高考文科数学知识点函数部分

2021高中文科数学学问点〔函数〕
一、函数的概念：
1. 函数的概念：
设A 、B 是非空的数集，假如根据某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的随意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；及x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．
函数的三要素：定义域、对应关系、值域. 2.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
二、定义域的求法：
能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时，列不等式组的主要根据是：
(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必需大于零；(4)指数、对数式的底必需大于零且不等于1；
(5) 指数为零，底不行以等于零；
(6) 假如函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合；
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义.
三、值域的求法:
其类型依解析式的特点分可分三类： (1)求常见函数值域；
(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；
(3)求由常见函数作某些“运算〞而得函数的值域 2.函数值域的常用方法： (1)视察法：
通过对函数定义域、性质的视察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

(2)配方法：
(二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
常转化为含有自变量的平方式及常数的和，型如：),(,)(2
n m x c bx ax x f ∈++=的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。

(3)换元法：
代数换元法通过变量代换到达化繁为简、化难为易的目的；三角代换法可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想。

(4)别离常数法：
对某些分式函数，可通过别离常数法，化成局部分式来求值域。

(5)判别式法：
假设函数y =f 〔x 〕可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a 〔y 〕x 2
+ b 〔y 〕x +c
〔y 〕=0，那么在a 〔y 〕≠0时，由于x 、y 为实数，故必需有Δ=b 2
〔y 〕－4a 〔y 〕·c 〔y 〕≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x 值。

(6)最值法：
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值，并及边界值f(a)，f(b)作比较,求出函数的最值，可得到函数y 的值域。

四、解析式的求法：
1. 待定系数法：
函数图象，确定函数解析式，或函数的类型且函数满意的方程时，常用待定系数法。

2. 函数性质法：
假如题目中给出函数的某些性质〔如奇偶性、周期性〕，那么可利用这些性质求出解析式。

3. 图象变换法：
假设给出函数图象的改变过程，要求确定图象所对应的函数解析式，那么可用图象变换法。

4. 换元法：
5. 配凑法：
6. 赋值〔式〕法：
五、函数图象：
1.定义：
在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P (x ，y)的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x ，y)均满意函数关系y=f(x)，反过来，以满意y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y)，均在C 上 . 2.画法：
〔1〕描点法： 〔2〕图象变换法：
常用变换方法有三种： 平移变换、伸缩变换、对称变换
〔1〕区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 〔2〕无穷区间
〔3〕区间的数轴表示．
六、函数的单调性：
1. 定义：
设函数y=f(x)的定义域为I ，假如对于定义域I 内的某个区间D 内的随意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)D 称为y=f(x)的单调增区间.
假如对于区间D 上的随意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2 时，都有f(x 1)＞f(x 2)，那么就说f(x)D 称为y=f(x)的单调减区间.
留意：函数的单调性是函数的部分性质 2. 图象的特点：
假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
3. 函数单调区间及单调性的断定方法： (1)定义法：
○
1 任取x 1
，x 2
∈D ，且x 1
<x 2
； ○2 作差f(x 1
)－f(x 2
)； ○
3 变形〔通常是因式分解和配方〕； ○
4 定号〔即推断差f(x 1
)－f(x 2
)的正负〕； ○
5 下结论〔指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性〕． (2)图象法(从图象上看升降)
(3)导数法〔导数大于0，在对应区间递增；导数小于0，在区间递减〕 4.函数单调性的常用结论：〔复合函数单调性〕
(1)假设(),()f x g x 均为某区间上的增〔减〕函数，那么()()f x g x +在这个区间上也为增〔减〕函数；
(2)假设()f x 为增〔减〕函数，那么()f x -为减〔增〕函数；
(3)假设()f x 及()g x 的单调性一样，那么[()]y f g x =是增函数；假设()f x 及()g x 的单调性不同，那么[()]y f g x =是减函数；其规律：“同增异减〞
(4)奇函数在对称区间上的单调性一样，偶函数在对称区间上的单调性相反；
(5)常用函数的单调性解答：比较大小、求值域及最值、解不等式、证不等式、作函数图象； (6)函数的单调区间只能是定义域的子区间 ,不能把单调性一样的区间和在一起写成并集。

七、函数的奇偶性：
1. 定义：
一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
2. 具有奇偶性的函数的图象的特征:
偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 3. 推断函数奇偶性的步骤：
○
1首先确定函数的定义域，并推断其是否关于原点对称； ○
2确定f(－x)及f(x)的关系； ○
3作出相应结论：假设f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，那么f(x)是偶函数； 假设f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，那么f(x)是奇函数．
八、函数的周期性：
1．定义：
一般地，对于函数()f x ，假如存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有(T)()f x f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做函数的周期。

2．函数周期性的性质：
〔1〕对于非零常数A ，假设函数()y f x =满意(A)()f x f x +=-，那么函数()y f x =必有一个周期为2A 。

〔2〕对于非零常数A ，函数()y f x =满意，那么函数()y f x =的一个周期为2A 。

〔3〕对于非零常数A ，函数()y f x =满意，那么函数()y f x =的一个周期为2A 。

九、二次函数：
1. 一般式：0,)(2
≠++=a c bx ax x f
2. 顶点式：0,)()(2
≠+-=a n m x a x f 3. 零点式：0),)(()(21≠--=a x x x x a x f
十、反比例函数：
形如的函数
十一、“对号〞函数：
形如的函数
1. 一般地，对于函数．
〔１〕当0,0>>b a 时，函数在及上为增函数，在及上为减函数．函数的值域是
),2[]2,(+∞--∞ab ab ．
〔２〕当0,0<>b a 时，函数在)0,(-∞及),0(+∞上都是增函数，值域为),(+∞-∞．
十二、指数函数：
1. 根式的概念：
①假如,,,1n
x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，
a 的n 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负
的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为随意实数；当n 为偶数时，0a ≥． 2. 根式的性质：
①n
a =；
②当n a =；
当n 为偶数时，
(0)
|| (0)
a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
3. 分数指数幂的概念：
①规定：1〕)(*
∈
⋅⋅⋅=N n a a a a nn
； 2〕)0(
10
≠=a a ；
n 个
3〕 ②正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n
a a m n N +=>∈且1)n >
0的正分数指数幂等于0 ③正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a
a m n N a -+==>∈且1)n > 0的负分数指数幂没有意义． 留意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
4. 分数指数幂的运算性质： ①(0,,)r
s
r s a a a
a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r r
r
ab a b a b r R =>>∈ 〔注〕上述性质对r 、∈s R 均适用。

1. 对数：
①定义：假如)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b
=，那么数b 称以a 为底N 的
对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1〕以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；
2〕以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ②根本性质：
1〕真数N 为正数〔负数和零无对数〕； 2〕对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，N a N
a =log ，log
b a a b =
3〕对数式及指数式的互化：log (0,1,0)x
a x N a N a a N =⇔=>≠>
③运算性质：
假如0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 1〕加法：log log log ()a a a M N MN +=
2〕减法：log log log a a a M M N N -= 3〕数乘：log log ()n
a a n M M n R =∈
4〕换底公式：)0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=
N m m a a a
N
N m m a ；
1log log =⋅a b b a ；
1. 幂函数的定义
一般地，函数y x α
=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． 2. 幂函数的图象
3. 幂函数的性质 ①图象分布：
幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：
全部的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1) ③单调性：
假如0α>，那么幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．假如0α<，那么幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴及y 轴． ④奇偶性：
当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当〔其中,p q 互质，p 和q Z ∈〕，假设p 为奇数q 为奇数时，那么q p
y x =是奇函数，假设p 为奇数q 为偶数时，那么q p
y x =是偶函数，假设p 为偶数q 为奇数时，那么q p
y x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：
幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，假设01x <<，其图象在直线y x =下方，假设1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，假设01x <<，其图象在直线y x =上方，假设1x >，其图象在直线y x =下方．
十五、反函数：
1. 定义：
一般地，对于函数
y )(x f =，设它的定义域为D ，值域为A 。

假如对于A 中的随意一
个值
y ，在D 中总有惟一确定的x 值及它对应，使()y f x =
，这样得到x 关于y 的函
数叫函数y )(x f =的反函数。

记作x )(1y f -=。

习惯上，把它改写为y )(1
x f -=)(A x ∈。

2. 求反函数的根本步骤： 〔1〕求值域：求原函数的值域
〔2〕反解：视y 为常量，从()y f x =中解出唯一表达式()1x f y -=， 〔3〕对换：将x 及y 互换，得()1y f x -=，并注明定义域。

3. 反函数()1y f x -=及原函数()y f x =的关系：
〔1〕()1y f x -=的定义域、值域分别为()y f x =的值域、定义域。

〔2〕假设()y f x =存在反函数，且()y f x =为奇函数，那么()1y f x -=也为奇函数。

〔3〕假设()y f x =为单调函数，那么()1y f x -=同()y f x =有一样的单调性。

〔4〕()y f x =和()1y f x -=在同始终角坐标系中，图像关于y x =对称。

4. 存在反函数的条件是：函数为单调函数〔或一一对应〕
十六、恒成立问题及存在性问题：。