B＝0，A≠0 时，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0，x＝－ A，d＝x0＋ A ＝
|Ax0＋C| |A| ，适合公式.
梳理 点到直线的距离 (1)定义：点到直线的 垂线段 的长度. (2)图示：
|Ax0＋By0＋C| 2 2 A ＋B (3)公式：d＝ .
知识点二
|3－C| |C＋1| 由题意，得 2 2＝ 2 2， 2 ＋1 2 ＋1
解得C＝1，
∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
解析
答案
反思与感悟
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离
|b1－b2| 公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝ 2 ；当 k ＋1 |C1－C2| 直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝ . 2 2 A ＋B
|kx0＋b| 1.点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为 .( × ) 2 1＋k 2.直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.( √ )
3.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可
以看作是两条直线上各取一点的最短距离.( √ )
题型探究
类型一 点到直线的距离 例1 (1)求点P(2，－3)到下列直线的距离.
4 1 ①y＝3x＋3；
解 4 1 y＝3x＋3可化为 4x－3y＋1＝0，
点P(2，－3)到该直线的距离为
|4×2－3×－3＋1| 18 d＝ ＝5； 2 2 4 ＋－3
解答
②3y＝4； 解
|－3×3－4| 13 由点到直线的距离公式，得 d＝ 2 2 ＝3； 0 ＋3
3y＝4可化为3y－4＝0，