RS码编码算法

RS 码编码算法
一．RS 编码
对于能够纠正t 个错误的RS （n,k,d ）码，具有如下特征：
1） 码长：12n m -=符号或)12(m m -比特
2） 信息码元数：t 2n k -=或mk 比特；
3） 监督码元数：t 2k n =-符号或)k n (m -比特；
4） 最小距离：1k n 1t 2d +-=+=符号或)1k n (m +-比特；
最小距离为d 的本原RS 码的生成多项式为
)x ()x )(x )(x ()x (g 2d 32-α-α-α-α-=
式中的m 是一个任意整数。

令信息元多项式为：
1k 1k 2210x m x m m m )x (m --++++=
二．RS 编码器的类型
1．基于乘法形式的RS 编码器
公式：)x (g )x (m )x (c =
结构图如下：
由上面结构的乘法编码器输出的码字是非系统码。

2．基于除法形式的RS 编码器
（1） 根据生成多项式)x (g 构造的除法编码器。

令
)x (g )
x
(r )x (b )x (g )x (a x k n +=-
剩余多项式)x (r 至少比)x (g 低一次。

01222t 22t 21t 21t 2r x r x r x r x r )x (r +++++=----
则编程的码多项式为
1
2
2
2
n
2
n
1
n
1
n
k
n
c
x
c
x
c
x
c
x
c
)x(r
)x(a
x
)x(c
+
+
+
+
+
=
+
=
-
-
-
-
-
具体实现如下图：
（2）根据校验码多项式)x(h构造的除法编码器
设校验多项式为：
1
1
k
1
k
k
k
h
x
h
x
h
x
h
)x(h+
+
+
+
=-
-
系统码的多项式为：
1
1
k
n
1
k
n
k
n
k
n
2
n
2
n
1
n
1
n
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
)x(C+
+
+
+
+
+
+
=-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
它的前k位系数：k
n
2
n
1
n
c,
,
c,
c-
-
-
是已知的信息位，而后k
n-位系数：
1
2
k
n
1
k
n
c,
c,
,
c,
c
-
-
-
-是需求的校验位。

码多项式必是生成多项式
)x(g的背式，所以
)x(g)x(q
)x(C=1
k
)x(q
,k
n
)x(g
,1
n
)x(C-
≤
∂
-
=
∂
-
≤
∂
而
)x(q
x)x(q
)1
x
)(
x(q
)x(h)x(g)x(q
)x(C)x(h n
n-
=
-
=
=
由于
1
k
)x(q
,k
n
)x(g
,k
n
)x(g
,1
n
)x(C-
≤
∂
-
=
∂
-
=
∂
-
≤
∂
所以n
x)x(q的最低位次数至少为n次，而在)x(C)x(h的乘积中
k
2
n
1
n x,
,
x,
x
-
-的次数为0。

1
n
x-的系数：
k k 1n 111n 001n h c h c h c ------+++
2n x -的系数：
k k 2n 112n 002n h c h c h c ------+++
而
k n ,,2,1,0i 0
h c k 0j j j i n -=∑==--
由于)x (h 为首一多项式，1h k =，故上式可写为
k n ,,2,1i h c c 1k 0j j j i n i k n -=∑-=-=----
上式展开为：
)
h c h c h c (c c )
h c h c h c (c )
h c h c h c (c 1k 111k 0k 0)k n (k n 1k 1k n 13n 02n 2k n 1k k n 12n 01n 1k n ------------------+++-==+++-=+++-=
由上式看出码字C 的第一个码元1k n c --可由k 个信息元k n 2n 1n c ,,c ,c --- 与)x (h 的系数相乘得到，而由1k n k n 3n 2n c ,c ,,c ,c ----- 可得到第二个校验元2k n c --，再由k n 3n c ,,c -- 信息元和第一、第二校验元2k n 1k n c ,c ----可得到第三校验元3k n c --。

按这样的线性关系递推，一直可求得所有的k n -个校验元012k n 1k n c ,c ,,c ,c ----。

具体实现如下图：
（3） RS 的时域编码实际例子
RS 码是非二进制码，它是在)q (GF 上的，这里2q ≠。

这里我们选用)16(GF 域来进行，域中16个元素可用4bits 符号表示。

例 构造一个能纠正3个错误符号，码长为15，m=4的RS 码。

求生成多项式和编码电路。

解：当3t =时，最小码距7D min =，信息元长度9k =。

该码为（15，9）RS 码，其生成多项式为：
69263441451066
5432a
x a x a x a x a x a x a x )(a x )(a x )(a x )(a x )(a x ()x (g ++++++=++++++= 由分圆多项式多项式： )1x x )(1x x ()x (g 42++++=
)16(GF a ∈是本原域元素，它是多项式1x x 4++的根，则
01a a 4=++
或 1a a 4
+=
以1x x 4++为模的)2(GF 4的元素如下表：
)2(GF 4中每个元素都可表示成它的自然基地32a ,a ,a ,1（在域)2(GF 上）的线性组合，如下形式：
1
2
2
3
3
a
a
a
a
a
a
a+
+
+
因此在)
2(
GF4上的42进制RS码，它的编码电路可用k或k
n-级42进制寄存器实现。

本例是用6
k
n=
-级乘法器电路实现，如下图。

图中的移位积存器必须是由能积存16进制的元件组成，这可用4级触发器组成的移存器完成。

9
6
4
14
10a,
a,
a,
a,
a常乘器可用模2加法器构成。

在域)
2(
GF4上的系数9
6
4
14
10a,
a,
a,
a,
a可用自然基地表示为如下形式：
)
a
a(
a)
a
a
a(
a)
a
a
a
a(
a)
a
a
a(
)1
a
a(
a
)a
a
a(
a
)1
a
a
a(
a
)1
a
a(
a
a
a
a
a
a
a
a
a
)
a
a
a
a
a
a
a(
a
2
1
2
2
1
2
3
3
1
2
3
2
2
3
1
2
3
2
2
3
3
10
11
1
12
2
13
3
1
2
2
3
3
10
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
)
a
a(
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
)
a
a
a
a
a
a
a(
a
1
2
2
3
3
14
15
1
16
2
17
3
1
2
2
3
3
14
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
)
a
a(
a)
a
a
a(
a)
a
a(
a)
a
a(
)1
a(
a
)a
a(
a
)
a
a(
a
)1
a
a(
a
a
a
a
a
a
a
a
a
)
a
a
a
a
a
a
a
a(
a
3
1
3
2
1
2
3
2
3
2
1
2
3
2
3
3
4
5
1
6
2
7
3
1
2
2
3
3
4
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
)
a
a(
a)
a
a
a(
a)
a
a(
a)
a
a
a(
)
a
a(
a
)1
a
a(
a
)1
a(
a
)a
a(
a
a
a
a
a
a
a
a
a
)
a
a
a
a
a
a
a(
a
1
2
1
3
2
2
3
1
3
2
3
3
1
2
2
3
3
6
7
1
8
2
9
3
1
2
2
3
3
6
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
)
a
a(
a)
a
a
a
a(
a)
a
a
a(
a)
a
a
a(
)a
a(
a
)1
a
a(
a
)a
a
a(
a
)1
a
a
a(
a
a
a
a
a
a
a
a
a
)
a
a
a
a
a
a
a(
a
1
3
1
2
3
2
1
2
3
3
2
3
3
2
1
2
3
2
2
3
3
9
10
1
11
2
12
3
1
2
2
3
3
9
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
)
2(
GF4中乘10
a的转换电路如下表示：
)
a
a(
a)
a
a
a(
a)
a
a
a
a(
a)
a
a
a(
)
a
a
a
a
a
a
a(
a
2
1
2
2
1
2
3
3
1
2
3
1
2
2
3
3
10
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
式中：1
2
3
3
a
a
a
'
a+
+
=0
1
2
3
2
a
a
a
a
'
a+
+
+
=
1
2
1
a
a
a
'
a+
+
=0
2
a
a
'
a+
=
电路
中乘10
14a
)
2(
GF
)
2(
GF4中乘14
a的转换电路如下表示：
2
3
3
a
a
'
a+
=1
2
2
a
a
'
a+
=
1
3
1
a
a
a
'
a+
+
=0
1
a
a
'
a+
=
电路
中乘14
14a
)
2(
GF
)2(GF 4中乘4a 的转换电路如下表示：
03a 'a = 32a 'a =
21a 'a = 030a a 'a +=
电路中乘1414a )2(GF
)2(GF 4中乘6a 的转换电路如下表示：
0133a a a 'a ++= 022a a 'a +=
0131a a a 'a ++= 120a a 'a +=
电路中乘614a )2(GF
)2(GF 4中乘9a 的转换电路如下表示：
0233a a a 'a ++= 1232a a a 'a ++=
01231a a a a 'a ++=+ 130a a 'a +=
电路中乘914a )2(GF
]7,9,15[RS 编码器具体实现电路如下图所示：
工作过程如下：
（1） 门打开，开关拨到符号输入端，所有移存器清0。

然后将6个16进制信息符号，一边送入移存器，一边送入信道。

注意每一节拍移动一个16进制符号。

（2） 6个16进制符号送入移存器后，完成除法运算，移存器中的就是余式。

此时，门关闭，开关拨到下面。

再经过6个节拍的移动，得到所有6个校验元，并且跟随信息元送入信道，完成一个码字的编码过程。

（3） 清洗积存器，打开门，开始第二组信息元的编码。