2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第8章 平面解析几何 8-2a Word版含解析

[重点保分 两级优选练]
A 级
一、选择题
1．(2017·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )
A ．2
B ．－3
C ．2或－3
D ．－2或－3
答案 C
解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4
－2
，故m ＝2或－3.故选C.
2．(2017·清城一模)已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为P (1，p )，则m －n ＋p 的值是( )
A ．24
B ．20
C ．0
D ．－4 答案 B
解析 ∵直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，∴
m －4×2
5＝－1，∴m ＝10，
直线mx ＋4y －2＝0即5x ＋2y －1＝0，垂足(1，p )代入得，5＋2p －1＝0，∴p ＝－2.
把P (1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0，可得n ＝－12， ∴m －n ＋p ＝20，故选B.
3．过点P (1,2)且与原点O 距离最大的直线方程为( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0
D ．3x ＋y －5＝0
答案 A
解析 要使过点(1,2)的直线与原点距离最大，结合图形可知该直线与直线PO 垂直．由k OP ＝2－01－0＝2，则直线l 的斜率为－12，所以直
线l 的方程为y －2＝－1
2(x －1)，即为x ＋2y －5＝0.故选A.
4．(2018·贵州六校联盟联考)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》 一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (0,4)，若其欧拉线的方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标是( )
A ．(－4,0)
B ．(0，－4)
C ．(4,0)
D ．(4,0)或(－4,0)
答案 A
解析 当顶点C 的坐标是(－4,0)时，三角形重心坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，43，
在欧拉线上，对于其他选项，三角形重心都不在欧拉线上．故选A.
5．(2017·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )
A ．(－2,4)
B ．(－2，－4)
C ．(2,4)
D ．(2，－4)
答案 C
解析 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，
则⎩⎨⎧
y －2
x ＋4
×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝－2，
∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－1
4－3
(x －3)，
即3x ＋y －10＝0.与y ＝2x 联立得⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋y －10＝0，
y ＝2x ，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝4，则C (2,4)．故选C.
6．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x ＋ay ＋c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )
A ．平行
B ．重合
C ．垂直
D ．相交但不垂直
答案 C
解析 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B .
∵两直线的斜率分别为k 1＝－sin A a ，k 2＝b
sin B ， ∴k 1·k 2＝－sin A a ·b
sin B ＝－1，∴两直线垂直．故选C.
7．(2017·聊城三模)已知两点A (－m,0)和B (2＋m,0)(m >0)，若在直线l ：x ＋3y －9＝0上存在点P ，使得P A ⊥PB ，则实数m 的取值范围是( )
A ．(0,3)
B ．(0,4)
C ．[3，＋∞)
D ．[4，＋∞) 答案 C
解析 设P (x ，y )，则k P A ＝y x ＋m ，k PB ＝y x －2－m
，
由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋3y －9＝0，
y x ＋m ·
y
x －2－m ＝－1，
消去x 得
4y 2－163y ＋63－m 2－2m ＝0，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
m >0，
Δ＝(－163)2－4×4×(63－m 2
－2m )≥0，
解得m ≥3.故选C.
8．(2017·湖南东部十校联考)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为( )
A ．4x －3y ＋9＝0
B ．4x ＋3y ＋9＝0
C ．3x －4y ＋9＝0
D ．3x ＋4y ＋9＝0
答案 A
解析 由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－53，
y ＝79，
即交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－53，79.
∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴所求直线的斜率为k ＝4
3.
由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋53，
即4x －3y ＋9＝0.故选A.
9．(2017·湖南岳阳二模)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为( )
A.92
B.94 C ．1 D ．9
答案 B
解析 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又因为Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，
所以(4－1)2
＋(－m )2
＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2
c ＝
1
2(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2
c 2a ·2a c ＝9
4
，当且仅当c ＝2a ＝4
3时取等号，故选B.
10．(2016·四川高考)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．(0，＋∞)
D ．(1，＋∞)
答案 A
解析 设l 1是y ＝－ln x (0<x <1)的切线，切点P 1(x 1，y 1)，l 2是y ＝ln x (x >1)的切线，切点P 2(x 2，y 2)，
l 1：y －y 1＝－1
x 1
(x －x 1)，①
l 2：y －y 2＝1
x 2(x －x 2)，②
①－②得x P ＝y 1－y 2＋2
1x 1
＋1x
2
，
易知A (0，y 1＋1)，B (0，y 2－1)， ∵l 1⊥l 2，∴－1x 1·1
x 2
＝－1，∴x 1x 2＝1，
∴S △P AB ＝12|AB |·|x P |＝1
2|y 1－y 2＋2|·|y 1－y 2＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 1＋1x 2＝12·(y 1－y 2＋2)2x 1＋x 2x 1x 2
＝12·(－ln x 1－ln x 2＋2)
2
x 1＋x 2
＝12·[－ln (x 1x 2)＋2]2
x 1＋x 2
＝12·4x 1＋x 2＝2x 1＋x 2
，
又∵0<x 1<1，x 2>1，x 1x 2＝1，
∴x 1＋x 2>2x 1x 2＝2，∴0<S △P AB <1.故选A. 二、填空题
11．(2018·豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．
答案 ⎣
⎢⎡
⎭
⎪⎫0，π2∪⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π
解析 设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12．(2018·南昌模拟)已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．
答案 －13或－7
9
解析 由题意及点到直线的距离公式，得 |－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1
，解得a ＝－13或－7
9.
13．(2017·豫北重点中学联考)已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________．
答案 y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0
解析 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|k －3|
1＋k 2＝2，解得k ＝－7或k ＝1，此时直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x ；当直线不过原点时，设直线方程为x ＋y ＝a ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|4－a |2＝2，解得a ＝2或a
＝6，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.综上所述，直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.
14．(2018·南京期末)在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴
正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是________．
答案 6x －8y ＋1＝0
解析 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b .
∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34.∴直线l 的方程为y ＝3
4x ＋b ，直线l 1
为y ＝34x ＋11
4＋b ，取直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,3)
的对称点为⎝
⎛
⎭⎪⎫4－m ，6－b －34m ， ∴6－b －34m ＝34(4－m )＋b ＋114，
解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋1
8，即6x －8y ＋1＝0.
B 级
三、解答题
15．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小； (2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|P A ||最大． 解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，
则⎩⎨⎧
n －0
m －2
＝－2，m ＋22－2·n ＋0
2＋8＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝－2，n ＝8，
故A ′(－2,8)．
P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值|A ′B |，点P 即是
直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，
y ＝3，
故所求
的点P 的坐标为(－2，3)．
(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|P A ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|P A ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x
－2，解⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12，
y ＝10，
故所求的点P 的坐标为(12,10)．
16．(2018·深圳质检)如图所示，函数f (x )＝x ＋2x 的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图象上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .
(1)证明：|PM |·|PN |为定值；
(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值．
解 (1)证明：设P ⎝
⎛⎭⎪⎫
x 0，x 0＋2x 0(x 0>0)，则|PN |＝x 0，
|PM |＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
2x 02＝1
x 0
，因此|PM |·|PN |＝1， 即|PM |·|PN |为定值．
(2)直线PM 的方程为y －x 0－2
x 0
＝－(x －x 0)，
即y ＝－x ＋2x 0＋2
x 0
，
解方程组⎩⎨⎧
y ＝x ，
y ＝－x ＋2x 0＋2
x 0，
得x ＝y ＝x 0＋
12x 0
. 所以|OM |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0
＋12x 0. 连接OP ，
S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12|PN ||ON |＋12|PM ||OM |＝12x 0⎝ ⎛⎭⎪
⎫
x 0＋2x 0＋12·1x 0·2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 0＋12x 0＝2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 20＋1x 20≥1＋2， 当且仅当x 0＝1
x 0
，即x 0＝1时等号成立，因此四边形OMPN 面积
的最小值为1＋ 2.
17．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：
(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；
(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.
∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝4
3(矛盾)， ∴此种情况不存在，∴k 2≠0，
即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝a
b ，l 1⊥l 2，
∴k 1k 2＝－1，即a
b (1－a )＝－1.①
又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.
(2)∵l 2的斜率存在且l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即a
b ＝1－a .③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4
b ＝b ，④
联立③④，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－2或⎩⎨⎧
a ＝2
3
，b ＝2.
∴a ＝2，b ＝－2或a ＝2
3，b ＝2.
18．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值． 解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3， 解得λ＝2或λ＝12.
∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，
解得交点P (2,1)．
如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，
∴d max＝|P A|＝10.。