2020-2021学年湖北省黄冈市麻城第二中学高一数学理联考试卷含解析

2020-2021学年湖北省黄冈市麻城第二中学高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC 中，若=sinAsinB ，则△ABC 的形状为（ ）
C
解答：
解：在△ABC 中，∵
=
sinAsinB ，
∴由正弦定理得：a 2+b 2=ab?[sin （C+）]=2absin （C+），
∵a 2+b 2≥2ab ，
∴2absin （C+）≥2ab ，
∴sin （C+）≥1（当且仅当a=b 时取“=”），又sin （C+）≤1，
∴sin （C+
）=1，此时a=b ．
∵C 为△ABC 的内角，
∴C=，又a=b ，
A ．BC∥平面PDF
B ．DF⊥平面PAE
C ．平面PDF⊥平面ABC
D ．平面PAE⊥平面ABC
参考答案：
C
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】正四面体P ﹣ABC 即正三棱锥P ﹣ABC ，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B 、C 、D 中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF ，进而可得答案． 【解答】解：由DF∥BC 可得BC∥平面PDF ，故A 正确．
若PO⊥平面ABC ，垂足为O ，则O 在AE 上，则DF⊥PO，又DF⊥AE 故DF⊥平面PAE ，故B 正确．
由DF⊥平面PAE 可得，平面PAE⊥平面ABC ，故D 正确． 故选C ．
【点评】本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．
3. 已知
，且
则
的值为（ ）
A ．4
B ．0
C ．2m
D ．
参考答案：
A 略
4. 设，函数在区间上的最大值与最小值为
，则( ).
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
B
略
5. 两直线与平行，则它们之间的距离为( )
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
6. 若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是（）
A．（﹣∞，﹣）B．C．D．（0，+∞）
参考答案：
C
【考点】对数函数的单调区间．
【分析】先求出2x2+x，x∈时的范围，再由条件f（x）＞0判断出a的范围，再根据复合函数“同增异减”原则求f（x）单调区间．
【解答】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，
∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，
0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．
t=2x2+x＞0的单调递减区间为，∴f（x）的单调增区间为，
故选C．
【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．
7. 函数y＝—3sinx+1的值域为()
A．[－4,4] B．[－3，3] C．[－4，2] D．[－4，1
参考答案：
C 略
8. 若函数f（x）=，则函数f（x）定义域为（）
A．（4，+∞）B．[4，+∞） C．（0，4）D．（0，4]
参考答案：
B
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据对数的真数大于0，被开方数大于等于0，直接求出x的范围即可得到函数的定义域．
【解答】解：
解得：x≥4
所以函数的定义域为[4，+∞）
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数函数定义域的求法，以及偶次根式的定义域，同时考查了计算能力，属于基础题．
9. 在边长为1的正方形ABCD中，等于（）
A. 1
B.
C.
D. 2
参考答案：
A
【分析】
利用向量內积的计算公式得到答案.
【详解】
答案为A
【点睛】本题考查了向量乘积公式，属于简单题.
10. 是定义在上的奇函数,若则下列各式中一定成立的是（）
A． B．C． D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系xOy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为．参考答案：
﹣
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，可得tan300°=﹣=，从而求得m的值．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，∵300°角终边上一点P的坐标为（1，m），
∴tan300°=tan=﹣tan60°=﹣=，∴m=﹣，
故答案为：﹣．
12. 设，，则满足的集合的子集
有个。

参考答案：
8
13. 把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是___________。

参考答案：
圆解析：以共同的始点为圆心，以单位为半径的圆
14. 在中，的对边分别为，且，则的取值范围是________．
参考答案：
略
15. 若函数y=log（a+2）（x﹣1）是增函数，则实数a的取值范围是．
参考答案：
a＞﹣1
【考点】对数函数的单调区间．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据对数函数y=log a x的图象与性质，得出不等式a+2＞1，解出不等式即可．
【解答】解：∵函数y=log（a+2）（x﹣1）是增函数，
∴a+2＞1，
解得a＞﹣1；
∴实数a的取值范围是a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
【点评】本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
16. 函数f（x）=2log a（x﹣2）+3（a＞0，a≠1）恒过定点的坐标为．
参考答案：
（3，3）
【考点】对数函数的图象与性质．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】令真数等于1，求出相应的坐标，可得答案．
【解答】解：令x﹣2=1，则x=3，
f（3）=2log a（3﹣2）+3=3，
故函数f（x）=2log a（x﹣2）+3（a＞0，a≠1）恒过定点的坐标为（3，3），
故答案为：（3，3）．
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关
键．
17. 不等式的解集是．
参考答案：
【考点】其他不等式的解法．
【分析】先化简分式不等式，再等价转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出解集．
【解答】解：由得，，
则（3x﹣2）（5﹣3x）＞0，即（3x﹣2）（3x﹣5）＜0，
解得，
所以不等式的解集是，
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的最小值.
（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
（2）在区间上恒成立恒成立.当时，
………………13分
19. 本小题满分11分）已知函数（其中为正常数，）的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）在△中，若，且，求．
参考答案：
（1）∵
．………………4分
而的最小正周期为，为正常数，∴，解之，得．…… 5分（2）由（1）得．
若是三角形的内角，则，∴．
令，得，∴或，
解之，得或．由已知，是△的内角，
且，∴，
，∴．……………9分
又由正弦定理，得．………11分20. （8分）计算：log24+（﹣1）0﹣（）+cos．
参考答案：
考点：有理数指数幂的化简求值．
专题：计算题．
分析：根据指数幂的运算性质进行计算即可．
解答：原式=
=
=
=1．
点评：本题考查了指数幂的运算性质，是一道基础题．
21. 已知数列{a n}满足（，且），且，设，
，数列{c n}满足
（1）求证：数列是等比数列并求出数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{c n}的前n项和S n；
（3）对于任意，，恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案：
(1)见解析（2）(3) .
【分析】
（1）将式子写为：得证，再通过等比数列公式得到的通项公式.
（2）根据（1）得到进而得到数列通项公式，再利用错位相减法得到前n项和.
（3）首先判断数列的单调性计算其最大值，转换为二次不等式恒成立，将代入不等式，计算得到答案.
【详解】（1）因为，
所以，，
所以是等比数列，其中首项是，公比为，
所以，.
（2），
所以，
由（1）知，，又，所以.
所以，
所以两式相减得
.
所以.
（3）
，所以当时，，
当时，，即，
所以当或时，取最大值是.
只需，
即对于任意恒成立，即
所以.
【点睛】本题考查了等比数列的证明，错位相减法求前N项和，数列的单调性，数列的最大值，二次不等式恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生解决问题的能力
.
22. 在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图所示；③每月需要各种开支2000元．
（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
参考答案：
【考点】分段函数的应用．
【分析】（1）根据条件关系建立函数关系，根据二次函数的图象和性质即可求出函数的最值；（2）根据函数的表达式，解不等式即可得到结论．
【解答】解：设该店月利润余额为L，则由题设得L=Q（P﹣14）×100﹣3600﹣2000，①
由销量图易得Q=
代入①式得L=
（1）当14≤P≤20时，L max=450元，此时P=19.5元，当20＜P≤26时，L max=元，
此时P=元．故当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元，
（2）设可在n年内脱贫，依题意有12n×450﹣50000﹣58000≥0，
解得n≥20，
即最早可望在20年后脱贫．。