2019秋人教版九年级数学上册同步练习题：微专题十 有关切线问题的辅助线作法_

微专题十__有关切线问题的辅助线作法__[学生用书B44]
一切线的性质
(教材P101习题24.2第5题)
如图1，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点．求证：AP＝BP.
图1教材母题答图
证明：如答图，连接OP.
∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB.
在大圆中由垂径定理，得AP＝BP.
【思想方法】圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅助线作法．
[2018·济宁]在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛(如图2所示)面积的方法．现有以下工具：
①卷尺；②直棒EF；③T型尺(CD所在的直线垂直平分线段AB)．
图2
(1)在图2①中，请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图(保留画图痕迹，不写画法)；
(2)如图②，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得MN＝10 cm，请你求出这个环形花坛的面积．
解：(1)如答图①，点O即为所求；
变形1答图
(2)如答图②，设切点为C，连接OM，OC.
∵MN是切线，∴OC⊥MN，∴CM＝CN＝5(cm)，
∵OM2－OC2＝CM2＝25，
＝π·OM2－π·OC2＝25π(cm2)．
∴S
圆环
[2018·天水]如图3所示，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC.
(1)求证：∠BAC＝∠BCP；
(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CP A的角平分线交AC于点D，你认为∠CDP 的大小是否会发生变化？若变化，请说明如何变化；若没有变化，求出∠CDP 的大小．
图3变形2答图
解：(1)如答图，连接CO.∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥CO，即∠OCP＝90°，
∴∠PCB＋∠BCO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，
∴∠ACO＝∠PCB，
∵AO＝CO，∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠PCB＝∠CAO，即∠BAC＝∠BCP；
(2)∠CDP的大小不发生变化．
∵∠CDP＝∠A＋∠APD，∠BOC＝2∠A，∠CPO＝2∠APD，∠PCO＝90°，
∴∠CDP＝1
2∠BOC＋
1
2∠CPO＝
1
2(∠BOC＋∠CPO)＝
1
2(180°－∠PCO)＝45°.
二切线的判定
(教材P101习题24.2第4题)
如图4，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．
图4教材母题答图
证明：如答图，连接OC.
∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．
【思想方法】证明某直线为圆的切线时，(1)如果该直线与已知圆有公共点，即
可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角．
[2017·乐山]如图5，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP＝60°，P A＝PD.试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由．
图5变形1答图
解：PD是⊙O的切线．理由如下：
如答图，连接OP，
∵∠ACP＝60°，∴∠AOP＝120°，∴∠POD＝60°，
∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OP A＝30°，
∵P A＝PD，∴∠P AO＝∠D＝30°，
∴∠OPD＝90°，∴PD是⊙O的切线．
已知：如图6，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦EG⊥AB于H，交BC于F，延长GE交直线MC于D，且∠MCA＝∠B.求证：
(1)MC是⊙O的切线；
(2)△DCF是等腰三角形．
图6 变形2答图
证明：(1)如答图，连接CO，
∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°
∵∠MCA＝∠B，∴∠ACO＋∠MCA＝90°，
∴∠MCO＝90°，∴OC⊥MC，
∴MC是⊙O的切线；
(2)∵EG⊥AB于H，∴∠FHB＝90°，
∴∠B＋∠BFH＝90°，
∵∠BFH＝∠DFC，∠OCB＝∠B，
∴∠OCB＋∠DFC＝90°，
由(1)得OC⊥MC，∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB＋∠DCF＝90°，∴∠DFC＝∠DCF，
∴△DCF是等腰三角形．
[2017·南充]如图7，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O 交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．
图7 变形3答图解：(1)证明：如答图，连接OD，CD.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
∴∠BDC＝90°.又∵E为BC的中点，
∴DE＝1
2BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD，
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线；
(2)设⊙O的半径为x.
在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3. ∴⊙O的直径为6.。