2019-2020学年陕西省西安市电子科技大学附中高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年陕西省西安市电子科技大学附中高一上学期
期末数学试题
一、单选题
110y ++=的倾斜角是（ ） A ．30° B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒
【答案】C
【解析】10y ++=的斜率k =tan α=120︒. 故选C
2．在空间直角坐标系中，已知(1,0,0)P ，(3,2,2)Q -，则P Q 、两点间的距离PQ =（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．【答案】A
【解析】由()1,0,0P ，()3,2,2Q -，得PQ ==故选A.
3．若直线2
2
1020ax y x y x ++=+-=与圆相切,则a 的值为( )
A ．1,－1
B ．2,－2 C.－1 D ．0
【答案】D
【解析】2
2
20x y x +-=即2
2
(1)1x y -+=。

直线与圆相切，则圆心(1,0)到直线距离为半径1
1=，解得0a =，故选D
4．设,m n 是两条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若,//,m n αα⊥则;m n ⊥ ②若//,//,m n αα则//;m n ③若//,//αββγ，则//;αγ ④若,αγβγ⊥⊥，则.αβ//
其中正确命题的序号是（ ） A ．①和③ B ．②和③
C ．②和④
D ．①和④
【答案】A
【解析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①正确；在正方体中举出反例，平行于同一个平面的两条直线不一定平行，可得②错误；由面面平行的传递性，可得③正确；在正方体中举出反例，可得④错误． 【详解】
对①，因为//n α，所以经过n 作平面β，使l βα⋂=，可得//n l ，又因为m α⊥，
l α⊂，所以m l ⊥，结合//n l 得m n ⊥．由此可得①正确；
对②，设直线m 、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有//m α且//n α成立，但不能推出//m n ，故②错误； 对③，因为//,//αββγ，，所以//αγ，故③正确；
对④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有αγ⊥且βγ⊥，但是,αβ相交，推不出//αβ，故④错误． 故选：A ． 【点睛】
本题给出关于空间线、面位置关系的命题，考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题． 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A ．283
π
- B ．83
π
-
C ．82π-
D ．
23
π 【答案】A
【解析】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．
由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3
2
1822283
3
V ππ=-⨯⨯⨯=-
.
6．若
、
、
三点共线，则的值为（ ）
A ．1
B ．-1
C ．0
D ．7 【答案】B
【解析】试题分析：由题意得，因为三点共线，可得
，即
，
解得
，故选B.
【考点】三点共线的应用.
【方法点晴】本题主要考查了直线的斜率公式、三点共线的依据，属于基础题，对于三点共线：通常的处理方法是根据三点所构成的斜率相等（或过意两点的直线重合）、或利用两点间的距离公式，根据距离相等或向量共线，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.
7．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为 ） A ．4 个 B ．3个 C ．2 个 D ．1个
【答案】D
【解析】化圆的一般方程为标准式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，结合图形答案可求． 【详解】
由2
2
2430x y x y +++-=，得2
2
(1)(2)8x y +++=．
∴
圆的圆心坐标为(1,2)--，半径为
圆心(1,2)--到直线10x y ++=
=
∴圆上满足到直线10x y ++=的距离为1个.
故选：D ． 【点睛】
本题考查点到直线的距离公式、圆的一般式方程，考查数形结合思想的应用，考查基本运算求解能力．
8．如果0A B ⋅>且0B C ⋅<，那么直线0Ax By C ++=不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【解析】由条件可得直线0Ax By C ++=的斜率A
B -的正负，直线在y 轴上的截距B
C -的正负，进而可得直线不经过的象限． 【详解】
解：由0A B ⋅>且0B C ⋅<，可得直线0Ax By C ++=的斜率为0A
B
-<，直线在y 轴上的截距0C
B
->，故直线不经过第三象限， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题．
9．已知直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，则实数m 的取值为（ ） A ．1-或3 B ．1-
C ．3-
D ．1或3-
【答案】B
【解析】利用两直线平行的等价条件求得实数m 的值. 【详解】
∵两条直线x+my+6=0和（m ﹣2）x+3y+2m=0互相平行， ∴13m 202620m m m ⨯-=⎧⎨
-≠⎩﹣
（
﹣）
解得 m=﹣1， 故选B ． 【点睛】
已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论： 已知1111:0l A x B y C ++=，
2222:0l A x B y C ++=，
则122112
12210
//0A B A B l l AC
A C -=⎧⇔⎨-≠⎩， 1212120l l A A
B B ⊥⇔+= ．
10．圆:222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离的最大值是( )
A ．2 B
．1+C
．1 D
．1+【答案】B
【解析】先把圆的一般方程化为标准方程得到圆心()1,1，半径为1，利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离d
，圆上一点到直线距离的最大值即为d r + 【详解】
圆: 22
2210x y x y +--+=化为标准方程得()
()2
2
1
11x y -+-=，所以圆心为
()1,1，半径为1.所以圆心()1,1到直线2x y -=
的距离d =
=则所求距
离的最大值为1 B 【点睛】
本题考查圆上一点到直线距离的最大值问题，其最大值应转化为圆心到直线距离与圆的半径的和。

11．正四棱锥P ABCD -
的侧棱和底面边长都等于（ ） A ．16π B ．12π
C ．8π
D ．4π
【答案】A
【解析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式即可求解． 【详解】
如图，设正四棱锥底面的中心为1O ，设外接球的球心为O ， 则O 在正三棱锥的高1PO 上． 在直角三角形ABC
中，4AC =
==，
12AO =
，则高12PO =====，
则112OO PO R R =-=-，OA R =， 在直角三角形1AO O 中，2
2
2
(2)2R R =-+， 解得2R =，即O 与1O 重合，
即正四棱锥外接球的球心是它的底面的中心1O ，且球半径2R =， 球的表面积2416S r ππ==， 故选：A ．
【点睛】
本题考查棱锥和球的切接问题、球的表面积计算，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题．
12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，线段11B D 上有两个动点,,E F 且
2
EF =
则下列结论中错误的是（ ）
A ．AC BE ⊥
B ．//EF 平面ABCD
C ．三棱锥A BEF -的体积为定值
D ．,,,
E
F A B 四点共面
【答案】D
【解析】通过直线AC 垂直平面平面11BB D D ，判断①是正确的；通过直线EF 平行直线AB ，判断//EF 平面ABCD ②是正确的；计算三角形BEF 的面积和A 到平面
BEF 的距离是定值，说明③是正确的；通过排除法可得答案．
【详解】 对A ，
AC ⊥平面11BB D D ，又BE ⊂平面11BB D D ，AC BE ∴⊥．故A 正确．
对B ，11//B D 平面ABCD ，又E 、F 在直线11D B 上运动，//EF ∴平面ABCD ． 故B 正确．
对C ，由于点B 到直线11B D 的距离不变，故BEF ∆的面积为定值．又点A 到平面BEF
，故A BEF V -为定值，故C 正确. 利用排除法可得D 错误； 故选：D 【点睛】
本题考查直线与平面平行、垂直的判定、棱锥的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．
二、填空题
13．过点(1,2)M 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________. 【答案】x+y=3或y=2x
【解析】试题分析：：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a ，
把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx ， 把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x 即2x-y=0． 综上，所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0 【考点】直线方程
14．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱都相等，顶点P 在底面ABC 上的射影为O ,则O 是ABC ∆的__________心. 【答案】外心
【解析】由已知可得顶点P 在底面ABC 上的射影O 到底面三角形顶点距离相等，即O 必为ABC ∆的外心． 【详解】
在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，
∴顶点P 在底面ABC 上的射影O 到底面三角形顶点距离相等，即O 必为ABC ∆的外
心.
故答案为：外心．
【点睛】
本题主要考查三棱锥的几何特征，属于基本知识的考查．
15．三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且1PA =，PB PC ==则P 点到平面ABC 的距离为________
【答案】
2
【解析】根据题意利用等体积计算P 点到平面ABC 的距离，求出ABC ∆的面积即可． 【详解】
PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且1PA =，PB PC ==，
AB AC ∴==，2BC =
A ∴到BC
ABC ∆∴的面积为1
22
⨯=
设P 点到平面ABC 的距离为h ，则111
1323
h ⨯=
∴2
h =
即P 点到平面ABC
故答案为：2
【点睛】
本题考查点到面的距离，解题的关键是利用等体积法进行求解． 16．曲线
，
与直线
有两个公共点时，则实数的
取值范围是 _________________。

【答案】
【解析】试题分析：曲线表示以（0，1）为圆心，以2为半径的
圆的上半个圆，而直线过点（2，4），画出图象，可知该直线与该半圆要
有两个公共点，需要
.
【考点】本小题主要考查曲线方程和直线与圆的位置关系.
点评：解决本小题的关键是分析出所给曲线是半圆，所给直线过定点，进而利用数形结
合思想解决问题.
三、解答题
17．已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线12
y x =上，求22
PA PB +取得最小值时P 点的坐标. 【答案】P 99,
510⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】由直线方程，假设点P 的坐标，利用两点之间的距离公式表示PA 、PB 的平方和，由二次函数的性质求出最值即可. 【详解】 设()2,P t t ，
则()()()()2
2
2
2
2
2
2211222101810PA PB t t t t t t +=-+-+-+-=-+， 当910t =
时，22
PA PB +取得最小值，即点P 的坐标为：99,510⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查两点之间的距离公式、根据直线假设点的方式以及二次函数的最值，由于没有定义域的限制，所以在顶点处取最值，本题计算量较大，注意计算的准确性.
18．如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .
求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定
定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．
试题解析：证明：
（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB .
又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ⋂平面BCD =BD ，
BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，
所以BC ⊥平面ABD .
因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥ AD .
又AB ⊥AD ，BC AB B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
19．已知圆C :22(1)(2)25x y -+-=，直线l :(21)(1)740m x m y m +++--= （1）求证：直线l 过定点； （2）判断该定点与圆的位置关系；
（3）当m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最长.
【答案】（1）证明见解析（2）直线l 与圆C 总相交．（3）1.3
m =- 【解析】（1）由题意可知：(27)(4)0+-++-=m x y x y ，则270
40x y x y +-=⎧⎨+-=⎩
，即可求
得D 点坐标，直线l 过定点；
（2）由(3,1)D 坐标代入圆C 的方程，得左边22
(31)(12)525=-+-=<=右边，点
(3,1)D 在圆C 内；
（3）当直线l 经过圆心(1,2)C 时，被截得的弦最长，可知直线l 的斜率l CD k k =，由
211l m k m +=-
+，则211
132
CD k -=
=--，即可求得m 的值．
【详解】
（1）证明：将直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，
整理得：(27)(4)0+-++-=m x y x y ，
由于m 的任意性，则27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩
， ∴直线l 恒过定点(3,1)D ；
（2）把点(3,1)D 坐标代入圆C 的方程，得左边22(31)(12)525=-+-=<=右边，
∴点(3,1)D 在圆C 内；
（3）当直线l 经过圆心(1,2)C 时，被截得的弦最长（等于圆的直径长），
此时，直线l 的斜率l CD k k =，
由直线l 的方程得211
l m k m +=-
+， 由点C 、D 的坐标得211132
CD k -==--， 21112
m m +∴-=-+，解得：13m =-， 所以，当13m =-，时，直线l 被圆C 截得的弦最长． 【点睛】
本题考查直线的方程，点与圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．
20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD ∆
是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==
（1）设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD ；
（2）求四棱锥P ABCD -的体积.
【答案】(1)见解析 ;(2) 1243P ABCD V -=
⨯⨯=【解析】试题分析：
(1)证得AD ⊥BD ,而面P AD ⊥面ABCD ,∴BD ⊥面P AD ,∴面MBD ⊥面P AD .
(2)作辅助线PO ⊥AD ,则PO 为四棱锥P —ABCD 的高,求得S 四边形ABCD ＝24.∴V P —ABCD ＝
试题解析：
(1)证明:在△ABD 中,∵AD ＝4,BD ＝8,AB ＝∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD . 又∵面P AD ⊥面ABCD ,面P AD ∩面ABCD ＝AD ,BD ⊂面ABCD ,∴BD ⊥面P AD . 又BD ⊂面BDM ,∴面MBD ⊥面P AD .
(2)解：过P 作PO ⊥AD ,
∵面P AD ⊥面ABCD ,∴PO ⊥面ABCD ,即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．
又△P AD 是边长为4的等边三角形,∴PO ＝在底面四边形ABCD 中,AB ∥DC ,AB ＝2DC ,∴四边形ABCD 为梯形．
在Rt △ADB 中,斜边AB
＝5
,此即为梯形的高.
∴S 四边形ABCD ＝24.
∴V P —ABCD ＝13
×24×. 21．在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3),A 直线:24=-l y x ，设圆C 的半径长为1，圆心在l 上.
(1)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；
(2)若圆C 存在点M ，使2=MA MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
【答案】（1）3y =或34120x y +-=（2）120.5
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 【解析】（1）求出圆心C 为(3,2)，圆C 的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k 即可得到切线方程．
（2）设圆心C 为(,24)a a -，圆C 的方程为：22()[(24)]1x a y a -+--=，设M 为(,)x y 列出方程得到圆D 的方程，通过圆C 和圆D 有交点，得到13CD 剟
，转化求解a 的取值范围．
【详解】
（1）由241
y x y x =-⎧⎨=-⎩得圆心C 为(3,2)，
圆C 的半径为1，
∴圆C 的方程为：22(3)(2)1x y -+-=，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=，
∴
1=∴|31|k +=
2(43)00k k k ∴+=∴=或者34
k =-， ∴所求圆C 的切线方程为：3y =或者334
y x =-+．
即3y =或者34120x y +-=．
（2）圆C 的圆心在在直线:24=-l y x 上， 所以，设圆心C 为(,24)a a -，
则圆C 的方程为：22()[(24)]1x a y a -+--=，
又2MA MO =，
∴设M 为(,)x y =22(1)4x y ++=设为圆D ， ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上
即：圆C 和圆D 有交点，13CD ∴剟，
∴|21||21|-+，
由251280a a -+…得a R ∈，
由25120a a -…得1205
a 剟， 综上所述，a 的取值范围为：12[0,
]5． 【点睛】
本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化与化归思想、数
形结合思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．。